[PDF] Chapitre 8 - Corps finis et leur clôture algébrique

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Chapitre 8

Corps finis et leur clôture

algébrique

Version du 1

erdécembre 2004 Erratum. Dans la version du 22 novembre du Chap.7, au début de la démonstration du théorème d"Artin, il n"est pas évident a priori quedimLKsoit finie. Par consé- quent, il faut remplacer les deux premières lignes de la p.123 par : "Posonsn=|G|. D"après la proposition 7.5.3, on adimLK≥n. Supposons quedimLK > n. Alors, posantr=n+1, il existe des élémentsε1,...,εr?Llinéairement indépendants sur K", et les trois dernières lignes de la p.123 par : "Cette contradiction montre que l"hypothèsedimKL > nest impossible. On a doncdimKL=n, ce qui prouve le point 1)." De plus, toujours p.123, deux lignes en dessous du système(?), supprimer les mots : "Supposonsr > n."

8.1 Cardinal et groupe multiplicatif d"un corps fini

Soitkun corps fini. Son sous-corps premier est fini donc, d"après le paragraphe 7.1.2,kest de caractéristiquep >0. On identifiera son sous- corps premier àFp=Z/pZ. Tout corps contenantka même sous-corps premier, donc est aussi de caractéristiquep. Lemme 8.1.1Soientk?k?deux corps finis, de cardinalqetq?respective- ment.

1)Soitn= [k?:k]. Alorsq?=qn.

2)Par conséquent, sip=car(k)etm= [k:Fp], alorsq=pmet

q ?=pmn. 133
Démonstration.1) Commek?est fini, c"est unk-espace vectoriel de di- mension finien. Alorsk?≂=kncommek-espace vectoriel, et donc|k?|=|k|n.

Ceci prouve 1).

Le même argument appliqué àFp?kmontre queq=pm, d"où le lemme. Corollaire 8.1.2Sikest un corps fini de caractéristiquep, alors le cardinal dekest une puissance dep. Théorème 8.1.3 (Groupe multiplicatif d"un corps fini) Soitkun corps fini de cardinalq=pn. Le groupe multiplicatifk×= k\ {0}est un groupe cyclique d"ordreq-1. Démonstration.k×est un groupe abélien fini; c"est donc unZ-module de type fini et de torsion. D"après le théorème de structure des modules de type fini sur un anneau principal, il existe des entiersd=d1≥ ··· ≥dr>1 tels quedidivisedi-1, pouri=r,r-1,...,2et k

×≂=Z/d1Z? ··· ?Z/drZ.

Alors, d"une part,|k×|=dd2···dret, d"autre part, tout élémentx?k× vérifiexd= 1. Or, commek[X]est intègre, le polynômeXd-1a au plusd racines dansk. Il en résulte quer= 1etk×≂=Z/dZest cyclique, d"ordre

8.2 Endomorphismes de Frobenius

8.2.1 La formule du binôme

coefficient binomial : µn :=n! k!(n-k)!. (On le note aussiCkn.) C"est le nombre de façons de choisirkéléments dans un ensemble ànéléments. Pourk= 0oun, ceci vaut1. On rappelle aussi la formule de Pascal (pourk≥1) : µn =µn-1 +µn-1 (Quand on prendkéléments dans{1,...,n}, on peut ou bien prendre, ou ne pas prendre,n.) On rappelle aussi la formule du binôme, valable dans tout anneau commutatif. 134

Lemme 8.2.1 (Formule du binôme)

SoitAun anneau commutatif eta,b?A. Pour toutn≥1, on a : (a+b)n=nX i=0µ n a ibn-i. Démonstration.Par récurrence surn, en utilisant la formule de Pascal. Lemme 8.2.2Soitp?Nun nombre premier. Alorspdivise¡p k¢pour tout k= 1,...,p-1.

Démonstration.pdivisep! =k!(p-k)!¡p

k¢et est premier aveck!(p-k)!, donc divise¡p

8.2.2 Les morphismesFrpetFrpn

Proposition 8.2.3 (L"endomorphisme de FrobeniusFrp) SoitKun corps de caractéristiquep >0. Alors l"applicationx?→xpest un endomorphisme du corpsK, notéFrp. De plus, siKest fini, alorsFrp est un automorphisme deK. Démonstration.Il est clair que1p= 1et(ab)p=apbppour touta,b?K. L"égalité(a+b)p=ap+bprésulte de la formule du binôme et du lemme précédent. Donc, Fr pest un morphisme de corps deKversK, c.-à-d., un en- domorphisme de corps deK. Il est bien sûr injectif, comme tout morphisme de corps. Par conséquent, siKest fini, Frpest bijectif donc un automor- Corollaire 8.2.4 (Les endomorphismes de FrobeniusFrq=Frpn) SoientKun corps de caractéristiquep >0etn≥1. L"application Fr np:=Frp◦···◦Frp(nfois), qui à toutxassociexpn, est un endomorphisme du corpsK. On le note aussiFrpnouFrqsiq=pn. SiKest fini, c"est un automorphisme deK. Démonstration.Ceci résulte immédiatement de la proposition précédente. Corollaire 8.2.5Soientpun nombre premier,n≥1etq=pn. Alorsp divise¡q i¢pour touti= 1,...,q-1. 135
Démonstration.Plaçons-nous dans le corpsK=Fp(X)des fractions rationnelles surFpet notonsπla projectionZ→Fp. D"une part, on a (1) (1 +X)q=qX i=0π(µq )Xi.

D"autre part, comme Fr

q=Frnpest un endomorphisme deK, l"on a (2) (1 +X)q= 1 +Xq.

En comparant(1)et(2), on obtient que¡q

i¢≡0mod.p, pouri= 1,...,q-1.

8.3 Existence et unicité des corpsFpn

Lemme 8.3.1SoientKun corps etτun endomorphisme deK. Alors l"en- semble des éléments invariants K

τ:={x?K|τ(x) =x}

est un sous-corps deK. Théorème 8.3.2 (Existence et unicité deFq) Soientpun nombre premier,n≥1etq=pn. SoitKun corps de dé- composition surFpdu polynômeXq-X. Alors,|K|=q. Réciproquement, tout corps fini àqéléments est isomorphe àK. Par conséquent, il existe à isomorphisme près, un unique corps fini àqéléments. On le noteFqouFpn. Démonstration.SoitKun corps de décomposition du polynômeQ:= X q-XsurFp. Le polynôme dérivéQ?égale-1donc n"a pas de racines en commun avecQ. Par conséquent, d"après la proposition 7.6.2,Qaqracines distinctes dansK. Or, le point-clé est que ces racines sont exactement les solutions de l"équationxq=x, c.-à-d., les éléments deKfixés par l"endomorphisme Frq. Par conséquent, ces racines forment un sous-corpsK1deK, de cardinalq. Comme, par hypothèse,Kest engendré par ces racines, on obtientK=K1, et doncKest de cardinalq. Ceci prouve le point 1). Réciproquement, supposons queLsoit un autre corps fini de cardinalq. D"après le théorème 8.1.3, le groupe multiplicatifL×est cyclique, d"ordre q-1. Donc, tout élémentx?L×vérifie x q-1= 1et doncxq=x. 136
Donc, tout élément deL=L×? {0}est une racine du polynômeQ= X q-X. Comme|L|=q, alorsQa toutes ses racines dansL, et puisque leur ensemble égaleLtout entier,Lest un corps de décomposition deQ surFp. Par conséquent, d"après le théorème 7.3.3,Lest isomorphe àK. Le Théorème 8.3.3 (Existence et unicité des extensionsFq?Fqn) Soientpun nombre premier,q=pdetq?=pndeux puissances dep.

1)S"il existe une extensionFq?Fq?alorsq?est une puissance deq,

c.-à-d.,nest un multiple ded.

2)Réciproquement, sin=rd, c.-à-d., siq?=qr, alors le corpsFq?

contient un unique sous-corps de cardinalq; c"est le sous-corps des invariants deFrq. Démonstration.1) On a déjà vu (lemme 8.1.1) que siFq?Fq?alorsFq? est unFq-espace vectoriel de dimension finier, d"oùq?=qr, c.-à-d.,n=dr.

2) Réciproquement, supposonsn=dr, c.-à-d.,q?=qr. D"après le théo-

rème précédent, le polynôme X q?-X=Xqr-X est scindé dansFq?et ses racines, deux à deux distinctes, sont exactement les éléments deFq?. D"autre part, X qr-X=Xq-X+Xq2-Xq+···+Xqr-Xqr-1 =Xq-X+ (Xq-X)q+···+ (Xq-X)qr-1. DoncXq-XdiviseXqr-Xet a aussi toutes ses racines dansFq?. Ces racines sont exactement les points fixes dansFq?de l"endomorphisme de Frobenius Fr q, donc forment un sous-corpsKde cardinalq, isomorphe àFq. Enfin, supposons queLsoit un autre sous-corps deFq?de cardinalq. D"après le théorème 8.1.3, le groupe multiplicatifL×est cyclique, d"ordre q-1. Donc, tout élémentx?L×vérifie x q-1= 1et doncxq=x. Par conséquent, les éléments deL=L×? {0}sont exactement les racines dansFq?du polynômeXq-X. Il en résulteL=K. Le théorème est démontré. 137

8.4 Groupe de Galois deFqnsurFq

Lemme 8.4.1SoitGun groupe fini.

1)Pour tout sous-groupeH, on a|G|=|H| · |G/H|. En particulier,|H|

divise|G|.

2)Soitg?G. L"ensemble{n?Z|gn= 1}est un sous-groupe non-

nul deZ, donc de la formedZ, pour un certaind≥1, appelé l"ordre de g. On ad= 1?g= 1. Le sous-groupe deGengendré pargest égal à {1,g,...,gd-1}; il est de cardinaldet isomorphe àZ/dZ. En particulier,d divisen. Démonstration.On rappelle queG/Hdésigne l"ensemble des classes à gauchegH. C"est un ensemble fini, puisqueGest fini. De plus, deux classes distinctesgH?=g?Hsont disjointes. En effet, sinon il existeraith,h??H tels quegh=g?h?, et l"on auraitgH=g?H. De plus, chaque classegHest de cardinal|H|, puisque l"applicationH?→gH,h?→ghest une bijection. DoncGest la réunion disjointe de|G/H|classes, chacune de cardinal|H|.

Le point 1) en résulte.

Soitg?G. On poseg0= 1. CommeGest fini, les élémentsgk,k≥1, ne peuvent être tous distincts. Donc il exister < stels quegr=gs, d"où g s-r= 1. Ceci montre que l"ensemble {n?Z|gn= 1} n"est pas réduit à{0}. Commegmgn=gm+n, on voit que cet ensemble est un sous-groupe non nul deZ, donc est de la formedZ, pour un uniqued≥1, et le reste du point 2) s"obtient facilement. Théorème 8.4.2 (L"isomorphismeGal(Fqn/Fq)≂=Z/nZ) Soitqune puissance d"un nombre premierpet soitn≥1. L"extension F q?Fqnest galoisienne. Son groupe de GaloisGal(Fqn/Fq) =AutFq(Fqn) est un groupe cyclique d"ordren, engendré par l"automorphisme de Frobenius Fr q. Démonstration.Fqnest un corps de décomposition du polynômeQ= X qn-XsurFp, donc a fortiori surFq. De plus,Qa des racines distinctes dans F qn(puisqueQ?=-1) donc est, a fortiori, séparable surFq. Donc, d"après le 2ème théorème fondamental (7.4.4), l"extensionFq?Fqnest galoisienne. De plus, d"après le théorème d"Artin (7.5.4), on a |Gal(Fqn/Fq)|= [Fqn:Fq] =n. 138

D"autre part, Fr

qest unFq-automorphisme deFqn, c.-à-d., un élément de G=Gal(Fqn/Fq); soitdson ordre. L"égalité Frdq=idFqnéquivaut à ?x?Fqn, x=Frdq(x) =xqd. Comme le polynômeXqd-Xa au plusqnracines, ceci entraîne qued≥n. Par conséquent,d=net le sous-groupe cyclique deGengendré par Frqégale

8.5 Théorème de l"élément primitif, et polynômes

irréductibles surFq On rappelle (cf.7.7.2) qu"une extensionk?Kest dite simple s"il existe ξ?Ktel queK=k(ξ); dans ce cas, on dit queξest un élément primitif deKsurk. Théorème 8.5.1On considère une extensionFq?Fqn. Soitξun généra- teur du groupe multiplicatifF×qn.

1)Fqn=Fq[ξ], c.-à-d.,ξest un élément primitif.

2)Le polynôme minimalIrrFq(ξ)est de degrén.

Démonstration.1) est clair carFq[ξ]contient{1,ξ,ξ2,...,ξqn-1}=F×qn, ainsi que0, donc égaleFqn. Le point 2) en découle car le degré de IrrFq(ξ) Corollaire 8.5.2Pour tout corps finiFq, et toutn≥1, il existe dansFq[X] au moins un polynôme irréductible unitaire de degrén. Définition 8.5.1Pour toutd≥1, notonsI(d,q)l"ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degréddansFq[X]et posonsi(d,q) =|I(d,q)|.

Théorème 8.5.3Pour toutn≥1, on a

(1)Xqn-X=Y d|nY

P?I(d,q)P.

Par conséquent,

(2)qn=X d|ndi(d,q). 139
Démonstration.Fixonsn≥1. On va démontrer le théorème en trois

étapes.

1. SoientddivisantnetP?I(d,q). Le corps de ruptureFq[X]/(P)est de

degrédsurFq, donc est isomorphe àFqd. Par conséquent,Pa au moins une racineαdansFqd. Comme, d"après le théorème 8.4.2, l"extensionFq?Fqd est galoisienne, alorsP=IrrFq(α)est scindé surFqd. Par conséquent,P divise le polynôme (?d)Xqd-X=Y x?Fqd(X-x). De plus, on a vu dans la preuve du théorème 8.3.3 queXqd-Xdivise X qn-X. Ceci découle aussi de l"inclusionFqd?Fqn(établie en 8.3.3), et de l"égalité (?n)Xqn-X=Y x?Fqn(X-x). Donc,PdiviseQn:=Xqn-X. Ceci montre queQnest divisible par le terme de droite de(1).

2. Réciproquement, soitRun facteur irréductible, unitaire, de degréd,

deQndansFq[X]et soitαune racine deRdansFqn. AlorsR=IrrFq(α)et doncdegFq(α) =d. Par conséquent, on a F qd≂=Fq[α]?Fqn, et, d"après le théorème 8.3.3, ceci entraîne qued|n. Ceci montre queQn n"a pas d"autres facteurs irréductibles que lesP?I(d,q), pourd|n.

3. Enfin, les facteurs irréductibles deQnsont tous de multiplicité1,

puisqueQna des racines simples, d"après(?n). Ceci prouve l"égalité(1)du Théorème 8.5.4 (Description des polynômes irréductibles surFq)

SoitP?I(d,q)et soitα?Fqdune racine deP. Alors,

(3)P= (X-α)(X-αq)···(X-αqd-1). En particulier, l"orbite deαsousGal(Fqd/Fq)a exactementdéléments. Démonstration.D"après le théorème 8.4.2, l"extensionFq?Fqdest ga- loisienne, de groupe

G:=Gal(Fqd/Fq) ={1,Frq,...,Frd-1q}≂=Z/dZ.

140
D"autre part, d"après la proposition 7.4.1, l"on a :

P=IrrFq(α) =Y

β?Gα(X-β).

CommedegP=d, l"orbiteGαadéléments; elle est donc formée des élé- mentsα,αq,...,αqd-1, qui sont deux à deux distincts. Ceci prouve le théo-

8.6 La clôture algébrique deFq

8.6.1 Corps algébriquement clos

Définition 8.6.1

Soitk?Kune extension de corps et soitP?k[X]non

constant. On dit quePest scindé dansK[X], ou surK, siPse décompose dansK[X]comme produit de facteurs du premier degré, c.-à-d.,

P=c(X-α1)···(X-αd),

oùd= degP,cest le coefficient dominant deP, et lesαisont dansK(pas nécessairement distincts). Définition 8.6.2Un corpsKest dit algébriquement clos si toutP?K[X] non constant a au moins une racine dansK. Lemme 8.6.1SiKest algébriquement clos, toutP?K[X]non constant est scindé. Démonstration.Par récurrence surd= degP. C"est clair sid= 1. Sup- posonsd≥2et l"assertion établie en degré< d. SoitP?K[X]de degréd. CommeKest algébriquement clos,Ppossède dansKau moins un racine α, donc se factorise enP= (X-α)Q, avecQ?K[X]de degréd-1. Par hypothèse de récurrence,Qest scindé dansK[X], et donc il en est de même Définition 8.6.3Soitk?Kune extension de corps. On dit queKest une clôture algébrique deksiKest algébriquement clos et si tout élément deKest algébrique surk. 141

8.6.2 Le corps

F p Soit(mi)i≥1une suite d"entiers≥1tendant vers+∞et "suffisamment divisible" au sens suivant : pour touti≥1,midivisemi+1, etidivisemi.

On peut prendre, par exemple,mi=i!.

PosonsK0=Fpet pour touti≥1, soitKiun corps de décomposition surKi-1du polynôme X pmi-X.

Alors,Ki≂=Fpmiet on a une suite croissante

K

0?K1?K2? ···

On note

F pla réunion desKi. Proposition 8.6.2 (Premières propriétés de F p)

1)Pour toutd≥1,

F pcontient un unique sous-corps de cardinalpd; on le noteraFpd( F p).

2)Fixonsr≥1etq=pr. On a

F p=S n≥1Fqn!( F p). Démonstration.1) Soientd≥1etq=pd. Par hypothèse,ddivisemd donc F pd?Fpmd? F p. De plus, le polynômeXq-Xa toutes ses racines, deux à deux distinctes, dansFq, et ces racines sont exactement les éléments deFq.

Par conséquent,Fqest l"unique sous-corps de

F pde cardinalq. En effet, siLen est un autre alors, comme le groupe multiplicatifL×est cyclique d"ordreq-1, les éléments deLsont exactement les racines dans F pdu polynômeXq-X, c.-à-d., les élément deFq. Ceci prouve le point 1).

2) Pour toutd≥1, notons simplementFpdl"unique sous-corps de

F pde cardinalpd. Par définition, l"on a F p=[ i≥1F pmi.

Fixonsq=pret montrons que

i≥1F pmi=[ n≥1F qn!. Pour touti≥1, on aFpmi?Fqmi!, puisquemidivisemi!. Ceci prouve l"inclusion?. Réciproquement, soitn≥1. par hypothèse,i=rn!divise m i=mrn!et doncFqn!?Fpmrn!. Ceci prouve l"inclusion?, et donc l"égalité 142
Théorème 8.6.3 (Existence et unicité d"une clôture algébrique de F q) 1) F pest une clôture algébrique deFq, pour toutq=pd.

2)Toute clôture algébrique deFqestFq-isomorphe à

F p. Démonstration.Fixonsq=pdet désignons parFql"unique sous-corps de F pàqéléments.

1) Soitx?

F p. Il existei≥1tel quex?Fpmi, et doncxest algébrique surFp, et a fortiori surFq. Donc, pour prouver 1), il suffit de montrer que F pest algébriquement clos. SoitP=a0+a1X+···+adXd? F p[X], non- constant. Il existei≥1tel quea0,...,ad?Ki=Fpi. SoitK?iun corps de décomposition dePsurKiet soitr= [K?i:Ki]. AlorsK?iest isomorphe au sous-corpsFpnirde F pet doncPest scindé sur ce sous-corps, a fortiori sur F p. Ceci prouve que F pest une clôture algébrique deFq.

PosonsK=

F pet, pour toutn≥1, désignons parKnl"unique sous-corps deKde cardinalqn!. Ainsi,K1est le corpsFqconsidéré dans le théorème, et l"on a, d"après la proposition précédente, (1)K=[ n≥1K n. Considérons une extensionFq?Let supposons queLsoit une clôture algébrique deFq. CommeLest algébriquement clos, le polynômeQn:= X qn!-X?L[X]est scindé; et comme ses racines sont simples,Lcontient un sous-corps de cardinalqn!. En raisonnant comme dans la preuve de la proposition précédente, on obtient queLcontient un unique sous-corps de cardinalqn!, dont les éléments sont les racines dansLdeQn. Notons-leLn.

En particulier,L1égaleFq, identifié àK1.

D"autre part, soitx?L. Par hypothèse,xest algébrique surFq; soit d= degFq(x)son degré. Alors le sous-corpsFq[x]deLest de cardinalqd, donc est contenu dansLd(puisqueddivised!). Par conséquent, on a (2)L=[ n≥1L n. Montrons maintenant, par récurrence surn, qu"on peut prolonger l"identifi- cationL1=K1=Fqen unFq-isomorphismeτn:Ln≂→Kn. Supposons l"assertion établie au crann. Commençons par remarquer que n(Qn+1) =Qn+1, puisque les coefficients deQn+1sont dansFp. Observons ensuite que, commeLn+1, resp.Kn+1, contientLn, resp.Kn, et est formé 143
des racines deQn+1dansL, resp.K, alorsLn+1, resp.Kn+1, est un corps de décomposition deQn+1surLn, resp.Kn. Par conséquent, d"après le 1er théorème fondamental 7.3.5,τnse prolonge en unFq-isomorphismeτn+1: L n+1≂→Kn+1. On obtient ainsi une suite infinie(τ1,τ2,···)d"isomorphismesτn:Ln≂→ K n, tels queτ1=idFqet (3)?r≥n, τr|Ln=τn. On définit alorsτ:L→Kpar la formule :τ(x) =τn(x)six?Ln. Ceci est bien défini d"après(3). Il est alors clair queτest un morphisme de corps, donc est injectif. De plus, son image contientKn, pour toutn≥1, donc égale K. Par conséquent,τest unFq-isomorphisme deLsurK. Le théorème est

8.6.3 Clôtures algébriques en général

Dans le cas des corps finis, on a pu démontrer explicitement, de façon constructive, l"existence et l"unicité d"une clôture algébrique. En fait, on peut démontrer ce résultat pour un corps arbitraire, en utilisant des arguments de théorie des ensembles et le lemme de Zorn. C.-à-d., on a le théorème ci-dessous. On renvoie à [Ja2, §8.1] ou [Dou], tome 2, §5.2 pour une démons- tration, et à [La, §VII.2] pour une autre.

Théorème 8.6.4 (Théorème de Steinitz)

Tout corpskadmet une clôture algébrique, unique àk-isomorphisme près.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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