[PDF] Théorème de Pythagore l'égalité de Pythagore caracté





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Fiche professeur • Fiche élève • Scénario(s) dusage • Fiche

Théorème de Pythagore. Fiche Professeur. Programme officiel Compétences exigibles : Caractériser le triangle rectangle par la propriété de Pythagore.



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Activité : Découverte du théorème de Pythagore. (Sur Geogébra). Après avoir lancer le logiciel Geogébra assurez vous d'avoir enlever les axes dans la zone.



LE THEOREME DE PYTHAGORE - maths et tiques

LE THEOREME DE PYTHAGORE Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l’école pythagoricienne (à Crotone Italie du Sud) Le théorème de Pythagore bien connu des élèves de 4e n'est en fait pas une découverte de Pythagore il était déjà connu par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui Pythagore (ou ses disciples) aurait



THÉORÈME DE PYTHAGORE ET THÉORÈME DE THALÈS

Théorème de Pythagore : Un triangle rectangle est un triangle dont le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés L’égalité a2 = b2 + c2 s’appelle l’égalité de Pythagore Animation : http://www maths-et-tiques fr/telech/Pythagore ggb B A 5 4 3



Théorème de Pythagore - Institut Montpelliérain Alexander

Théorème de Pythagore Traces de travaux d’élèves 1/2 Les imprécisions dans le découpage et le collage des pièces ne permettent pas un recouvrement parfait du grand carré La conjecture est pourtant trouvée ; au vu des imprécisions la démonstration apparaît nécessaire !



Le théorème de Pythagore

Pythagore- Rédaction Le théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle le côté opposé à l’angle droit se nomme l’hypoténusea Remarque : On confondrasouvent le côté avec sa longueur a Le mot hypoténuse est formé du pré?xe grec Hypo- (sous) et du verbe grec teinen (tendre)



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Le théorème de Pythagore nous permet d’af?rmer que BC 2 = AB2 +AC 2 C’est une propriété caractéristique des triangles rectangles; parmi tous les triangles seuls les tri-angles rectangles la possèdent C’est ce qu’on appelle la réciproque du théorème de Pythagore: Si les côtés d’un triangle ABC véri?ent la relation BC

Quel est le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore admet une réciproque qui s'énonce ainsi : Si dans un triangle le carré d'un coté est égal à la somme des carrés des cotés opposés, alors le triangle est rectangle.

Comment calculer la propriété de Pythagore ?

on retrouve les démonstrations de la propriété de Pythagore basées sur l’équivalence des figures : la somme des aires des petits carrés est égale à celle du grand carré : a2 + b2 = c2. Est-ce que le triangle de Pythagore est rectangle?

Pourquoi ne pas transformer le théorème de Pythagore en une équivalence ?

Alors pourquoi ne pas transformer le théorème de Pythagore en une équivalence avec un « si et seulement si » et de démontrer le sens direct et réciproque rapidement? Ça simplifierait bien des tracas et surtout une égalité de traitement entre les professeurs qui vont accepter et ceux qui vont refuser.

Nous faisons ces exercices à distance de l'étape 2, sur deux sé ances.

Travail individuel très bref

puis travail en équipes pour 1 . Les élèves corrigent les erreurs.

Plénière.

Pour appuyer le discours sur aire et périmètre, nous donnons l'étymologie de périmètre, périphérique et ther-

momètre.

Mise en oeuvre identique pour 2

Si des équipes finissent rapidement, nous leur demandons de représenter sur quadrillage deux rectangles non super-

posables ayant même aire et même périmètre. Une fois qu'ils ont compris que c'est impossible, nous le leur confir-

mons.

Travail individuel

très bref pour 3, puis plénière. Nous listons au tableau tous les résultats trouvés pour travailler les

erreurs collectivement. Les traces ci-dessous sont notées en partie

III du cahier de bord.

ÉTAPE 1

aire et périmètre

Phase de préparation

E xercices (au tableau) 1. Représenter sur quadrillage deux gures qui ont la même aire e t des périmètres différents. 2. Représenter sur quadrillage deux gures qui ont le même péri mètre et des aires différentes. 3.

Le périmètre d"un carré vaut 36

cm. Son côté vaut donc...

L"aire d"un carré vaut 36

cm 2 . Son côté vaut donc... P rogramme

ConnaissancesCapacitésCommentaires

Triangle rectangle

théorème de Pythagore.Caractériser le triangle rectangle par l"égalité de

Pythagore.

Calculer la longueur d"un côté

d"un triangle rectangle à partir

de celles des deux autres.On ne distingue pas le théorème de Pythagore direct de sa réciproque (ni de

sa forme contraposée). On considère que l"égalité de Pythagore caractérise la propriété d"être rectangle. P résentation de la séquence

La notion d"aire est revue dans l"étape 1 pour qu"elle ne fasse pas obstacle ensuite. La question du lien

entre les longueurs des côtés d"un triangle rectangle est posée dans l"étape 2, puis nous présentons un

puzzle qui permet aux élèves de trouver eux-mêmes ce lien par des considérations d"aires (étape 3). Geo-

Gebra permet de conjecturer la réciproque et de découvrir un moyen de savoir si un triangle est rectangle

(étape 4). L"institutionnalisation du théorème se fait tardivement (étape 5), quand les élèves le manipu-

lent déjà bien dans des situations élémentaires. La racine carrée est introduite à l"étape 6. Le travail de

rédaction se fait aux étapes 7 et 8, sur des exercices plus complexes.

Le théorème est admis et le nom de Pythagore n"apparaît qu"à l"étape 5 car les apports extérieurs

(manuel, grand frère...) pourraient perturber le travail. Temps indicatif : équivalent de dix séances (sans l"étape 8).

Séquence 1

théorème de pythagore

Les séquences

PARTIE

2

PARTIE

78
e

PARTIE

2

PARTIE

Séquence 1

: Théorème de Pythagore

Les séquences

Nous faisons ces exercices à distance de l'étape 2, sur deux sé ances.

Travail individuel très bref

puis travail en équipes pour 1 . Les élèves corrigent les erreurs.

Plénière.

pour appuyer le discours sur aire et périmètre, nous donnons l'étymologie de périmètre, périphérique et ther-

momètre.

Mise en oeuvre identique pour 2

Si des équipes nissent rapidement, nous leur demandons de représenter sur quadrillage deux rectangles non super-

posables ayant même aire et même périmètre. Une fois qu'ils ont compris que c'est impossible, nous le leur conr-

mons.

Travail individuel

très bref pour 3, puis plénière. Nous listons au tableau tous les résultats trouvés pour travailler les

erreurs collectivement. Les traces ci-dessous sont notées en partie

III du cahier de bord.

Aire et périmètre

phase de préparation E xercices (au tableau) 1. Représenter sur quadrillage deux gures qui ont la même aire e t des périmètres différents. 2. Représenter sur quadrillage deux gures qui ont le même péri mètre et des aires différentes. 3.

Le périmètre d"un carré vaut 36

cm. Son côté vaut donc...

L"aire d"un carré vaut 36

cm 2 . Son côté vaut donc... Nous faisons ces exercices à distance de l"étape 2, sur deux sé ances. travail individuel très bref puis travail en équipe pour 1 . Les élèves corrigent les erreurs. plénière.

Pour appuyer le discours sur aire et périmètre, nous donnons l"étymologie de périmètre, périphérique

et thermomètre.

Mise en œuvre identique pour 2.

Si des équipes nissent rapidement, nous leur demandons de représenter sur quadrillage deux rectangles non

superposables ayant même aire et même périmètre. Une fois qu"ils ont compris que c"est impossible, nous

le leur conrmons. travail individuel très bref pour 3, puis plénière. Nous listons au tableau tous les résultats trouvés pour tra- vailler les erreurs collectivement. Les traces ci-dessous sont notées en partie

3 du cahier de bord.

1. Deux gures ayant même aire et des périmètres différen

ts.

2. Deux gures ayant même périmètre et des aires différen

tes.

3. Un carré qui a un périmètre de

36
cm a un côté de 9 cm (9 × 4 = 36)
avec éventuellement une gure.

Un carré qui a une aire de

36
cm 2 a un côté de 6 cm (6 × 6 = 36) avec éventuellement une gure.

ÉTAPE 2

Question du lien entre les longueurs

des côtés d'un triangle rectangle phase d'élaboration : début de la découverte

C"est l"occasion de réactiver la propriété de l"inégalité triangulaire qui fait partie du socle en cinquième (en dehors

du cas d"égalité), de revoir les dénitions des triangles isocèles et équilatéraux et de construire quelques triangles.

E xercice des constructions de triangles

Voici des séries de trois nombres.

a)

2 ; 5 ; 4

b)

2 ; 5 ; 9

c)

5,1 ; 2,2 ; 2,9

d)

3 ; 3 ; 4,2

e)

4 ; 5,9 ; 4,3

f)

3 ; 3 ; 3

g)

8,5 ; 3,6 ; 7,7

e 79

1. Pour chaque série, dire si on peut construire un triangle dont les côtés ont pour mesure les trois

nombres de la série. Si non, justifier l'impossibilité de la construction. Si oui, faire des remarques éventuelles sur les triangles que l'on pense obtenir. 2.

Construire les triangles, quand c'est possible.

Travail individuel court

puis travail en équipe pour 1.

Plénière.

" Qui pense qu'on peut ? Qui pense qu'on ne peut pas ? » Nous donnons plutôt la parole à ceux qui disent

qu'on ne peut pas, puis faisons un travail oral. Pour s'expliquer, les élèves ont parfois besoin d'aller au tableau.

Propriété de l'inégalité triangulaire

(rappel) Dans un triangle, chaque côté a une longueur inférieure à la somme des deux autres.

Avant de les construire, on peut dire que les triangles du c) sont plats, ceux du d) sont isocèles, ceux du f)

sont équilatéraux. On ne voit rien de particulier à dire a prio ri sur ceux e) et du g).

Travail à la maison pour 2

puis travail en équipe rapide.

Ils vérifient les constructions.

Plénière.

Après avoir construit les triangles du e) et du g), on peut se demander s'ils sont vraiment rectangles,

comme ils en ont l'air. Certains diront peut-êtrequotesdbs_dbs24.pdfusesText_30
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