Feuille dexercices n˚8 : corrigé
13 déc. 2011 1. 2 . • On reconnait une somme télescopique dans la somme partielle : n. ∑ k=1 ln. (k + 1 k. ) = n. ∑ k=1 ln(k +. 1) − lnk = ln(n + 1) − ln ...
Exercice. Convergence de ∑ ln(1 − 1 k2 ) et valeur de la somme de
Donc ∑(an+1 −an) converge absolument par règle de comparaison. La série est téléscopique donc (an) converge et il existe γ tq an = γ + o(1).
Séries
(somme télescopique). Si la série de terme général un converge alors limn→+∞ un = 0 et donc 0 < un. ∼ n→+∞ ln(1+un). Donc la série de terme général ln(1
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En effet elle peut être écrite comme somme télescopique
Somme téléscopique À laide dun téléscopage
25 sept. 2021 — On mobilisera les propriétés opératoires de la fonction logarithme pour cela. Éléments de correction. On a tout d'abord que : ∀k ∈ 2; n ln.
Devoir Maison n 3
On va majorer chaque terme de la somme par ln(k)−ln(k −1). Cependant l On reconnaîtra ensuite une somme télescopique. vn. = 1+ n. ∑ k=2. 1 k. ≤ 1 + n.
Sommes et Produits 1 Sommes
S3 = ln 2 + ln 4 + ln 6 + + ln 12. S4 = 1 − 2+3 − 4 + ... − 102 + 103 ... On parle de somme télescopique lorsque le terme général est la différence ...
Calculs de sommes et de produits finis
10 août 2023 Sommes téléscopiques. Proposition 4
Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 fév. 2017 k. • On utilise une somme télescopique : Sn − xSn = n. C k=p x k ... ln ak. 2.3 Produits télescopiques. Théorème 7 : Produits télescopiques.
Feuille dexercices no 5 - Sommes et produits
Des sommes télescopiques. Calculer les sommes suivantes : 1. (#) A = n. ∑ k=1 ln(k + 1) − ln k = ln(n + 1) − ln(1) = ln(n + 1). 19. n. ∑ k=0. 1. (k + 2)(k ...
Feuille dexercices n?8 : corrigé
13 déc. 2011 On reconnait une somme télescopique dans la somme partielle : ... ln 2. Exercice 2 (**). Le plus simple pour déterminer la nature de la ...
Exercice. Convergence de ? ln(1 ? 1 k2 ) et valeur de la somme de
Donc ?(an+1 ?an) converge absolument par règle de comparaison. La série est téléscopique donc (an) converge et il existe ? tq an = ? + o(1).
Séries
(somme télescopique). Si la série de terme général un converge alors limn?+? un = 0 et donc 0 < un. ? n?+? ln(1+un). Donc la série.
Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 févr. 2017 entiers naturels n et p tels que p ? n on définit la somme suivante par ... ln ( n n k=p ak) = n. C k=p ln ak. 2.3 Produits télescopiques.
Séries
En effet elle peut être écrite comme somme télescopique
Calculs de sommes et de produits finis
13 sept. 2021 Application
Séries
16 mars 2020 ln(n). = 1. Par théorème d'encadrement on trouve ainsi que lim n?+?. Sn ln(n) ... n+1
Sommes et produits de nombres
ln( k2. (k ? 1)(k + 1)) . Exercice 6 : Écrire à l'aide de factorielles les expressions suivantes : (a) n.
Feuille dexercices n?21 : corrigé
5 juin 2014 u0 ? un+1 = u0 donc la série de terme général u2 n converge vers u0. 3. La somme partielle va également être télescopique : k=n. ? k=0 ln.
Compléments sur les suites Suites adjacentes - Correction - Lycée d
27 févr. 2017 Comme la dernière somme est télescopique on a un ? ln(n + 1) ? ln 1 ? un ? ln(n + 1) or lim n?+? ln(n + 1)=+?
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Une somme télescopique est une série de la forme ? k?0 (ak+1 ? ak) Cette série est convergente si et seulement si l := limk?+? ak existe et dans ce
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13 déc 2011 · On reconnait une somme télescopique dans la somme partielle : n ? k=1 ln (k + 1 k ) = n ? k=1 ln(k + 1) ? lnk = ln(n + 1) ? ln 1
[PDF] Devoir Maison n?3
On reconnaîtra ensuite une somme télescopique vn = 1+ n ? k=2 1 k ? 1 + n ? k=2 (ln(k) ? ln(k ? 1)) ? 1 + ln(n) ? ln(2 ? 1) ? 1 + ln(n)
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27 fév 2017 · Exemples : Les sommes télescopiques sont une méthode très efficace pour calcu- ler la somme des termes d'une suite (un) Il s'agit de trouver
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21 sept 2022 · Application[2504] 9 Somme téléscopique À l'aide d'un téléscopage de termes exprimer en fonction de n ? 2 la somme n ? k=2 ln
[PDF] Feuille dexercices no 5 - Sommes et produits
Reprendre la méthode de l'exercice précédent pour retrouver la formule de n ? k=0 k3 Exercice 10 Des sommes télescopiques Calculer les sommes suivantes
[PDF] Calcul de sommes et de produits
1 1 2 2 Sommes des entiers et somme des carrés ln ( sin (k? 2n )) ; poser k = 2n ? k 1 2 3 Sommes télescopiques Proposition 7
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Calculer la somme lorsqu'il y a convergence (a) Étudier la suite de terme général ln(un+1) ? ln(un) k(k?1) et sommation télescopique) Au final
[PDF] Exercice Convergence de ? ln(1 ? 1 k2 ) et valeur de la somme de
Donc ?(an+1 ?an) converge absolument par règle de comparaison La série est téléscopique donc (an) converge et il existe ? tq an = ? + o(1)
Comment calculer la somme d'une série numérique ?
Lorsqu'une expression comporte plusieurs opérations, on peut se demander s'il s'agit d'une somme ou d'un produit. C'est une somme car : on commence le calcul par la multiplication, elle est prioritaire : 3 × 4 = 12 ; on effectue l'addition : 2 + 12 = 14.Comment calculer la somme d'un produit ?
Lorsque n augmente, sa n-ième somme partielle Sn augmente (lentement) et finit par dépasser tout nombre donné par avance : cette somme tend vers l'infini. La série harmonique ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.Comment montrer qu'une série est divergente ?
Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .
Les symboles somme et produit
Table des matières
1 Le symbole sommeΣ2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Linéarité et changement d"indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Sommes télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Sommes à connaître. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Sommes doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Le symbole produitΠ9
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Relation produit - somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Produits télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1 Le symbole sommeΣ
1.1 Définition
Définition 1 :Soit(ai)une suite de nombres réels ou complexes. Soit deux entiers naturelsnetptels quep?n, on définit la somme suivante par : n∑ k=pa k=ap+ap+1+···+an Soit I un sous-ensemble fini deN, la somme de tous les termesai,idécrivant I sera notée∑ i?Ia iRemarque :
La variablekest une variable muette, c"est à dire qu"une fois la somme calculée, le résultat ne dépend plus dek. On peut donc lui donner le nom qu"on veut :i, j,k, etc. à exception des bornes de la somme, icipetn:n∑ k=pa k=n∑ i=pa i=n∑ j=pa jOn retrouve cette variable muette, lorsque l"on veut calculer une somme àl"aide d"un algorithme. (boucle Pour)
Lorsque les termes de la somme ne dépendent pas de la variable, on somme des termes constants donc : n∑ k=03=3+3···+3? n+1 termes=3(n+1)Si I={2;4;6}alors∑
i?Ia i=a2+a4+a6.Exemples :
1+2+···+n=n∑
k=1k.1+2+22+···+2n=n∑
k=02k. 1 n+1+1n+2+···+12n=n∑ k=11n+k.1+3+5+···+(2n-1) =n∑
k=1(2k-1). ?Ne pas confondre : n∑ k=1(k+1) =n∑ k=1k+navecn∑ k=1k+1 les parenthèses font toute la différence. n∑ k=022k(n+1 termes) et2n∑ k=02k(2n+1 termes) Propriété 1 :Relation de Chasles et linéarité :Relation de Chasles :
n∑ k=pa k= m∑ k=pa k+n∑ k= m+1 akL"opérateur somme est linéaire :
n∑ k=p(αak+βbk) =αn∑ k=pa k+βn∑ k=pb k.PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
Exemple :n∑
k=0a k=2∑
k=0a k+n∑ k= 3 aketn∑ k=0(3k+4k) =n∑ k=03k+4n∑ k=0k1.2 Linéarité et changement d"indice
Propriété 2 :Changement d"indice.
L"expression à l"aide du symbole
∑n"est pas unique. On peut écrire une somme avec des indices différents. Les changements d"indicesk→k+p(translation)k→p-k(symétrie) sont les plus fréquents :n∑ k=1a k=n+p k=p+1a k-p=p-1 k=p-na p-kExemples :Calculer la somme :Sn=n∑
k=1?1k-1k+1?
On utilise la linéarité :Sn=n∑
k=11k-n∑ k=11k+1 On effectue un changement d"indice sur la deuxième somme :k→k+1 : S n=n∑ k=11 k-n+1∑ k=21k. k=21k-n∑ k=21k-k=n+1? ???1 n+1=1-1n+1Pourn?2, on considère la sommeSn=n+1∑
k=2k22k-1. Faire une translation d"indice pour que la nouvelle variable varieentre 0 et(n-1) et une symétrie d"indice pour que la nouvelle variable varie entre 2et(n+1). Pour la translation, il suffit de faire :k→k-2, on a alors : S n=n-1∑ k=0(k+2)22(k+2)-1=n-1∑ k=0(k+2)22k+3 Pour la symétrie, il faut déterminer le milieu :2+ (n+1)2=n+32. On effectue alors la symétriek→n+3-k, on a alors : S n=n+1∑ k=2(n+3-k)22(n+3-k)-1=n+1∑ k=2(n+3-k)22n+5-2kPAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1.3 Sommes télescopiques
Théorème 1 :Sommes télescopiques
Soit une suite(an)une suite de nombres réels ou complexes, on a : ?n,p?N,p?n,n∑ k=p(ak+1-ak) =an+1-apRemarque :n∑
k=0(ak+1-ak) =an+1-a0etn∑ k=0(bk-bk+1) =b0-bn+1Démonstration :On pose :Sn=n∑
k=p(ak+1-ak)On utilise la linéarité :Sn=n∑
k=pa k+1-n∑ k=pa k On effectue un changement d"indice sur la première somme :k→k+1 S n=n+1∑ k=p+1a k-n∑ k=pa k On sépare les termes différents :Sn=an+1+n∑ k=p+1a k-n∑ k=p+1a k-ap=an+1-ap Exemples :Lessommestélescopiquessontuneméthodetrèsefficacepourcalcu- ler la somme des termes d"une suite(un). Il s"agit de trouver une suite(vn)pour queun=vn+1-vn. Ce n"est bien sûr pas toujours possible malheureusement.Calculer les sommes suivantes :
Sn=n∑
k=11k(k+1): on décompose1k(k+1)en1k-1k+1 S n=n∑ k=11 k(k+1)=n∑ k=1?1k-1k+1?
=1-1n+1.Rn=n∑
k=1k×k! : on décomposek×k! en(k+1)k!-k!= (k+1)!-k! R n=n∑ k=1k×k!=n∑ k=1[ (k+1)!-k!]= (n+1)!-1Tn=n∑
k=11k(k+1)(k+2) a k(k+1)-a(k+1)(k+2)=a(k+2)-akk(k+1)(k+2)=2ak(k+1)(k+2), on aa=12 T n=n∑ k=11 k(k+1)(k+2)=12n∑ k=1?1k(k+1)-1(k+1)(k+2)?
1 2?12-1(n+1)(n+2)?
n(n+3)4(n+1)(n+2)
PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1.4 Sommes à connaître
Théorème 2 :Somme des entiers, des carrés, des cubes Pour tout entier naturelnnon nul, on a les relations suivantes :S1(n) =n∑
k=1k=1+2+···+n=n(n+1)2S2(n) =n∑
k=1k2=1+4+···+n2=n(n+1)(2n+1)6S3(n) =n∑
k=1k3=1+8+···+n3=n2(n+1)24 Démonstration :La première formule a été démontré en première en ordon- nant la somme dans l"ordre croissant puis dans l"ordre décroissant. Les deux der- nières formules ont été démontré en terminale par récurrence. Mais les démons- trations directes sont possibles à l"aide de sommes télescopiques. On pourrait généraliser ces démonstration aux somme des puissancespième des entiers na- turels.S1(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)2-k2] = (n+1)2-1 n∑ k=1[(k+1)2-k2] =n∑ k=1(k2+2k+1-k2) =n∑ k=1(2k+1) =2n∑ k=1k+n∑ k=11=2S1(n) +nOn en déduit que :
2S1(n) +n= (n+1)2-1?S1(n) =(n+1)2-(n+1)
2=n(n+1)2
S2(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)3-k3] = (n+1)3-1 n∑ k=1[(k+1)3-k3] =n∑ k=1(k3+3k2+3k+1-k3) =n∑ k=1(3k2+3k+1) =3n∑ k=1k2+3n∑ k=1k+n∑ k=11=3S2(n) +3S1(n) +nOn en déduit que :
3S2(n)+3S1(n)+n= (n+1)3-1?3S2(n) =?(n+1)3-1-3S1(n)-n??
S 2=1 3? (n+1)3-3n(n+1)2-(n+1)? =2(n+1)3-3n(n+1)-2(n+1)6 (n+1)(2n2+4n+2-3n-2)6=(n+1)(2n2+n)6=n(n+1)(2n+1)6
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
S3(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)4-k4] = (n+1)4-1 n∑ k=1[(k+1)4-k4] =n∑ k=1(k4+4k3+6k2+4k+1-k4) =n∑ k=1(4k3+6k2+4k+1) =4n∑quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] somme télescopique exercice corrigé
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