1 Espaces vectoriels sous-espaces vectoriels
Pour montrer qu'un ensemble E est un e.v. il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d'un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions.
Fiche méthode 2 : Montrer quun ensemble est un espace vectoriel 1
1.1 Espaces vectoriels de référence. • pour tout n ? 1 Rn est un espace vectoriel (de dimension finie n
Pour montrer quun ensemble est un espace vectoriel
Boite à outils d'algèbre linéaire. Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel. Revenir aux définitions. • R est un (Q +
Chapitre 2 - Espaces vectoriels réels
Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel on pourra montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un des espaces vectoriels de référence.
Les espaces vectoriels
Démonstration : soit E? l'ensemble des combinaisons linéaires des (xi)i?I . On a E? ? Vect((xi)i?I). Il suffit donc de montrer que E? est un sous-espace
Espaces vectoriels
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs de sorte que l'on puisse Montrer par récurrence que si les vi sont des éléments d'un -espace ...
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Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
18?/03?/2015 Comme nous venons de le voir nous sommes souvent ramenés à montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel. Méthode : Pour montrer que ...
Espace vectoriel réel
Une manière efficace de montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel est de montrer qu'il est un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
Espaces vectoriels et applications linéaires
Soit la matrice. On note l'ensemble des matrices de vérifiant : Page 10. 1) a) Montrer que est un espace vectoriel. Commentaires. Comme est par définition un
leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit wwwmath-evrycnrsfrEspaces vectoriels réels - CNRS
Méthode 2 : Une manière de montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel on pourra montrer que c’est un sous-espace vectoriel d’un des espaces vectoriels de référence
Espaces vectoriels réels
Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E (F?E) Si F vérifie les propriétés (i) et (ii) suivantes alors F est un sous-espace vectoriel de E: (i) F est non vide (ii) ()x yF×F GG ?? ?()?µ ?2 alors ?x +µyF? GG Exemples 1 Montrer que l’ensemble Fx=?{()yz3 z=0} est un sous-espace vectoriel de 3 Réponse
Chapitre 4 Espaces vectoriels - Université Laval
a) L’espace Mmn des matrices `a coe?cients r´eels m ×n est un espace vectoriel sur R b) L’espace ?n des polynˆomes `a coe?cients r´eels de degr´e au plus n est un espace vectoriel sur R ?n = {a0 +a1x + anx n a i ?R?i} Il n’est pas di?cile de voir que l’addition des polynˆomes et leur multiplication par un
Les espaces vectoriels - univ-rennes1fr
D´e?nition 1 – On dit que E est un espace vectoriel sur K si 1) (E+) est un groupe ab´elien c’est-`a-dire : ? ?(xyz) ? E 3 (x +y)+z = x +(y +z) (associativit´e)
Espaces vectoriels
2 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?3 3 Donner une base de 4 Donner une base de ? Allez à : Correction exercice 16 Exercice 17 Soient 1=(111) 2=(2?2?1)et 3=(11?1) Soient ={( )??3 + =0}et =???? ( 1 2) 1 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?3 Déterminer une base de
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Donner des bases aux espaces vectoriels suivants (on ne demande pas de montrer qu'il s'agit d'espaces vectoriels) : 1 {(xyzt) ?R4 x+y+z+t= x+2y+3z+4t= 0}; 2 {P ?R 5[X]P(a) = P(b) = 0}(pour a?= b? R); 3 {P?R[X]P(a) = P(b) = 0}(pour a?=b?R); 4 {y?C2(RR)y??= 4y??3y}; 5 {(u n) ?Rn?n?Nu n+2 = 4u n+1 ?3u n
Comment montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel ?
Montrer que Fa,best un sous-espace vectoriel. Proposition 7. surR. Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on pourra montrer que c’est un sous-espacevectoriel d’un des espaces vectoriels de référence.
Comment définir un espace vectoriel?
L’espace vectoriel {0}est défini par sa dimension 0. Si un espace vectoriel n’est pas de dimension finie, on dit qu’il est de dimension infinie. Théorème 2 Dans un espace vectoriel Ede dimension finie, il existe toujours des bases. Proposition Soit {u1,,up} GG … une base de E. Alors : !,( 1,)p
Comment calculer le sous-ensemble d'un espace vectoriel?
Soit Eun espace vectoriel et Fun sous-ensemble de E(F?E). Si Fvérifie les propriétés (i) et (ii) suivantes, alors Fest un sous-espace vectoriel de E: (i) Fest non vide (ii) ()x,yF×F GG ??, ?()?µ, ?2, alors ?x+µyF? GG
Pourquoi les vecteurs forment-ils un espace vectoriel ?
Pour permettre de ne pas répéter à chaque fois les caractéristiques et propriétés de ces ensembles, les mathématiciens ont défini un « modèle » qui ne vérifie qu’un nombre minimum de propriétés (des axiomes), mais juste assez pour éviter des cas pathologiques. Ce modèle, encore appelé Espace Vectoriel, a donc des propriétés partagées
Universit
´e Antilles-Guyane - UFR Sciences Exactes et Naturelles D ´epartement Scientifique Interfacultaire (campus de Schoelcher) MIAS-1 / Maths 2 : Memento pratique en alg`ebre lin´eaire1 Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
1. Pourmontrer qu"un ensembleEest un e.v., il suffit g´en´eralement
de montrer queEest un s.e.v. d"un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions ayant une certaine propri´et´e, matrices d"une forme particuli`ere, ...)2. Pourmontrer queEest s.e.v., onpeututiliser le crit`ere de s.e.v. :
?u,v?E,?λ?K:u+λv?E ou une variante (u+v?Eetλu?E, ou :λu+μv?E). Il faut alors utiliser lad´efinitiondeE, afin d"exprimer les proposi- tionsu?Eetv?Eau d´epart, etu+λv?E`a"l"arriv´ee», plus concr`etement comme propri´et´e portant suruetv(lien entre les com- posantes d"un vecteur, ´equation v´erifi´ee, ...)3. Parfois il estplus facilede m.q.Eest s.e.v. en montrant que
(a)E= kerf, c-`a-d.Eest le noyaud"une certaine application lin´eairef: par exemple,{x?R3|x1+ 2x2= 0,x2=x3} est le noyau def:R3→R2; (x,y,z)?→(x+ 2y,y-z). Attention : il faut aussi montrer que l"application est en effet lin´eaire (voir ci-dessous), sauf si c"est ´evident. (Soyez honnˆetes!) =?on utilise ici leThm.: le noyau d"une app. lin. est un s.e.v. (b)E= [u,v,w,...] = vect{u,v,w...}, c-`a-d.Eest ´egal `a l"ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires de certains ´el´ements (vecteurs, matrices, fonctions...). =?on utilise ici leThm.: l"ensemble des comb. lin. d"une partie ou familleest un s.e.v.(´egal au s.e.v. engendr´e par cette partie) Moins souvent, on utilisera aussi les Thm.s affirmant que (c)Eest s.e.v. siEest l"intersectionde certains autres s.e.v. (d)Eest s.e.v. siEestsommed"autres s.e.v. (Attention : lar´eunionde s.e.v. n"est pas s.e.v. en g´en´eral!) Famille libre, g´en´eratrice, base et dimension d"un s.e.v. Ladimensiond"un (sous-)espace vectoriel est le cardinal de l"une de ses bases, c-`a-d. d"une famille qui engendre cet espace et qui est libre.Une famille (v1,...,vn) estlibressi :
1v1+···+λnvn=o=?λ1= 0, λ2= 0,...,λn= 0.
1 En g´en´eral, la r´esolution de cette ´equation vectorielle n"est pas ´evidente. (Pourvi?Rm, chacune desmcomposantes donne une ´equation pour lesn inconnuesλi.) Or, si la famille (vi) est echelonn´ee, c-`a-d. par exemple v1= (1,?,?,?,...), v2= (0,0,1,?,?,?,...),..., vn= (0,...,0,1,?),
alors il est imm´ediat queλ1v1+···+λnvn=oimplique, en vue de la 1e composante, queλ1= 0; puis, la 3ecomposante donneλ2= 0, et ainsi de suite jusqu"`aλn= 0, la famille est donc libre. Si par contre le dernier vecteur de la famille est le vecteur nul, on peut prendreλn?= 0, et la famille est li´ee : •une famille qui contient le vecteur nul est toujours li´ee, •une famille ´echelonn´ee est libre si elle ne contient pas le vecteur nul. La m´ethode du pivot de Gauss permet, pour tout syst`eme denvecteurs de R m, de trouver un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent, qui engendre le mˆeme s.e.v. Les vecteurs non-nuls de la famille ´echelonn´ee sont alors une base du s.e.v. engendr´e, leur nombre sa dimension.Dans un espace de dimensiond:
•une famille deplus dedvecteursest toujoursli´ee, •une famillelibrepeut avoirau plusdvecteurs, •pour une famille dedvecteurs,libre??g´en´eratrice??base. Ainsi, si un sous-espaceFdeEest de la mˆeme dimension queE, toute base deFest base deE, d"o`u :F=E! En particulier : sif?L(Rm,Rn) v´erifie rgf=n(voir ci-dessous), alors imf=Rn...mais : on n"a pasrgf=k=?imf=Rksik < n!!: imfest toujours un ensemble de vecteurs `ancomposantes (´el´ements deRn), quel que soit rgf!).2 Application lin´eaires
Pourmontrer qu"une applicationf:E→Fest lin´eaire, onpeututiliser la d´efinition, ?u,v?E,?λ?K:f(u+v) =f(u) +f(v), f(λu) =λf(u) ou une variante ´equivalente :f(u+λv) =f(u) +λf(v), ou encorecomparer au crit`ere de s.e.v. - diff´erences? f(λu+μv) =λf(u) +μf(v). Il faut alors calculer le vecteur sommeu+v, appliquer la d´efinition def, et voir si ce r´esultat est ´egal `a la somme des vecteursf(u) etf(v). Dans le cas fr´equent o`uE=Rn, il estplus rapided"´ecriref(x1,x2,...,xn) sous la forme f(x1,x2,...,xn) =x1?v1+x2?v2+· · ·+xn?vn 2 avec (comme on constatera!)?vi=f(ei) :?v1=f(1,0...0),...,?vn=f(0...0,1). et on sait qu"une application de cette forme est lin´eaire : c"est l"application lin´eaire attach´e `a la famille (?v1,...,?vn), lin´eaire d"apr`es une Prop. du cours. P.ex. l"application du1.(3a) s"´ecritf(x,y,z) =x(1,0) +y(2,1) +z(0,-1), c"est donc l"app. lin. attach´ee `a la famille ((1,0),(2,1),(0,-1)), dc lin´eaire.Image et noyau
Cette ´ecriture defmontre aussi que l"imagedefest ´egal `a l"ensemble des combinaisons lin´eaires des vecteurs?v1,...,?vn(voir le cours `a ce sujet aussi : [(vi)] = Ψ(vi)!), soit : imf= [f(e1),...,f(en)] , o`u (e1,...,en) est une base deE=Df; on en d´etermine une base en utilisant la m´ethode du pivot de Gauss. Avec cette base, on connaˆıt rgf= dimimf, d"o`u aussi (Thm.du rang!) dimkerf=n-rgf ,(n= dimE= dimDf), informationutile pour d´eterminerkerf: sidimkerf= 0, alors kerf= {o};sidimkerf= 1, alors kerf= vect{v}avecvn"importe quel vecteur non-nul tel quef(v) =o;sidimkerf= 2, alors une base de kerfest donn´ee par deux vecteurs non proportionnels annulantf. P.ex. pourfci-dessus, on a imf=R2=?rgf= 2 =?dimkerf= 1, on trouve (d´ef. au1.(3a))f(x,y,z) = 0??y=zetx=-2y, donc kerf= vect{(-2,1,1)}. Le calcul matriciel fournit une m´ethode g´en´erale et efficace pour trouver le noyau d"une application lin´eaire : concernant le cours... L"int´erˆet du coursest double : il donne des th´eor`emes utiles dans les applications (si!), mais en mˆeme temps c"est un recueil d"exercices corrig´es! En effet, les Propositions et Th´eor`emes sont les exercices :"montrer que...», les d´emonstrations sont les solutions; elles illustrent comment on utilise les notions (d´efinitions) et les th´eor`emes rencontr´es auparavant. 3quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] sous espace vectoriel cours
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