Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 fév. 2017 Définition 1 : Soit (ai) une suite de nombres réels ou complexes. Soit deux entiers naturels n et p tels que p ? n on définit la somme ...
LE SYMBOLE DE SOMMATION
Somme simple . Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de ... alors d'appliquer successivement la définition. Exemple.
Intégrale de Riemann
Définition 1.3 (Somme de Riemann). Soit f une fonction définie sur [a b]
MULTIPLES DIVISEURS
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Sommes et produits
Définition 1.1 (Définition d'une somme par récurrence) Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative.
Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Définition de famille libre liée
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que.
les matrices sur Exo7
Dans le calcul matriciel la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels. 1.3. Addition de matrices. Définition 3 (Somme de deux matrices). Soient A
MATRICES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. MATRICES Définition : Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée.
Espérance
1 F t dt. 2. Alors que la somme de deux variables aléatoires discrètes est toujours une variable aléatoire discrète. 3. La définition informelle de EX
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Définition 2 : Lorsqu'on somme sur deux indices on parle de somme double Soit (aij) une suite double de nombres réels ou complexes et soit
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Sommes et produits 2 1 Sommes : symbole X 2 1 1 Indices muets Définition 1 Soient p ? N? et soient u0u1u2 up des réels La somme S = u0 + u1
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18 sept 2010 · Définition 1 Le symbole ? signifie somme Plus précisément la notation i=7 ? i=2 ai se lit par exemple somme pour i variant de 2 à 7
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Sommes Éléments de cours 61 exercices Version du 1er octobre 2018 Importance des sommes en mathématiques Autre extension de la définition
[PDF] LE SYMBOLE DE SOMMATION
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on
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Une suite (un) ? K est une suite arithmétique de raison r si et seulement si ?n ? N un+1 = un + r Par propriété si (un) est une telle suite alors
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Apportons une démonstration mathématique rigoureuse à partir de la définition et de la formule de Pascal Pour tout n ? N définissons la propriété Pn : « ?k
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Maths en L?1gne Calcul Algébrique UJF Grenoble 1 Cours 1 1 Sommes et produits Nous commençons par les sommes L'écriture
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1 Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative « somme » a été définie (pour certaines formules la
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Une somme qui dépend de plus d'un indice peut être sommée d'abord sur n'importe lequel de ses indices Pour ce faire il existe une loi de base appelée
Qu'est-ce que veut dire la somme en mathématiques ?
? MATH. Somme (arithmétique). Résultat d'une addition. Somme de deux nombres, de deux quantités.Comment est la somme ?
La somme est le résultat d'une addition. Les nombres additionnés sont appelés des termes. La somme de 7 et de 5 est égale à 12. 12 est la somme, 7 et 5 sont les termes additionnés.Qu'est-ce que la somme des termes ?
La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est la moyenne du premier et du dernier terme (donc leur somme divisée par 2), multipliée par le nombre de termes.- En mathématiques, la sommation , notée ? , est le résultat de l'addition d'une suite de nombres (ou série entière). Le symbole ? est appelé l'opérateur somme, c'est un calculateur d'addition (finie ou infinie).
Chapitre 7
Espérance
7.1 Introduction
L' espérance d'une variable aléatoire est, lorsqu'elle existe, la moyenne des va- leurs de cette variable, pondérées par leurs probabilités de réalisation . On voit bien comment traduire cette définition informelle dans le cas d'une variable aléatoire discrète X en posant : E X x X xP X x .(7.1) Cette formule n'a de sens que si la famille de réels xP X x x X est sommable, ce qui se traduit par la condition suivante pour l'existence de l'espérance de la v.a. discrète X x X x P X x .(7.2) Tant que l'on reste dans le cadre des variables aléatoires discrètes, cette définition est satisfaisante et permet d'établir toutes les propriétés de l'espérance [14, Chap. 5]. En bonne place parmi ces propriétés, figure l'additivité de l'espérance : si X et Y définies sur le même F ,P ont une espérance, il en va de même pour X Y et E X Y E X EY.(7.3)
Essayons de traduire la définition informelle ci-dessus dans le cas d'une variable aléatoire à densité f . Partant de (7.1), on remplace P X x par P X x,x d x probabilité " valant 1 f x d x » et on remplace la somme (ou série) par une intégrale, ce qui conduit à : E X xf x d x,(7.4)1. Nous ne prétendons pas donner un sens rigoureux à cette probabilité d'appartenance à un
" intervalle infinitésimal », il s'agit juste d'une approche intuitive.252Chapitre 7. Espérance
la condition d'existence de l'espérance étant tout simplement la convergence absolue de cette intégrale généralisée, ce qui vu la positivité de f , se traduit par x f x d x .(7.5) Cette définition malgré son analogie formelle avec (7.1) est loin d'offrir la même sou-plesse pour établir les propriétés de l'espérance. Par exemple la preuve de l'additivité
est complètement hors de portée . En effet, si X et Y sont à densité, X Y peut n'être ni discrète ni à densité 2 , cf. l'exercice 6.13 pour un exemple, et alors le premier membre de (7.3) n'est même pas défini pour la v.a. Z X Y La solution donnée à ce problème par la théorie moderne des probabilités est la définition dans le cas général, de l'espérance de X comme une intégrale abstraite surΩ, relativement à la mesure
P E X X d P si� X d P (7.6) On peut donner une première idée de ce qu'est cette intégrale abstraite en considérant le cas d'une variable aléatoire X telle que X x 1 ,...,x n . Alors en notant A k X x k X x k X d P n k 1 x k P A k (7.7) ce qui traduit bien la définition informelle de E X comme la moyenne des valeurs de X pondérées par leurs probabilités de réalisation. Le passage au cas d'une variable aléatoire X quelconque revient précisément à construire une intégrale au sens deLebesgue sur
F ,P et cette théorie sort du cadre de ce livre. Il nous faut donc trouver une autre définition de E X . Cette définition doit per- mettre un traitement unifié de toutes les lois 3 . Rappelons qu'il existe des lois qui ne sont ni discrètes ni à densité et que la description la plus générale des lois devariables aléatoires réelles est donnée par leur fonction de répartition, cf. le théo-
rème 5.30 et la remarque 6.17. Il est donc naturel de chercher à définir E Xà partir
de la fonction de répartition F t P X t . Nous allons motiver cette définition en nous restreignant au cas des variables aléatoires positives et en partant du cas simple où X est discrète avec X x 1 ,...,x n partie finie de R . Dans ce cas, la définition informelle de E X se traduit par la formule E X n k 1 x k P X x k Les figures 7.1 et 7.2 nous montrent comment exprimer cette moyenne pondérée à l'aide de F . Rappelons que dans ce cas, F présente en chaque x k un saut d'amplitude P X x k . L'interprétation graphique en terme d'aires donnée par la figure 7.2 nous permet d'écrire E X comme l'intégrale de Riemann ordinaire : E Xquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] guide de l'utilisateur pour la définition des pme
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