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  • Qu'est-ce que veut dire la somme en mathématiques ?

    ? MATH. Somme (arithmétique). Résultat d'une addition. Somme de deux nombres, de deux quantités.

  • Comment est la somme ?

    La somme est le résultat d'une addition. Les nombres additionnés sont appelés des termes. La somme de 7 et de 5 est égale à 12. 12 est la somme, 7 et 5 sont les termes additionnés.

  • Qu'est-ce que la somme des termes ?

    La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est la moyenne du premier et du dernier terme (donc leur somme divisée par 2), multipliée par le nombre de termes.
  • En mathématiques, la sommation , notée ? , est le résultat de l'addition d'une suite de nombres (ou série entière). Le symbole ? est appelé l'opérateur somme, c'est un calculateur d'addition (finie ou infinie).

Intégrale de Riemann

Aimé Lachal

Cours de mathématiques

1 ercycle, 1reannée

Sommaire

1Sommes de Riemann d"une fonction

Définitions

Exemples

2Intégrale de Riemann

Intégrabilité

Exemples

Propriétés

Formule de la moyenne

3Primitives

Théorème fondamental de l"analyse

Lien intégrale/primitive

Exemple de synthèse

Primitives des fonctions usuelles

Sommaire

1Sommes de Riemann d"une fonction

Définitions

Exemples

2Intégrale de Riemann

3Primitives

1. Sommes de Riemanna) Définitions

Définition 1.1 (Subdivision)

Soitaetbdeux réels tels quea Unesubdivisionde l"intervalle fermé borné[a;b]est une famillefiniede réels (x0;x1;:::;xn)telle que :a=x0Exemple 1.2 (Subdivision "équirépartie»)

La subdivisionéquirépartieest issue d"un découpageéquidistantde[a;b]enn intervalles de longueur identique=ban Les points de subdivision sont donnés parxk=a+kban ;06k6n(ils sont répartis selon une progression arithmétique de raison) : =a;a+ban ;a+2ban ;a+3ban ;:::;b:ax 0x 1x 2x 3:::x k1x kx k+1:::x n2x n1x nb 1

1. Sommes de Riemanna) Définitions

Définition 1.3 (Somme de Riemann)

Soitfune fonction définie sur[a;b],= (x0;:::;xn)une subdivision de[a;b], et = (1;:::;n)une famille de réels tels que :8k2 f1;:::;ng,k2[xk1;xk] (on dit alors que la familleestadaptéeà la subdivision). On appellesomme de Riemannde la fonctionfassociée àet àle nombre

S(f;;) =nX

k=1(xkxk1)f(k): Ce nombre représente l"aire de la réunion des rectangles de base[xk1;xk]et de hauteurf(k).xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2

1. Sommes de Riemannb) Exemples

Exemple 1.4 (Subdivision équirépartie)

Considérons une subdivision "équirépartie» avec comme choix deskune des bornes de chaque sous-intervalle :8 :x k=a+kban ;06k6n k=xk1ouxk;16k6n Les sommes de Riemann correspondantes s"écrivent :

S(f;;) =ban

n1X k=0f a+kban ouban n X k=1f a+kban xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3

1. Sommes de Riemannb) Exemples

Exemple 1.5 (Sommes de Darboux(facultatif))Soitfune fonctioncontinuesur[a;b],= (x0;:::;xn)une subdivision de[a;b].

Introduisons les valeurs "extrémales» relatives à chacun des sous-intervalles de:

8k2 f1;2;:::;ng;mk= min

[xk1;xk]fetMk= max [xk1;xk]f: Par continuité,fatteintses bornes : il existe donc des1k;2kdans[xk1;xk]tels que f(1k) =mketf(2k) =Mk. Les sommes de Riemann correspondant aux familles adaptées1= (11;:::;1n)et

2= (21;:::;2n)sont appeléessommes de Darboux:

S

1=S(f;;1) =nX

k=1m k(xkxk1)etS2=S(f;;2) =nX k=1M k(xkxk1):xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12x 13 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110
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213
Remarque :toutes les sommes de Riemann sont comprises entreS1etS2.4

Sommaire

1Sommes de Riemann d"une fonction

2Intégrale de Riemann

Intégrabilité

Exemples

Propriétés

Formule de la moyenne

3Primitives

2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité

Définition 2.1 (Intégrabilité)

Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que

8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "

on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 5

2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité

Définition 2.1 (Intégrabilité)

Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que

8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "

on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 5

2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité

Définition 2.1 (Intégrabilité)

Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que

8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "

on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 5quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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