[PDF] Chapitre IV - Corps finis N. 1 Son sous-corps premier

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Chapitre IV - Corps nis

Denition

Un co rpsni

est un co rps(K;0;+;;e)tel quecard(K) =q2?.1Extensions de corps2Structure des corps (commutatifs) nis3Les polyn^omes irreductibles de?p[X]4Theoreme de Wedderburn

Precision: On suppose que les corps sont commutatifs. Cette hypothese est super ue pour les corps nis : le theoreme de Wedderburn montre que les corps nis sont commutatifs.

1. Extensions de corps

1Polyn^ome minimal d'un element algebrique2Caracteristique et corps premiers3Construction d'un corps ni4L'endomorphisme de Frobenius

Notation:?=f2;3;5;7;:::gdesigne l'ensemble des nombres premiers.

1. Polyn^ome minimal d'un element algebrique

Soit une extension de corps

commutatifs K j//L Lest muni d'une structure deK-espace vectoriel par :KL!L (a;x)7!axdef=j(a)xnotation=axDenition (degre d'une extension nie) SiLest unK-espace vectoriel de dimension niedimK(L)<1, on dit que

l'extensionL=Kest nie, de degre[L:K] = dimK(L).Soit2L. S'il existeP2K[X]tel queP6= 0etP() = 0on dit que

est alg ebrique sur K. Sinon, on dit qu'il esttranscendant sur K.

Polyn^ome minimal d'un element algebrique (2)

Soit2LalgebriquesurK. L'unique morphisme deK-algebre :K[X]!Ltel que'(X) =se factorise selon : K[X] //L

K[X]=Ker(')f'//Im(')?OOKer(') =fP2K[X] :P() = 0gest unid ealp remiernon nul de K[X](carIm(')integre).

Polyn^ome minimal d'un element algebrique (3)

De plus,Ker(')est principal (carK[X]est principal). Il existe donc un unique polyn^omeP2K[X], de ccient dominant egal a1, tel que Ker(') = (P)Denition (polyn^ome minimal d'un element algebrique) P s'appelle lep olyn^omeminimal de surK.P2K[X]est premier non nul, doncirr eductible. Et commeK[X]est principal,(P)est unid ealmaximal . K[X]=Ker(') =K[X]=(P)est donc unco rps, de m^eme queIm(')qui lui est isomorphe. Par ailleurs,Im(') =K[], le plus petit sous-anneau deLcontenantK et. Comme c'est un corps, c'est aussiK(), le plus petit sous-corps deL contenantKet.

Polyn^ome minimal d'un element algebrique (4)

K[X] //L

K[X]=(P)f'//K()?OOOn a donc une extensionK//K().

CommeK()est isomorphe aK[X]=(P), la famille deskpour k2[[0;deg(P)1]]constitue unebase du K-espace vectorielK(), et donc : [K() :K] = deg(P)Denition (element primitif d'une extension) Soit une extensionK ,!L. On dit que2Lestp rimitifsur Ksi

L=K().

2. Caracteristique et corps premiers

Soit(K;0;+;;e)un corps commutatif.

Rappel:

Il existe un unique morphisme d'anneau':?!Kqui se factorise en : //K ?=p?e'//Im(')?OOaveccar(K)def=p2 f0g [?(carIm(')integre).

Exercices:

1card(K)<1=)car(K)2?2car(K) = 0 =)card(K) =13car(K)6= 0 =)Im(')est le plus petit sous-corps deK.

sous-corps premier et corps premiers

Denitions (sous-corps premier, corps premiers)

1On appellesous-co rpsp remierd'un co rpsK, et on noteSCP(K), le plus

petit sous-corps deK: c'est le sous-corps deKengendre parf0;eg.2Lesco rpsp remierssont : ?et les?pdef=?=p?pourp2?.Remarque: Les corps premiers sont commutatifs.

Lemme (caracteristique et sous-corps premier)

1Un corps premier concide avec son sous-corps premier.2SiKj//L

, alorsKetLont des sous-corps premiers isomorphes, donccar(K) =car(L). caracteristique et cardinal des corps nis

Lemme (caracteristique et sous-corps premier)

Soit un corpsK. Son sous-corps premierSCP(K)est isomorphe a un corps premier et : car(K) = 0()SCP(K)isomorphe a? car(K) =p2?()SCP(K)isomorphe a?pTheoreme (caracteristique et cardinal des corps nis) SoitKun corps ni de cardinalcard(K) =qet de caracteristique

car(K) =p.1Son sous-corps premier est isomorphe a?p.2Kest une extension de?pde degre[K:?p] =nni, et doncq=pn.Exercice: demontrer les lemmes et le theoreme ci-dessus.

3. Construction d'un corps ni

Soitp2?.

p[X]est un anneau principal (car?p=?=p?est un corps). Soit, s'il en existe ,P2?p[X]unp olyn^omeirr eductiblede degr e deg(P) =n. p[X] K def=?p[X]=(P)

Exercices:

1?p,!Kest une extension de degre[K:?p] = deg(P) =n.2car(K) =petcard(K) =pn.3Posonsdef=(X)2K. Montrer queP() = 0. Quel est le

polyn^ome minimal de?4En deduireK=?p().

4. L'endomorphisme de Frobenius

SoitKun corps (commutatif) de caracteristiquecar(K) =p2?. Frob K:K!K a7!apProposition (endomorphisme de Frobenius) Frob Kest un morphisme de corps et de?p-algebre. En particulier,1(8x2?p)xp=x2(8a;b2K) (a+b)p=ap+bp Si de pluscard(K)<1, alorsFrobKest un automorphisme.Demonstration:

1petit Fermat.2ppremier donc :(8k2[[1;p1]])pjp

k =p!k!(pk)!. (exercice)3FrobKest un morphisme de corps, donc injectif (le seul ideal6=Kest f0g). Sicard(K)<1, il est donc bijectif.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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