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Théorème de Pythagore. Fiche Professeur. Programme officiel Compétences exigibles : Caractériser le triangle rectangle par la propriété de Pythagore.
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LE THEOREME DE PYTHAGORE Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l’école pythagoricienne (à Crotone Italie du Sud) Le théorème de Pythagore bien connu des élèves de 4e n'est en fait pas une découverte de Pythagore il était déjà connu par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui Pythagore (ou ses disciples) aurait
THÉORÈME DE PYTHAGORE ET THÉORÈME DE THALÈS
Théorème de Pythagore : Un triangle rectangle est un triangle dont le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés L’égalité a2 = b2 + c2 s’appelle l’égalité de Pythagore Animation : http://www maths-et-tiques fr/telech/Pythagore ggb B A 5 4 3
Théorème de Pythagore - Institut Montpelliérain Alexander
Théorème de Pythagore Traces de travaux d’élèves 1/2 Les imprécisions dans le découpage et le collage des pièces ne permettent pas un recouvrement parfait du grand carré La conjecture est pourtant trouvée ; au vu des imprécisions la démonstration apparaît nécessaire !
Le théorème de Pythagore
Pythagore- Rédaction Le théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle le côté opposé à l’angle droit se nomme l’hypoténusea Remarque : On confondrasouvent le côté avec sa longueur a Le mot hypoténuse est formé du pré?xe grec Hypo- (sous) et du verbe grec teinen (tendre)
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Le théorème de Pythagore nous permet d’af?rmer que BC 2 = AB2 +AC 2 C’est une propriété caractéristique des triangles rectangles; parmi tous les triangles seuls les tri-angles rectangles la possèdent C’est ce qu’on appelle la réciproque du théorème de Pythagore: Si les côtés d’un triangle ABC véri?ent la relation BC
Quel est le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore admet une réciproque qui s'énonce ainsi : Si dans un triangle le carré d'un coté est égal à la somme des carrés des cotés opposés, alors le triangle est rectangle.
Comment calculer la propriété de Pythagore ?
on retrouve les démonstrations de la propriété de Pythagore basées sur l’équivalence des figures : la somme des aires des petits carrés est égale à celle du grand carré : a2 + b2 = c2. Est-ce que le triangle de Pythagore est rectangle?
Pourquoi ne pas transformer le théorème de Pythagore en une équivalence ?
Alors pourquoi ne pas transformer le théorème de Pythagore en une équivalence avec un « si et seulement si » et de démontrer le sens direct et réciproque rapidement? Ça simplifierait bien des tracas et surtout une égalité de traitement entre les professeurs qui vont accepter et ceux qui vont refuser.
Fiche d'identification
Fiche professeur
Fiche élève
Scénario(s) d'usage
Fiche technique
Traces de travaux d'élèves
Compte-rendu(s) d'expérimentation
CVThéorème de Pythagore
Sommaire
IREM de Montpellier Page 2Théorème de Pythagore
Fiche Professeur
Programme officiel
Compétences exigibles :
Caractériser le triangle rectangle par la propriété de Pythagore et sa réciproque. Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle à partir de celle des deux autres. En donner, s'il y a lieu, une valeur approchée, en faisant usage de la touche d'une calculatrice.Commentaires :
On poursuit le travail sur la caractérisation des figures en veillant à toujours la formuler à l'aide d'énoncés séparés.Objectifs pédagogiques
Découvrir la relation de Pythagore.
Etablir une démonstration.
Utiliser cette relation.
Pré-requis
Calculer le carré d'un nombre.
Calculer l'aire d'un triangle.
Intérêt
Les figures associées ont pour ambition d'établir un lien entre la géométrie de la figure et la relation de Pythagore. Les deux points de vue dans les 2 figures sont complémentaires : l'un s'appuie sur les aires des polygones et l'autre a un aspect plus dynamique avec les transformations.Description de l'activité
instrumentée La figure représente un triangle rectangle et les carrés construits sur les côtés du triangle. Une première partie consiste à découper des morceaux dans les plus petits carrés ; puis de les assembler afin de recouvrir le grand (fiche-élève 1 ). La figure pythpuzz.fig permet de corriger cette activité.Un deuxième fichier thpythag.fig
permet d'aider à l'élaboration d'une démonstration du théorème (fiche-élève 3Accès au sommaire
Accès à la liste des scénarios
IREM de Montpellier Page 3Théorème de Pythagore
Scénario d'usage
Scénario :
Phase Acteur Description de la tâche Situation Outils et supports Durée 11 L'élève Assemblage des pièces du
puzzle individuelle Document papier fiche-élève 1/510 min
2 Le professeur et la classe Correction et synthèse collective Matériel de rétroprojection et fichier pythpuzz.fig 5 min3 L'élève Calculs sur les longueurs de
côtés de triangle et formulation d'une conjecture individuelleDocument papier
fiche-élève 2/510 min
4 Le professeur et la classe Correction et synthèse collective Document papier fiche-élève 2/5 5 min 5 Le professeur et la classe Construction d'une démonstration collective Matériel de rétroprojection et fichier thpythag.figDocument papier
fiche-élève 3/510 min
6 L'élève Utilisation du théorème individuelle Document papier
fiche-élève 4/5 5 min7 L'élève Utilisation du théorème individuelle Document papier
fiche-élève 5/510 min
Accès au sommaire
1 Cette durée est donnée à titre indicatif et prévisionnel IREM de Montpellier Page 4Théorème de Pythagore
Fiche technique
Nom du fichier
pythpuzz.fig et thpythag.figLogiciel utilisé
Cabri II
Description
Les figures représentent un triangle rectangle et les carrés construits sur les côtés du triangle.Mode d'emploi
points libres : les trois sommets permettent d'obtenir différents triangles rectangles. curseurs : ils permettent de réaliser l'animation.Documentation
Logiciel Cabri II (Prise en main
- Réalisation de curseurs)Matériel de rétroprojection
Accès au sommaire
IREM de Montpellier Page 5Théorème de Pythagore
Fiche élève 1/5
Objectif : Découvrir le théorème de Pythagore.Première partie :
Consigne
Découper, en bas de page, les cinq morceaux des deux petits carrés, en suivant les lignes tracées.Ensuite assembler les pièces du puzzle pour
recouvrir le grand carré dans la figure ci-dessous.Quelle conjecture peut-on émettre ?
2 1 3 4 5 2 1 3 4 5 IREM de Montpellier Page 6Théorème de Pythagore
Fiche élève 2/5
Deuxième partie :
Consigne
: Pour chacun des triangles ABC rectangle en A ci-dessous, mesurer avec soin les longueurs des côtés, les écrire sur la figure et compléter le tableau. Triangle 1 Triangle 2 Triangle 3 Triangle 4 Triangle 5AB²
AC²
AB² + AC²
BC²
Que remarque-t-on ?
Est-ce pareil si le triangle n'est pas rectangle ?Mesurer avec soin les longueurs des côtés,
les écrire sur la figure et calculer AB² + AC² et BC².Enoncé du théorème de Pythagore
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a
A B C B A C hypoténuse A B C A B C 2 AB C 3 4 A BC 5 A B C 1 2,4 4,4 3,7 IREM de Montpellier Page 7Théorème de Pythagore
Fiche élève 3/5
Objectif : Démontrer le théorème de Pythagore. Données : ABC est un triangle rectangle en A.ABDE, ACFG et BCHI sont des carrés.
1ère
étape : Démontrer que les triangles ABD et CBD ont même aire. 2ème
étape : Démontrer que les triangles CBD et IBA ont la même aire. Dans la rotation de centre B et d'angle 90°, le triangle CBD a pour image IBA. On admet que l'image d'un triangle par une rotation est un triangle de même aire. 3ème
étape : Démontrer que les triangles IBA et IBJ ont la même aire. 4ème
étape : Démontrer que le carré ABDE et le rectangle BJKI ont la même aire. 5ème
étape : On démontre de même que le carré AGFC et le rectangle JCKH ont la même aire.Conclusion : L'aire du carré BCHI est égale à la somme des aires des carrés ABDE et AGFC.
F A B C D E G F A B C D E G I H F A B C D E G I HJ F A B C D E G I HJ K IREM de Montpellier Page 8Théorème de Pythagore
Fiche élève 4/5
Objectif : Utiliser le théorème de Pythagore. Pour chaque figure, lorsque c'est possible, écrire la relation de Pythagore. I K J Y Z X R T S EG F B C A M P N IREM de Montpellier Page 9Théorème de Pythagore
Fiche élève 5/5
Objectif : Calculer la longueur d'un côté.
1. Dans le triangle ABC rectangle en A, on connaît les
longueurs AB et AC. On veut calculer la longueur BC.Ecrire d'abord la relation de Pythagore.
Calculer BC².
A l'aide de la touche
de la calculatrice, calculer BC en arrondissant à 0,1 près.2. Faire de même pour calculer la longueur marquée d'un ? dans les triangles ci-dessous.
3. Faire de même pour calculer la longueur marquée d'un ? dans les triangles ci-dessous.
Attention, ici ce n'est pas l'hypoténuse qu'il faut calculer ! D E F 2,4cm 4 ,6cm 4c m 5c m G L H A B C3 ,2cm 2,6cm IREM de Montpellier Page 10Théorème de Pythagore
Traces de travaux d'élèves 1/2
Les imprécisions dans le découpage et le collage des pièces ne permettent pas un recouvrement parfait du grand carré. La conjecture est pourtant trouvée ; au vu des imprécisions, la démonstration apparaît nécessaire ! IREM de Montpellier Page 11Théorème de Pythagore
Traces de travaux d'élèves 2/2
La fin de la deuxième partie fait apparaître la nécessité de travailler dans un triangle rectangle. On pourrait revenir sur la manipulation de la première partie pour observer ce qui se passe lorsque le triangle n'est pas rectangle. C'est une des remarques d'un compte-rendu d'expérimentation.Accès au sommaire
IREM de Montpellier Page 12Théorème de Pythagore
Comptes-rendus d'expérimentation
Le compte-rendu ci-dessous propose une manipulation avec un triangle non rectangle ; la construction d'une figure Cabri est à l'étude.Compte-rendu 1
Accès au sommaire
IREM de Montpellier Page 13Théorème de Pythagore
C VEtape date réalisations contributeurs
1 Janvier 1997 Création d'une fiche élève faisant suite à
la visualisation d'un fichier de démonstration du logiciel Cabri Un formateur de l'équipeI.O.I.
2 Janvier 1998 Abandon du fichier précédent et création
du fichier informatique d'aide à la correction de la fiche élève Un formateur de l'équipeI.O.I.
3 Mars 2000 Création des fiches professeur et
technique, compléments sur la fiche élève Le groupe I.O.I.4 Janvier 2002 Création des fiches d'identification et
scénario d'usage Un formateur de l'équipeI.O.I.
5 Janvier 2002 Compléments sur la fiche élève (aide à la
rédaction d'une démonstration) et création d'un fichier informatique facilitant la compréhension de cette démonstration Un formateur de l'équipeI.O.I.
6 Mars 2003 Modifications sur la fiche élève Le groupe I.O.I.
7 Mars 2004 Création de la fiche travaux d'élèves Un formateur de l'équipe
I.O.I.
8 Novembre
2005 Création du CV Un formateur de l'équipe
I.O.I.
Accès au sommaire
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