vii. extensions de corps : caractéristique corps de rupture
https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/M1Galois/ATG07chVII.pdf
Cours de logique : Rappels sur les corps. Pour votre curiosité ne
Si K est un corps on appelle sous-corps premier de K le sous-corps engendré par 1. C'est donc le corps de fractions du sous-anneau engendré par 1
Chapitre IV - Corps finis N.
1 Son sous-corps premier est isomorphe `a Fp. 2 K est une extension de Fp de degré [K : Fp] = n fini et donc q = pn.
Chapitre III - Corps finis
Les premiers exemples de corps finis sont les quotients de l'anneau Z. Fp = Z/pZ L'image de f est un sous-corps de K isomorphe `a Fp. L'unicité.
Cours de théorie des corps
24 mars 2003 ?K(Z/pZ)) s'appelle le sous-corps premier de K il est isomorphe à Q (resp. Z/pZ). Proposition 1.2.4. Soit L/K une extension de corps
Constructions de corps finis
2.2.1 Méthode 1 : construction d'une sous-structure . 3 Construction de corps à partir d'anneaux de polynômes ... 4.2.2 Sous-corps premier .
Chapitre 8 - Corps finis et leur clôture algébrique
8.1 Cardinal et groupe multiplicatif d'un corps fini. Soit k un corps fini. Son sous-corps premier est fini donc d'après le.
Les corps nis
l'étude du sous-corps premier quel peut être le cardinal d'un corps fini. Puis
Racines de lunité
Théorème Le corps premier de K est l'intersection de tous les sous-corps de K. Page 2. I. El Hage www.les-mathematiques.net. 2.
Existence unicité et construction des corps finis
De plus k est unique à isomorphisme près. Démonstration. (i) Le sous-corps premier de k étant isomorphe à Z/pZ
[PDF] Cours de théorie des corps
24 mar 2003 · ?K(Z/pZ)) s'appelle le sous-corps premier de K il est isomorphe à Q (resp Z/pZ) Proposition 1 2 4 Soit L/K une extension de corps
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Supposons p = 0 le sous-groupe additif (e) = {0 e··· (p ? 1)e} est un sous-anneau commutatif isomorphe à Z/pZ et comme p est premier c'est aussi un corps
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L'intersection des sous-corps de k est le plus petit sous-corps de k Il est appelé sous-corps premier de k C'est l'image de l'unique morphisme de Q ou Fp dans
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Un corps est dit premier s'il n'a pas de sous-corps autre que lui-même Proposition 3 2 Tout corps admet un sous-corps premier qui est l'intersection de
[PDF] VII EXTENSIONS DE CORPS
2) On appelle sous-corps premier de K le sous-corps de K engendré par l'élément 1K Il est contenu dans tout sous-corps de K 3) Soit K/k une extension de
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8 1 Cardinal et groupe multiplicatif d'un corps fini Soit k un corps fini Son sous-corps premier est fini donc d'après le
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Fp Le sous-corps premier d'un corps K sera donc ou bien Q (et dans ce cas on dira que K est de caractéristique 0)
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1 fév 2021 · dit que K est un sous-corps de L et que L est un sur-corps de K si p est nombre premier et qu'elle donne un algorithme pour trouver
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Pour p premier Z/pZ et Z/pZ(T) sont des corps de caractéristique p corps de M K un sous-corps de L Alors si (ei)i?I est une base de L sur K
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[M : K] est la propriété de multiplicativité des degrés Exercice 2 1 Soit L/K une extension finie avec [L : K] premier Quels sont les sous-corps de L
K(M?N) =K(M)(N) =K(N)(M).
???? ????M??? ?????? ??L? ????? ?? ?K(M) =?
F?M,FfiniK(F).
?? ?K??M????K(M?N)? ????K(M)?K(M?N)?? ???????N??? ????K1·K2? ?? ???? ??? ???? ?????? ??? ?????? ????M??L????? ???L=K(M)? ???K??? ?? ????? ??????? ??Z? ????? ? ???? ??? ???? ? ????K={0}??˜?K:Q→K,
K:Z????K=ZpZ→K,
K?LK↑ ??L
Z I x={P?K[X]/ P(x) = 0}. ????? ??K[X]?[K(x) :K] = degirr(x,K;X)??K[x] =K(x)?K[X](irr(x,K;X))?K[x].
???? ?????? ??? ???????(irr(x,K;X))??? ??????? ???? ??????? ?????? ??? ?? ??????R?K[X]??? ??? degRσ(s(X)) =s(P(X)) = 0,
x?L? ?? ????ψ(x) =σ(x)??x?K??ψ(x) =?(x)??x?F? ?? ???? ?? ???? ? ???? ????x,y?L x+y=ψ-1(ψ(x) +ψ(y)), x·y=ψ-1(ψ(x)·ψ(y)).X={u?Z / u /?u}.?
?? ?σ:K→E? ??P(X) =? u?X??u /?u, ???? ??X?Z? ?? ??????X?X??X /?X
????? ? ??????? ???C∩A=∅? ???? ??????b?B??? ???{X,b} ?A? ?????? ??? ??????x??P(X)????L???? ???L=K(x)?K[X](P(X)),
??? ???? ??????? ??K[X]??? ????? ??? ????K????? ??? ?????? ????K? ?? ??????? ??? ??????α????K? ???? ?? ???????P(X) = (X-α)Q(X)???? irr(x,K;X)? ??????? ?????P(X)??????? ????K[X]???? ?? ?????K[X] =? ?? ????? ?? ??????? ??P(X)???K???? ????? ?? ??????? ?? ? ??????? ?????λ?F(X-λ)
??? ??? ?? ?????? ????F??K=K[XP/ P?K[X]-K],
K=?F?{XP}P?K[X]-K,FfiniK[XP/ P?F].
Q1P1(XP1) +···+QrPr(XPr) = 1
??????? ???? ????K[T1,···,Tn] i(T1,···,Tn)Pi(Ti) = 1. L ∞? ???? ?? ??????n?N??? ???P(X)?Ln[X]? ??? ?????P(X)? ??? ?????? ????τ:E→L??σ?E?τ?F?? ???? ??? ?? ????? ???S?
?Fn???τn? ?:F[X]→L ?????:F[X](P(X))→Lθ:F(x)?F[X](P(X))
????? ?{0}?? ?K? p1A= 0? ???????p >0??a,b?A? ?? ??????? ???(a+b)p=ap+bp?Q? ???i??⎷2? ???i+⎷2??i-⎷2?
???irr(x,Q)?= irr(y,Q)? ?x?F, f(x) =? a?F(f(a)(1-(x-a)q-1)), ??????? ???A??? ?? ?????? aα2+bα+c????a,b,c?Q?
⎷3)? ?? ??????? ???(⎷2 + ⎷3,Q)? ⎷3,Q)? ?? ??????? ???Q(⎷2,⎷3) =Q(⎷2+ ⎷3)? ⎷3 + ⎷5???Q? ?? ??????? ???ξ??? ??? ?????? ??P(X) =Xp-1+Xp-2+···+ 1?? ?? ?? ????α= cos2πp ?? ??????? ???Q(α)?Q(ξ)??Q(α)?=Q(ξ)? ??[Q(α) :Q]? ?? ?? ????p= 5? =⎷5-14 [F(a) :F]???? ??????? ??????? ???F(a) =F(a2)? ?????? ?? ?????? ??????? ????[F(a) :F]????? ???? ?????K? ??????? ??? ?? ??? ?????? ?? ???(α,K)?? ?? ???(β,K)???? ?? ??????? ??? ??[E(F) :K] = [E:K][F:K]? ?????E∩F=K? [Q(x,y) :Q]<[Q(x) :Q][Q(y) :Q]?? ???Q(x)∩Q(y) =Q? ?? ??????? ???E=F(X)?? ???X??F? ??????c=c(α)>0??? ???|α-pq |>cq n???? ????pq ?Q?P(α)-P(pq
) = (α-pq )P?(ξ)?? k=1α k10 k!??{αk}k?N??? ??? ????? ?? ??????? ?? ??????? ??? ???? ????? [L:K] = 3?? ???? ????a?K?L?=K(3⎷a)??3⎷a??? ??? ?????? ??X3-a P i(X) =λi? ??P???K?? K[X]? P i(X) =λi? ????ai,j?L1??λi?K? ?? ? ????Ω[X] Pσi(X) =Pi(X) =λi?
K[X](P(X))?K(x)??K[X](P(X))?K(y)
σ:K(x)?K(y)?→Ω,
?????? ??? ?????? ??? ??????? ??P????Ω???? ?? ???? ????L? ???? ??? ?????? P K[X]?E??? ?????? ???K? ?? ??? ?????? ???L?
??????? ??K? ???? ??????F=?P(X) =λ?
σ(L1) =L1???? ???? ?? ??????? ?? ???? ????L2? ?? ?????σ(L1·L2) = L K?L?E ?? ?????? ?? ?????? ??L???K? ?? ?? ????Gal(L/K)? ??????? ??L/K????Ω? RN=Q(±4⎷2,±i4⎷2) =Q(4⎷2,i)?
Q(i)?Q(i+⎷2)?
?? ???? ??? ??????? ??G? ??Q(i)? ???? ??? ??????? ???? ??Q(⎷2)? ???? ??? ??????? ??ψ? ??? ??????? ???G≂=Z/2Z×Z/2Z? ??f(X) =Xp-a?car(K) =p?a?K? ???f(X) =Xp-X-a?car(K) =p?a?K? ???ξp= 1,ξ?= 1? ??K=Z/3Z??f(X) =X3+ 2X+ 1? ??K=Z/pZ??f(X) =Xp8-1? ??K= Fr(Z/3Z[T])??f(X) =X3-T? ????C? ??N????? ??? ??????? ?? ?????? ??????? ????σ(K)σ-1-→Kτ-→F
[E:K]s= [E:L]s[L:K]s. SE/K,σ=?
τ?SL/K,σS
E/L,τ
?????? ??K?? ????? ????? ? ??p= 1?? ?n= 0? ??p≥2? ?????n??? ?? ???? ????? ?????? [K(x) :K] =pn[K(x) :K]s. i:K ?→Ω? ?????0 =σ(P(x)) =P(σ(x)),
??P(X)? ????? ???? ??????K(x)?K[X](P(X))?K(y)?Ω
??? ??p= 0? ?????P(X)??? ??? ??? ??????? ??????? ????Ω? ??? ???P(X) =Q(Xp)? ???? ??x??? ?????? ??????? ?? ?????P(X) = (X-x)2Q(X)????Ω[X]?? ?? ?????P?(X) = 2(X-x)Q(X) + (X-x)2Q?(X)? ??P(X) = (X-x)Q(X) ??? ?????? ??P?? ????? ?? ????? ??Q? degirr(x,K;X)>degirr(x,K;X)?, ??? ?????? ??? ????? ??? ?????? ??? ??????? ???? ????? ??? ??????? ??P?? [K(x) :K]s? ?? ????? ????Ω[X]Q(X) =λ?
y i?Ω??? ???ypn X pn-xi=Xpn-ypn i= (X-yi)pn?? ?? ?P(X) =Q(Xpn) =λ?
i) =λ? deg(irr(x,K;X)) = deg(P(X)) =pnδ=pn[K(x) :K]s, X P(X) =Q(Xp)??Q(X) =Xp+TX+T?K[X]? ?? ?????? ???Q?(X) =T?= 0?
[K(x) :K] = [K(x) :K]s. [L:K] =pn[L:K]s, K? [L:K] = [L:K]s. K? K0?K1? ··· ?Kr.
[Ki-1:Ki] =pni[Ki-1:Ki]s. [L:K] =pn1+···+nr[L:K]s. ? ????ni= 1???? ????i? ??? ?????[L:K] = [L:K]s? [L:K]s= [L:K] = [L:K(x)][K(x) :K] =pn[L:K(x)]spm[K(x) :K]s=pn+m[L:K]s, ????m= 0? ????? ? ????[K(x) :K] = [K(x) :K]s? ?????? ???? ???? ???x?K(x1,···,xr)???? ??????? ??????K0=K??Ki= ??????? ??E?P(X) = irr(x,L;X) =Xd+a1Xd-1+···+ad
[L:Ls]s= 1, [L:K]s= [Ls:K] = [Ls:K]s. irr(y,Ls;X) =Q(Xpn)Q(X) = irr(ypn,Ls;X).
degQ= 1??σ:L-→Lalg
Hom Homα(L,Ω)-→Homα(E,Ω).
E=Ls? irr(x,K;X) =Q(Xpn),Q(X) = irr(xpn,K;X).
K?K(xpn)?K(x),
irr(x,K(xpn);X) =Xpn-xpn,K(x)s=K(xpn),
L s=K({xpnx/ x?L}).K]s= 1?
K? [L:K]s= 1.1 = [L:K]s= [L:K(x)]s[K(x) :K]s,
[L:K]s=o(G), ??o(G)??????? ??????? ??G? ?????L? ?? ???? LG={x?L / g(x) =x?g?G}.
Gal(L/LG) =G.
L s∩LG=K , Ls·LG=L,K]s= 1?
xQ(X) =?
??? ???? ????? ?K? ???????xp? ????n >0? ??????y=xpn-1? ????? ?? ??????? ??NG?? ?????p???K? ??? ??L???K? L ?????K??K(x)?????K?E?K(x)?? ?????? irr(x,E;X) =Xd+a1Xd-1+···+ad.?K(a1,···,ad)?E ,[L:E] =d
E=K(a1,···,ad).
K?K(x1)?K(x1,x2)? ··· ?K(x1,···,xi)? ··· ?K(x1,···,xr).K(x1+λx2) =K(x1+μx2).
x1+λx2, x1+μx2?K(x1+λx2),
(x1+λx2)-(x1+μx2) = (λ-μ)x2?K(x1+λx2), ???? ?? ??????? ???x2? ????x1? ???? ????K(x1+λx2)? ?? ? ?????? (1) HomE1(L,Ω) = HomE2(L,Ω).
(3) HomE1(L,Ω)?HomE(L,Ω).
????σ?HomK(L,Ω)?? ???σ(x1+λx2)?=x1+λx2.
card({σ(x1+λx2)/ σ?HomK(L,Ω)}) = [L:K], ?????[L:K]? ???? ??? ???? ??????? ?????K(x1+λx2)?L? ?? ?? ???????K(x1+λx2) =L? ???HomQ(Q(4⎷2),C)? ????Gal(Q(4⎷2,i)/Q)? ?? ??????? ???Q(4⎷2,i) =Q(4⎷2 +i)?
x??L?????? NL/K(x) =?
σ?HL/Kσ(x),
TrL/K(x) =?
σ?HL/Kσ(x),
irr(x,K;X) =Xd+a1Xd-1+···+ad NK(x)/K(x) = (-1)dad??TrK(x)/K(x) =-a1.
NL/K:L?-→K?
TrL/K:L-→K
NL/K= NE/K◦NL/E??TrL/K= TrE/K◦TrL/E.
HomK(K(x),Kalg)? ?? ? ????Kalg[X]
irr(x,K;X) =Xd+a1Xd-1+···+ad=?σ?HK(x)/K(X-σ(x)),
HE/K= HomK(E,Kalg) ={σ1,···,σd}
????E=K(x)? ????Kalg?? ?τi,j(x) =σi(x)???? ????i??j? ???? NL/K(x) =?
i,j(x) =? i(x)δ= NK(x)/K(x)δ. TrL/K(x) = TrK(x)/K(x)δ.
K K Hom {σ?◦τ / τ?HomE(L,Kalg)}. ????? ??σ?? ???? ?? ?????? ??[L:E] = card(HomE(L,Kalg))? ?? ??? ? ???? ? ????Kalg NL/K(x) =?
?i◦τ(x), NL/K(x) =?
?i(?τ?HL/Eτ(x)) =?
?i(NL/E(x)), NL/K(x) =?
i(NL/E(x)) = NE/K(NL/E(x)). {τ◦σ?/ τ?HomE(L,Kalg)}. ????Tr :L×L→K (x,y)?→Tr(xy) (?)???? ????y?L,TrL/K(xy) = 0, HomK(L,Kalg) ={σ1,···,σd}.
HomK(L,Kalg)?L(L?,Kalg).
i(x)σi= 0, (?) 0 =a1χi1+···+anχin ?????χi1?=χi2? ?? ??????g?G??? ???χi1(g)?=χi2(g)? ?? ???? ??(?)???0 =a1χi1(gh) +···+anχin(gh)
=a1χi1(g)χi1(h) +···+anχin(g)χin(h)0 =a1χi1(g)χi1+···+anχin(g)χin.
0 =a2(χi2(g)-χi1(g))χi2+···+an(χin(g)-χi1(g))χin,
x?-→(y?→TrL/K(xy)) TrL/K(eie?j) =δi,j,
K(x)[X]
P(X) = (X-x)(a0+a1X+···+ad-1Xd-1)
e ?i=ai-1P ?(x)? TrK(x)/K(aiP
?(x)xj) =δi,j.Q(X) =?
K(x)/K(aiP
?(x)xj)Xi=?σ?Hσ(aiP
?(x)xj)Xi,Q(X) =?
σ?H(?
?(σ(x))=?σ?HP(X)X-σ(x)σ(x)jP
?(σ(x))=XjK(x)/K(aiP
?(x)xj)Xi=Xj, ??[L:M]s[M:K]s= [L:K]s? ??????? ??? ?? ??????x? ?? ???(x,K) =P(X)???? ??????? ?????P?(X)?= 0?? deg(P(X))/deg(Q(X))? E K???? ???????LK?? ????
???????L FK?? ????
F=LGL=EF??E∩F=K?
????a?L? ??u??? ??? ?????? ??T2+T+x?K[T]??L=E(⎷uy)? ??????? ???[L:E] = 2??[E:K] = 2? ?? ??????? ??? ??a?L??????a2?K? ?????a?K? ?? ??????? ???KF?F(a1)?···?F(a1,...,an-1)(an) =K.
??????? ??? ??{a1,...,an}??? ???p????? ??K/F? ?????[K:F] =pn? ??K/F? ???p??????
p 2? ??? ??????? ???K?=F(a)???? ????a?K? u a(x) =ax?L/K(a) =??(ua)? ?? ?L/K(a) =???(ua)?
Q(3⎷2,j)/Q(3⎷2)?? ?Q(3⎷2,j)/Q(3⎷2)? ?? ??????[L:K] =n??x?L? ????P(X) =Xd+a1Xd-1+···+ad d??L/K(x) =-nd
a1? p????? ??1? ??????? ??? ?Q(ξ)/Q(1-ξ) =p? = 1? LH={x?L / σ(x) =x?σ?H}.
[L:K] =o(Gal(L/K)). ??Gal(L/K)? ??????Gal(L/K)Gal(L/E)?Gal(E/K).
???? ??????? ??? ???? ????E?L?? ?E=LGal(L/E).
deg(irr(x,E;X))>1?? ???L??? ?????? ???K? ???? ???E?? ??????y ??τ??? ????L??τ??? ?? ??????? ??Gal(L/E)? ????τ?? ?????? ??? ??? ??????? ??? ???? ????H?G?? ?H= Gal(L/LH).
LH(x)? ????
P(X) =?
σ?H(X-σ(x)).
?? ?? ??????? ???irr(x,LH,X)??????P(X)? ???????x??? ?????? ??P(X)? ????deg(P)≥[L:LH]? ???? ?? ????? ??P???o(H)? ??? ????? o(H)≥[L:LH] =o(Gal(L/LH)), o(Gal(L/LH))≥o(H).quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] rrose sélavy
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