Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 fév. 2017 Définition 1 : Soit (ai) une suite de nombres réels ou complexes. Soit deux entiers naturels n et p tels que p ? n on définit la somme ...
LE SYMBOLE DE SOMMATION
Somme simple . Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de ... alors d'appliquer successivement la définition. Exemple.
Intégrale de Riemann
Définition 1.3 (Somme de Riemann). Soit f une fonction définie sur [a b]
MULTIPLES DIVISEURS
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf
Sommes et produits
Définition 1.1 (Définition d'une somme par récurrence) Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative.
Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Définition de famille libre liée
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que.
les matrices sur Exo7
Dans le calcul matriciel la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels. 1.3. Addition de matrices. Définition 3 (Somme de deux matrices). Soient A
MATRICES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. MATRICES Définition : Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée.
Espérance
1 F t dt. 2. Alors que la somme de deux variables aléatoires discrètes est toujours une variable aléatoire discrète. 3. La définition informelle de EX
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Définition 2 : Lorsqu'on somme sur deux indices on parle de somme double Soit (aij) une suite double de nombres réels ou complexes et soit
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Sommes et produits 2 1 Sommes : symbole X 2 1 1 Indices muets Définition 1 Soient p ? N? et soient u0u1u2 up des réels La somme S = u0 + u1
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18 sept 2010 · Définition 1 Le symbole ? signifie somme Plus précisément la notation i=7 ? i=2 ai se lit par exemple somme pour i variant de 2 à 7
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Sommes Éléments de cours 61 exercices Version du 1er octobre 2018 Importance des sommes en mathématiques Autre extension de la définition
[PDF] LE SYMBOLE DE SOMMATION
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on
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Une suite (un) ? K est une suite arithmétique de raison r si et seulement si ?n ? N un+1 = un + r Par propriété si (un) est une telle suite alors
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Apportons une démonstration mathématique rigoureuse à partir de la définition et de la formule de Pascal Pour tout n ? N définissons la propriété Pn : « ?k
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Maths en L?1gne Calcul Algébrique UJF Grenoble 1 Cours 1 1 Sommes et produits Nous commençons par les sommes L'écriture
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1 Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative « somme » a été définie (pour certaines formules la
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Une somme qui dépend de plus d'un indice peut être sommée d'abord sur n'importe lequel de ses indices Pour ce faire il existe une loi de base appelée
Qu'est-ce que veut dire la somme en mathématiques ?
? MATH. Somme (arithmétique). Résultat d'une addition. Somme de deux nombres, de deux quantités.Comment est la somme ?
La somme est le résultat d'une addition. Les nombres additionnés sont appelés des termes. La somme de 7 et de 5 est égale à 12. 12 est la somme, 7 et 5 sont les termes additionnés.Qu'est-ce que la somme des termes ?
La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est la moyenne du premier et du dernier terme (donc leur somme divisée par 2), multipliée par le nombre de termes.- En mathématiques, la sommation , notée ? , est le résultat de l'addition d'une suite de nombres (ou série entière). Le symbole ? est appelé l'opérateur somme, c'est un calculateur d'addition (finie ou infinie).
1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Chapitre IV
vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteursDans ce chapitre ܧ
I Familles libres, génératrices, bases
1. Définitions
Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire - Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.Définition de famille génératrice
Définition de base
Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ
2. Bases et coordonnées
Démonstration :
2 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soit ݒԦܧא
3. Exemples
composantes ݔ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.
Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ forment une base du plan engendré par ces
deux vecteurs.3 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
- Թ défini par une équation vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲRemarque
vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le et pas 100 ! déterminé par ݊ͳ coefficients. - Une famille de 3 vecteurs de Թ (cf. cours)4. La ndimension finie
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : ܧ est de dimension finie si ܧ génératrice finie.4 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
5. Propriétés clés
Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.
Propriété 1 : Soit ࣠ une famille libre de ܧ. Alors la famille ࣠ᇱൌ࣠
et seulement si ݒԦܸב݁ܿ Propriété 2 : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ Alors ࣠ est liée si et seulement si il existe un vecteur ݒԦאgénératrice. Autrement dit, si et seulement si ݒԦא࣠ tel que ݒԦܸא݁ܿ
כSi ߣ non tous nuls. כ Si ߣ tel que ߣ5 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
ce qui est en fait un élément de ܸ݁ܿ6. Deux méthodes de construction de bases
Théorème d
espace vectoriel de dimension finie). Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 :Théorème de la base incomplète
Soit ܧ
famille génératrice de ܧ. Il faut compléter ࣠ en une base de ܧ de la propriété 1 :՜Si oui, on garde ࣠.
כ On recommence pour tous les autres vecteurs de ܩCe qui veut dire que ࣠ est libre et génératrice de ܧ, -à-dire est une base de ܧ
Exemple : Plan vectoriel. Cf. cours.
6 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
II algèbre de cette année !1. Définitions
Théorème fondamental : dimension et cardinal des basesSoit ܧ
Alors toutes les bases de ܧ
dimension de ܧ et se note ܧ. On a de plus ܧExemples :
- Les espaces vectoriels de dimension ͳ sont les droites vectorielles. Les espaces vectoriels de dimension ʹ sont les plans vectoriels, etc.Intuitivement, on peut dire que la dimension ܧ
dont dépend un vecteur de ܧ : ԹଷǡԹସ ou Թଵ.Lemme clé
Soit ܧ un espace vectoriel engendré par ݊ vecteurs. Alors toute famille libre de ܧ cardinal inférieur ou égal à ݊.Lemme clé ֜
Démonstration du lemme : On procède par récurrence sur ݊. va montrer que ݊ implique que ࣠ est liée.՜ Si ߣ
7 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
՜ Si ߣ
On regarde le cas ܧ engendré par ݊ vecteurs : ܧൌܸ݁ܿOn a donc ܧൌܧ
(S) ൝݊െͳ vecteurs. Comme ܽܿ
(i.e. toute famille libre de E est de cardinal inférieur ou égal à ݊െͳ).՜ Sinon, il existe au moins un ߣ ߣ
ఒభ. On jecte dans les lignes suivantes du système (S). On trouve que2. Conséquences importantes
Théorème
Soit ܧ
est une base de ܧii) Toute famille génératrice de ܧ a au moins ܧ éléments. Si une famille génératrice de ܧ
a exactement ܧ ܧCorollaire utile
࣠ de ܧ8 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Problème : montrer que ࣠ est génératrice. Soit ݒԦ un vecteur quelconque de ܧ. La famille ࣠ . On a donc, par la propriété clé 1, ݒԦܸא݁ܿ࣠ est donc génératrice (de tout ݒԦܧא). ࣠ étant génératrice de ܧ ܧ
Démonstration ii) : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ avec ܧ : ࣠ génératrice avec ܧ sinon on peut extraire une sous famille qui est une base de ܧPropriété de la croissance de la dimension
Soit ܧ un ev de dim finie et ܨ un sev de ܧ i) ܨ de dimension finie et ܨܧ ii) Si de plus ܨൌܧ alors ܨൌܧ - Il y a une in : les droites vectorielles. - Il y a une in : les plans vectoriels. - on 3 : Թଷ lui-même.Démonstration i) :
- Si ܨ automatiquement ܧ݊). Montrons que ܮ est une base de ܨ
Soit ݒԦܨא quelconque. On considère ܮᇱൌܮ3. Rang des systèmes de vecteurs
9 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
dimension de ܸ݁ܿ Attention de ne pas confondre le rang et le ! Le cardinal est une notion plus abstraite basée sur la dimension.Proposition :
Démonstration i) : ܸ݁ܿ
࣠ est donc une base de ܸ݁ܿ Problème : Donner le rang de ࣠ en fonction de ܽ - Si ܽ libre et à 3 éléments. - Si ܽ10 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
III utilité des notions abstraite
vectoriel, de base et de dimension1. Le problème
cherche une fonction ݂ aussi simple et régulière que possible dont le graphe passe par ces -à-dire telle queOn cherche une fonction interpolatrice ܲ
possible. Analyse : Le problème est linéaire par rapport à ܲSi on a ൝
et ൝ et אߣAlors ൝
11 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Synthèse : On pose
On a une solution du problème général en posant interpolateur de Lagrange. On a Théorème 1 : unique polynôme de degré inférieur ou égal àSoit ܧ
Démonstration du TH1 en utilisant le TH2 :
faut montrer que ܲ ge.Démonstration du TH2 :
libre.12 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soient ߣǡߣଵǡǥǡߣିଵ tels que ߣܲߣଵܲଵڮߣିଵܲ
Alors, ݔאԹǡߣߣଵݔڮߣ Ce qui montre que ߣൌߣଵൌڮൌߣOn a donc ܧ
On pose ܧൌᇱ. ܧ
Vérifions. On a pour tout ݊א
Un exemple célèbre : ܽൌܾൌͳ֜ Problème : On veut les formules explicites ֜ Idée : On cherche des suites solution sous la forme ݑൌݎ avec ݎא caractéristique. - Si ߂ - Si ߂ en exo).13 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème
tout ݊אԳ, on ait ݑൌߣଵݎଵߣ Conditions nécessaires : ൜ߣଵߣE est n espace vectoriel, il est donc stable par la loi +) avec ݓൌͲ et ݓଵൌͲ.
La preuve pour le cas ߂
On doit donc avoir ݑൌߣ
avec ൝On trouve ݑൌଵ
(est un entier !)Pour n assez grand, ݑ ଵ
On peut donner la croissance de la suite de Fibonacci. On a :՜ ». Elle représentait alors
une " proportion parfaite » (voir Wikipédia pour plus ).14 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
IV Supplémentaire, somme directe
1. Définitions
ܨܩ de deux sous espaces vectoriels de ܧ Définitions de somme directe et de supplémentaire1) On dit que deux sous espaces vectoriels ܨ et ܩ de ܧ
ݒԦൌݔԦݕԦ avec ݔԦܨאݕԦܩא2) Dans ce cas, on dit que ܩ est un supplémentaire de ܨ dans ܧ. On le note ܧൌܩْܨ
Premier exemple dans Թ:
Proposition : On a ܧൌ֞ܩْܨ൜ܧൌܨܩDémonstration :
(֜) : On suppose ܧൌܧ֜ܩْܨൌܨܩ. Soit ݒԦܩתܨא
Alors il existe forcément ݔԦܨאǡݕԦܩא décomposition ?2. Constructions et critères
Théorème
Tout sous espace vectoriel ܧ ܨ
supplémentaire dans ܧ F G15 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration :
Remarque importante sur la preuve
Cette démonstration montre comment fabriquer des supplémentaires : en complétant une base de ܧ ܨ. En particulier, tout sev ܨ de Թ possède un supplémentaire ܩparticulièrement simple : engendrés par certains vecteurs de la base canonique de Թ, i.e. du
type ܩൌܸ݁ܿPar exemple, tout plan ܲ
à la fois !
Théorème : critère de somme directe
Soit ܧ un espace vectoriel de dimension finie, ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧLemme : Soient ܨ et ܧ ܩ
F G16 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration du : Caractérisation de ܧൌܩْܨOn a ܧൌܩْܨ
Démonstration du lemme :
- 1er point à faire en exercice.Exemples :
- Dans Թଷ : une droite ܦ et un plan ܲ sont en somme directe ssi ܦתܲ sont supplémentaires dans Թସ.3. La formule de Grassmann
Pour conclure, on
17 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème de Grassmann :
Soient ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧ Illustration : Si ܨܩܧ alors ܩתܨExemples :
- Deux plans vectoriels de Թଷ se coupent toujours au moins suivant une droite : facile - Deux sous-espaces de dimension 3 dans Թସ contiennent au moins un plan : moins facile à voir !Démonstration géométrique :
Soit ܸ un supplémentaire de ܩתܨ dans ܩOn montre que ܨܩൌْܸܨ
- Soit ݒԦܸתܨא. Alors ݒԦܩתܨא car ܩؿܸOn a donc ܨܩൌْܸܨ
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