Thème 13: Le symbole de sommation ?
1re notation possible : Pour calculer la somme des nombres entiers entre 1 Exercice 13.3: Écrire les sommes suivantes sans le signe ? et calculer cette.
Utilisation du symbole ?
symbole sigma. Voici un exercice d'application : Exercice 3 : Calculer chacune des sommes suivantes ou en donner la meilleure expression possible : Somme
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Les symboles ? et ? Exercice 1 IT Identités combinatoires ... Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou ...
Feuille dexercices no 5 - Sommes et produits
Écrire à l'aide du symbole ? les expressions suivantes (#) Nouvelle preuve de la somme des k et des k3 ... Calculer de deux manières la somme.
LE SYMBOLE DE SOMMATION
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes. Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on
Mathématiques ECS 1re année Le compagnon
Corrigés des exercices troduisons deux symboles extrêmement pratiques l'un pour la somme de nombres ... 1.1 Addition et symbole somme. 1.1.1 Définition.
I Les symboles ? et ?
Exemple 1 Soit m ? [[1 n]]
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? est une lettre grecque majuscule équivalente à notre S. Le symbole ? est Si au cours d'un calcul
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Dans la suite on omettra les symboles >>>. Pour un entier n fixé programmer le calcul de la somme Sn = 13 + 23 + 33 + ··· + n3. ... Mini-exercices.1.
Sommes et produits
Pour chaque valeur de k on rajoute le nombre qk (à droite du signe somme) au Notation (Utilisation du symbole ?) ... vue en exercice.
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Exercice 13 3: Écrire les sommes suivantes sans le signe ? et calculer cette somme lorsque c'est possible a) S1 = 1 i i=1 4 ?
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Écrire à l'aide du symbole ? les expressions suivantes (#) Nouvelle preuve de la somme des k et des k3 Calculer de deux manières la somme
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Exercices corrigés - Calculs algébriques - sommes et produits - formule du binôme Exercice 2 - Écrire à l'aide du symbole somme [Signaler une erreur]
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Exercice 5 : Somme de termes en progression arithmétique — Soit (uk) une suite de nombres réels en progression arithmétique Soit(m n) ? N2 tel que m
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k=1 arctan 2 k2 Correction ? [005143] Exercice 8 I Calculer les sommes suivantes : 1
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Déployer une somme Quand je parlerai de déployer une somme cela signi era qu'on récrit une somme initialement présentée avec le symbole sigma
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indices utilisant les symboles ? (somme) et ? (produit) 2 2 Exercices première borne celle qui est écrite au-dessous du signe somme
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symbole sigma Voici un exercice d'application : Exercice 3 : Calculer chacune des sommes suivantes ou en donner la meilleure expression possible : Somme
Quel est le symbole de la somme ?
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes.Comment calculer ? ?
? [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .Comment faire le signe somme ?
Comment faire le symbole "Somme" ? (Sigma)
1Faire le symbole "Somme" sous Windows (logiciels Microsoft) Faire le symbole "Somme" en majuscule : Alt + 9 3 1 -->? 2Faire le symbole "Somme" sur Mac / MacBook. Faire le symbole "Sigma" en majuscule (symbole somme) : Alt ? + ? Maj + S -->?Exemples
Somme des premiers entiers.Somme des premiers entiers impairs.Somme des premières puissances.Diviseurs d'un entier.Coefficients binomiaux.Sommes de Riemann.Autres sommes.
Pascal ORTIZ
Sommes
Éléments de cours, 61 exercices
Version du 1
eroctobre 2018Licence CC-BY
Table des matières
1 Présentation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Découverte de la notion de somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Dé?nition formelle d"une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Indice muet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Déployer une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 La somme1 + 2 + 3 ++n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Extensions de la dé?nition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Sommes remarquables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Sommes des termes d"une suite géométrique
. . . . . . . . . . . . . . . 5La factorielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Le coe?cient binomial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Le triangle de Pascal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Formule du binôme de Newton
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Conséquences classiques de la formule du binôme . . . . . . . . . . . . 12Somme des puissances d"entiers consécutifs
. . . . . . . . . . . . . . . . 133 Propriétés des sommes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Découpage d"une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Somme d"une expression constante
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Nombre de termes dans une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Linéarité de la sommation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Changement d"indice dans une somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Notion de télescopage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Sommes multiples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Sommes emboîtées
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Théorème de Fubini
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Interversion plus générale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Sommes et programmation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Calculer des sommes en Python
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Calcul de sommes formelles avec SageMath
. . . . . . . . . . . . . . . . 216 En vrac ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Importance des sommes en mathématiques
. . . . . . . . . . . . . . . . 22Somme vide
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iindice et{complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Indice muet et double somme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Télescopage sans déploiement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Homogénéiser par décalage d"indice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Réduction après changement d"indice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Présentation
Découverte de la notion de somme
est une lettre grecque majuscule, équivalente à notre S. Le symboleest une notation utilisée
pour désigner dessommesmathématiques.Soit la quantité suivante
S=8X i=4(10i+ 2) Alors, cette notation doit se comprendre de la manière suivante :Svaut lasommede tous les nombres de la forme10i+ 2
lorsque l"indiceiprend toute les valeurs entières entre 4 et 8, ces deux valeurs étant incluses.
Le calcul donne queS= 310. Le tableau suivant montre comment calculerS:i4567810i+ 24252627282
Somme4294156228310
Dé?nition formelle d"une somme
Soit une suite(xk)kde nombres réels ou complexes dé?nie entre deux indices ?xésietjtels queij.Alors, par dé?nition,
j X k=ix k=xi+xi+1+xi+2++xjVariante de notation :
X ikjx k=xi+xi+1++xjet plus généralement, si on apindices deux à deux distinctsi1;i2;:::;ipdansfi;:::;jget si on
poseK=fi1;i2;:::;ipgalors on peut dé?nir S=X k2Kx k=xi1+xi2++xip et siKest vide, on convient queS= 0.Remarque.J"éviterai de dé?nir une sommeS=iX
k=jx koù on auraiti < jcar ce serait ambigu à cause de deux interprétations incompatibles suivantes : 2 -une somme ne dép endantpas de l" ordredes termes, on aurait S=jX k=ix k les indices de la somme par courraientl" ensemblefk;jkigqui est l"ensemble vide et doncS= 0Indice muet
La somme
S=10X k=1(2k1)est une constante qui NE dépend PAS dek. La lettreksert juste à exprimer la quantité variable
lorsque l"on somme. D"ailleurs, la somme vaut 100 :S= 1 + 3 + 5 ++ 19 = 100
et donc elle ne dépend pas dek. On dit quekest unelettre muetteou unevariable muetteet on peut remplacerkpar n"importe quelle lettre non déjà utilisée, par exemple icij: 10 X k=1k=10X j=1jEn revanche, sin0est un entier donné, la somme
n X k=1k= 1 + 2 ++n dépend de la valeur denpuisqu"on obtient des valeurs di?érentes selon quenvaut par exemple2 ou 5. Donc on peut noter cette sommeSn.
Si au cours d"un calcul, vous vous retrouvez avec une somme qui dépend d"un indice de som- mation, c"est que vous avez fait une erreur quelque part. Par exemple, si vous arrivez à p X n=1n=n(n+ 1)2votre résultat est absurde puisque votre réponse dépend denqui est l"indice de la somme (et qui
n"a pas d"autre existence en dehors de permettre le calcul de la somme).Déployer une somme
Quand je parlerai dedéployer une sommecela signi?era qu"on récrit une somme initialement présentée avec le symbole sigma nP k=1x ksous sa forme sans sigma x1+x2++xn
3Lorsque
les te chniquesde transformations de sommes ne sont pas bien comprises, le formalisme de vientinutilement compliqué , il est plus simple ou plus productif de revenir à la dé?nition d"une somme avec des points de suspension.La somme1 + 2 + 3 ++n
Soitn2Nn f0g. On peut considérer la somme
S n=nX k=1k= 1 + 2 + 3 ++n Il s"agit donc de la somme desnpremiers entiers strictement positifs. A priori, il n"est pas acquis queSnpuisse se simpli?er en une formule simple. Pourtant, on peut réduireSnavec la formule suivante : n X k=1=n(n+ 1)2Cette formule peut s"établir de nombreuses façons. Elle a contribué à la légende du mathémati-
cien Gauss qui aurait découvert et appliqué cette formule au casn= 100alors qu"il était encore
à l"école primaire, comme c"est raconté dans sa biographie On peut en établir la preuve par récurrence surnmais cette preuve n"explique pas l"origine de la formule.Une autre façon de faire est la suivante :
S n= 1 + 2 + 3 +:::+ (n1) +n S n=n+ (n1) + (n2) +:::+ 2 + 12Sn= (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) +:::+ (n+ 1) + (n+ 1)2Sn=n(n+ 1)
S n=n(n+ 1)2Commentaires
On é critSntermes à termes, puis en-dessous, on écritSntermes à termes mais en commen-çant par la ?n.
On constate alors que la somme de deux termes l"un en-dessous de l"autr eest constante etégale àn+ 1.
Que la somme soit constante est justi?é epar le fait que les termes dans la pr emièresomme augmentent de 1 tandis que dans la 2 esomme, les termes diminuent de 1 d"où compensation quand on les additionne.En?n, à l"avant-dernièr eligne et à la pré cédente,la somme dans le membr ede dr oitecontient
ntermes, d"où la valeurn(n+ 1). 4Extensions de la dé?nition
Dans les exemples précédents, les indices des termes sommés prennent toutes les valeurs en-tières entre deux bornes mais il est possible de restreindre la somme à des indices véri?ant une
condition. Par exemple, la notation 5 X i=0ipair(10i+ 2)désigne la somme2 + 22 + 42où l"indice ne prend que les valeurs paires entre 0 et 5, à savoir
0, 2 ou 4.
Autre exemple. La somme
S=X02k+110k
2 est e?ectuée pour tous les indiceskentiers tels que02k+ 110autrement dit pour k= 0;:::;4en sorte queS= 02+ 12+ 22+ 32+ 42= 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30.Autre extension de la définition
En réalité, on peut sommer toute quantité un nombre ?ni de fois. Donc si on veut faire la somme
Sdes quantités10i+jpour tous les indicesietjtels que1i3et2j4, on écrira S=X1i32j410i+j
Svaut :(12 + 13 + 14) + (22 + 23 + 24) + (32 + 33 + 34) = 207 Dans le cas présent, tout revient à faire une somme de termes indexés par des couples(i;j)2 f1;2;3g f2;3;4g. Il serait facile de formaliser cette notion. 2Sommes r emarquables
Sommes des termes d"une suite géométrique
Il n"y qu"une seule version à retenir et àbienretenir : (?) 1 +x+x2++xN=NX k=0x k=8 :xN+11x1six6= 1
N+ 1sinonIci,Ndésigne un entier positif ou nul. La formule " générale » suppose que la raisonxest
di?érente de 1 (le dénominateur s"annulerait sinon).Bien noter les points suivants :
il y a deux casselon quexvaut 1 ou pas; le dénominateur qui s"annule si x= 1 5 -la quantité N+ 1qui intervient dans les deux cas est le nombre de termes de la somme; le pr emierterme à gauche est toujours 1. De nombreuses situations se ramènent à(?). Par exemple, si S=13X k=3x k et en supposantx6= 1alorsSpeut se récrire de l"une des deux façons suivantes : le plus simple ,en factorisant S=x313P k=3xk3=x310P j=0xj=x3x111x1 en additionnant et r etranchant: S=BAoùA=13P k=0xketB=2P k=0xketAetBpeuvent se calculer avec la formule(?).Conséquence
En faisant le produit en croix dans la formule(?)et en posantx=ab , on obtient la factorisation suivante, valable quels que soientaetb: a nbn= (ab)n1X k=0a kbn1kDans la somme, on remarquera que : le nombr ede termes est l" exposantn la somme des e xposantsde aet debsous le signevaut toujoursn1.Cas particulier
En changeantbenbet en supposantn= 2m+ 1impair, on obtient l"identité suivante : a2m+1+b2m+1= (a+b)(a2ma2m1b++bm)Par exemple,a3+b3= (a+b)(a2ab+b2), résultat qu"un matheux doit connaître.
Observer les points suivants :
cette formule ne p ermetpas de factoriser des e xpressionde la forme a4+b4car l"exposant doit être impair; entr eles par enthèsesdu 2 efacteur de droite, les termes alternent de signe, en terminant par un plus.La factorielle
Sinest un entier strictement positif, on appellefactorielledenle nombre suivant :12 n:
6 La factorielle dense noten!. C"est donc le produit de tous les entiers entre 1 etn. La factorielle véri?e la propriété suivante : (?) (n+ 1)! =n!(n+ 1) valable pour tout entiern >0.Voici les 5 premières factorielles :
1! = 1
2! = 2
3! = 23 = 6
4! = 64 = 24
5! = 245 = 120
La factorielle dengrandit très vite, asymptotiquement plus vite que n"importe quelle exponen-quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] le quotient en math
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