[PDF] Cours de logique : Rappels sur les corps. Pour votre curiosité ne

View - Download Cours de logique : Rappels sur les corps. Pour votre curiosité ne

Previous PDF

Next PDF

Cours de logique : Rappels sur les corps. Pour votre curiosite, ne sera pas suppose connu. Uncorpsest un anneau commutatif (unitaire) dans lequel tout element non nul est inversible. Exemples :Q,R,C, mais aussiFp(voir denition ci-dessous) etFq. Un corps est en particulier un anneauintegre: siaetbsont non nuls, alors aussi leur produit ab. SiKest un corps, on appellesous-corps premier deKle sous-corps engendre par 1. C'est donc le corps de fractions du sous-anneau engendre par 1, et celui-ci est ou bienZ, ou bienZ=pZ, avecpun nombre premier, et dans ce cas,Z=pZest un corps, ayantpelements, et qu'on note F p. Le sous-corps premier d'un corpsKsera donc ou bienQ(et dans ce cas on dira queKest decaracteristique0), ou bienFp(et dans ce cas on dira queKest decaracteristiquep). Uneextension algebrique deKest un corpsLcontenantKtel que si2K, alors il existe un polyn^ome non nulP(X)2K[X] tel queP() = 0, et comme nous sommes dans un corps on peut supposer que ce polyn^ome estunitaire, c'est-a-dire que le coecient du terme de plus haut degre est 1. On peut aussi prendre ce polyn^ome irreductible (carF()G() = 0 entraine F() = 0 ouG() = 0) ou de facon equivalente,de degre minimal; il sera alors appele le polyn^ome minimal desurK. Le degre du polyn^ome minimal deest aussi appele ledegre desurK, et note [K() :K]. On observe plusieurs choses : Si le degre dePestn, alorsf1;;:::;n1gforment une base duK-espace vectorielK[] (= sous-anneau deLengendre parsurK) : si

P(X) =Xn+n1X

i=0b iXi; alors n=n1X i=0b ii: Cela montre que l'espace vectorielK+K++n1Kest clos par multiplication par; que lesisont lineairement independants suit de la minimalite du degre deP. Nous allons montrer queK[] est un corps. En eet, si 06=c2K[], alors la multiplication parcinduit un automorphisme duK-espace vectorielK[] (K-lineaire, injectif, donc surjectif puisqueK[] est de dimension nie), et a donc un inverse, dont la matrice correspondra a la multiplication par ...c1.

Cela entraine aussi qu'on a

K[]'K[X]=(P(X));

par unK-isomorphisme qui envoiesurX+ (P(X)). Ici (P(X)) est l'ensemble des multiples deP(X) dans l'anneau de polyn^omesK[X]. CommeP(X) est irreductible, (P(X)) est un ideal maximal, et le quotient est donc un corps | autrement dit,K[] est le sous-corps deL engendre parsurK. Notez aussi que siLest un corps contenantK,Q(X)2K[X] un polyn^ome non nul, alorsL contient au plus deg(Q) solutions (ouracines) deQ(X) = 0. Et enn que siest algebrique 1 surK(), alorsest aussi algebrique surK: leK-espace vectorielK[] est de dimension nie, de dimension [K(;) :K()][K() :K]. Soitpun nombre premier xe,Kun corps algebriquement clos contenantFp. Si on prend le sous-ensemble deKconsistant des elements algebriques surFp, alors ils forment un sous-corps, appele lacl^oture algebrique deFp(dansK), et que je noteFp. Alors tout element deFpest contenu dans un sous-corps deFpqui est unFp-espace vectoriel de dimension nie, et qui est doncni, de cardinalite une puissance dep. On peut montrer qu'un tel corps est determine uniquement par sa cardinalite : siq=pf, alors il existe un seul corps (a isomorphisme pres) dont les elements sont les racines deXqX= 0. Ce corps est noteFq. J'admettrai aussi le resultat suivant :Cest algebriquement clos, c'est-a-dire : siP(X)2C[X] est unitaire, alors il existea2Ctel queP(a) = 0. 2quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

[PDF] commentaire composé les espaces du sommeil

[PDF] rrose sélavy

[PDF] l aumonyme desnos analyse

[PDF] henri michaux

[PDF] langage cuit desnos

[PDF] non l'amour n'est pas mort analyse

[PDF] melange et corps pur 4eme pdf

[PDF] melange et corps pur 4eme

[PDF] corps santé bien etre

[PDF] carnet entrainement demi fond

[PDF] rapport au corps psychologie

[PDF] qu'est ce que le rapport au corps

[PDF] représentation sociale du corps définition

[PDF] corps et société david le breton

[PDF] le culte du corps dans notre société