1 Espaces vectoriels sous-espaces vectoriels
Pour montrer qu'un ensemble E est un e.v. il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d'un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions.
Fiche méthode 2 : Montrer quun ensemble est un espace vectoriel 1
1.1 Espaces vectoriels de référence. • pour tout n ? 1 Rn est un espace vectoriel (de dimension finie n
Pour montrer quun ensemble est un espace vectoriel
Boite à outils d'algèbre linéaire. Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel. Revenir aux définitions. • R est un (Q +
Chapitre 2 - Espaces vectoriels réels
Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel on pourra montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un des espaces vectoriels de référence.
Les espaces vectoriels
Démonstration : soit E? l'ensemble des combinaisons linéaires des (xi)i?I . On a E? ? Vect((xi)i?I). Il suffit donc de montrer que E? est un sous-espace
Espaces vectoriels
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs de sorte que l'on puisse Montrer par récurrence que si les vi sont des éléments d'un -espace ...
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Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
18?/03?/2015 Comme nous venons de le voir nous sommes souvent ramenés à montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel. Méthode : Pour montrer que ...
Espace vectoriel réel
Une manière efficace de montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel est de montrer qu'il est un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
Espaces vectoriels et applications linéaires
Soit la matrice. On note l'ensemble des matrices de vérifiant : Page 10. 1) a) Montrer que est un espace vectoriel. Commentaires. Comme est par définition un
leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit wwwmath-evrycnrsfrEspaces vectoriels réels - CNRS
Méthode 2 : Une manière de montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel on pourra montrer que c’est un sous-espace vectoriel d’un des espaces vectoriels de référence
Espaces vectoriels réels
Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E (F?E) Si F vérifie les propriétés (i) et (ii) suivantes alors F est un sous-espace vectoriel de E: (i) F est non vide (ii) ()x yF×F GG ?? ?()?µ ?2 alors ?x +µyF? GG Exemples 1 Montrer que l’ensemble Fx=?{()yz3 z=0} est un sous-espace vectoriel de 3 Réponse
Chapitre 4 Espaces vectoriels - Université Laval
a) L’espace Mmn des matrices `a coe?cients r´eels m ×n est un espace vectoriel sur R b) L’espace ?n des polynˆomes `a coe?cients r´eels de degr´e au plus n est un espace vectoriel sur R ?n = {a0 +a1x + anx n a i ?R?i} Il n’est pas di?cile de voir que l’addition des polynˆomes et leur multiplication par un
Les espaces vectoriels - univ-rennes1fr
D´e?nition 1 – On dit que E est un espace vectoriel sur K si 1) (E+) est un groupe ab´elien c’est-`a-dire : ? ?(xyz) ? E 3 (x +y)+z = x +(y +z) (associativit´e)
Espaces vectoriels
2 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?3 3 Donner une base de 4 Donner une base de ? Allez à : Correction exercice 16 Exercice 17 Soient 1=(111) 2=(2?2?1)et 3=(11?1) Soient ={( )??3 + =0}et =???? ( 1 2) 1 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?3 Déterminer une base de
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Donner des bases aux espaces vectoriels suivants (on ne demande pas de montrer qu'il s'agit d'espaces vectoriels) : 1 {(xyzt) ?R4 x+y+z+t= x+2y+3z+4t= 0}; 2 {P ?R 5[X]P(a) = P(b) = 0}(pour a?= b? R); 3 {P?R[X]P(a) = P(b) = 0}(pour a?=b?R); 4 {y?C2(RR)y??= 4y??3y}; 5 {(u n) ?Rn?n?Nu n+2 = 4u n+1 ?3u n
Comment montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel ?
Montrer que Fa,best un sous-espace vectoriel. Proposition 7. surR. Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on pourra montrer que c’est un sous-espacevectoriel d’un des espaces vectoriels de référence.
Comment définir un espace vectoriel?
L’espace vectoriel {0}est défini par sa dimension 0. Si un espace vectoriel n’est pas de dimension finie, on dit qu’il est de dimension infinie. Théorème 2 Dans un espace vectoriel Ede dimension finie, il existe toujours des bases. Proposition Soit {u1,,up} GG … une base de E. Alors : !,( 1,)p
Comment calculer le sous-ensemble d'un espace vectoriel?
Soit Eun espace vectoriel et Fun sous-ensemble de E(F?E). Si Fvérifie les propriétés (i) et (ii) suivantes, alors Fest un sous-espace vectoriel de E: (i) Fest non vide (ii) ()x,yF×F GG ??, ?()?µ, ?2, alors ?x+µyF? GG
Pourquoi les vecteurs forment-ils un espace vectoriel ?
Pour permettre de ne pas répéter à chaque fois les caractéristiques et propriétés de ces ensembles, les mathématiciens ont défini un « modèle » qui ne vérifie qu’un nombre minimum de propriétés (des axiomes), mais juste assez pour éviter des cas pathologiques. Ce modèle, encore appelé Espace Vectoriel, a donc des propriétés partagées
Chapitre6Espaces vectoriels
Remarque
Attention!Les espaces vectoriels sont séparés en deux parties dans le programme. Une "introduction
aux espaces vectoriels" est d"abord traitée en cours, puis plus tard dans l"année sont ajoutés des "Com-
pléments sur les espaces vectoriels" avec notamment la notion d"espace vectoriel de dimension finie. Par
soucis de cohérence, nous avons souhaité mettre tous ces points dans le même chapitre. Chaque question
ou méthode faisant partie de ces "Compléments sur les espaces vectoriels" abordés plus tard au cours
de la 1ère année est accompagnée du symbole?. Si vous n"avez pas encore étudié ces compléments, ne
vous attardez donc pas sur ces questions et méthodes.Dans tout le chapitre,KdésigneRouC.
6.1. Sous-espaces vectoriels
Question 1Comment montrer qu"un espaceFest un sous-espacevectoriel d"un espace vectorielE?Méthode 1
En montrant les 3 points définissant un sous-espace vectoriel Kn,K[X],Kn[X],Mn,p(K),F(I,R) (l"ensemble des fonctions deI(I?RouI?N) dansR) sont des espaces vectoriels.
Fest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si :1.Fest inclus dansE
2. 0E?Fi.e.Fest non vide
3.?α?K,?(u,v)?F2,(αu+v)?F
RAPPEL DE COURS
Cette méthode sera le plus souvent utilisée pour montrer queFest un sous-espace vectoriel deE. C"est un classique.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceExtrait d"ESSEC 2015
SoitE=C0([0,1],R) l"ensemble des fonctions continues sur [0,1] et à valeurs dansR. Soitqune fonction continue sur [0,1] et à valeurs dansR, on noteF(q) l"ensemble défini par :F(q) ={f? C2([0,1],R),?t?[0,1], f??(t) =q(t)f(t)}Montrer queF(q) est un sous-espace vectoriel deE.
CorrigéF(q)?E
Soitf= 0E?t?[0,1],f??(t) = 0 =q(t)f(t)
Doncf?F(q) etF(q)?=∅.
Soientα?Ret (f,g)?(F(q))2. On poseh=αf+g. On a :?t?[0,1]h??(t) =αf??(t)+g??(t) =αq(t)f(t)+q(t)g(t) =q(t)(αf+g)(t) =q(t)h(t)D"où?t?[0,1],h??(t) =q(t)h(t)
Donch?F(q) i.e.αf+g?F(q).
AinsiF(q) est un sous-espace vectoriel deE
1 Méthode 2En montrant queF= vect(U)oùUest une famille de vecteurs deESoientEunK-espace vectoriel et (u1,u2,...,up)?Ep.
On appelle sous-espace vectoriel engendré par la famille (u1,u2,...,up) et on note vect(u1,u2,...,up) l"ensemble des combinaisons linéaires de la famille (u1,u2,...,up).On a : vect(u1,...,up) =?
p? i=1λ iui,(λ1,...,λp)?Kp? vect(u1,...,up) est un sous-espace vectoriel deE.RAPPEL DE COURS
Pour montrer qu"un ensembleFest un sous-espace vectoriel d"un espace vectorielE, on peutchercher à exprimerFsous forme d"un vect d"éléments deE. L"interêt de cette méthode est
de pouvoir ensuite facilement trouver une base.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceSoitF={P?R4[X], P(-1) =P(0) =P(1) = 0}
Montrer queFest un sous-espace vectoriel deR4[X].
CorrigéF={P?R4[X]/ P(-1) =P(0) =P(1) = 0}
={(X-1)X(X+ 1)(aX+b),(a,b)?R2}={(X3-X)(aX+b),(a,b)?R2} ={a(X4-X2) +b(X3-X),(a,b)?R2}= vect(X4-X2,X3-X)DoncFest un sous-espace vectoriel deR4[X]
Question 2Comment montrer qu"un espaceFn"est pas un sous-espace vectoriel d"un espace vectorielE?Méthode
En montrant qu"un des 3 points définissant un sous-espace vectoriel n"estpas vérifié Pour montrer qu"une partieFdeEn"est pas un sous-espace vectoriel deEon peut :Montrer que 0En"appartient pas àF
Trouverλ?Ketu?Ftel queλun"appartient pas àF. TrouveruetvdansFtel queu+vn"appartient pas àF.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceExtrait d"ESCP 2004On noteEl"ensemble des fonctionsfdeRdansRpour lesquelles il existe une suite réelle
s= (sn)n?N?, dite adaptée àf, telle que :?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+k n? =snf(nx)1. Montrer que les fonctions constantes appartiennent àE.
2. SoitAla fonction deRdansRqui àxassociex-1
2. Établir queAest un élément de
E.3.Econstitue-t-il un sous-espace vectoriel deF(R,R)?
Corrigé1. Soitfune fonction constante deRdansR. Alors?c?R,?x?R, f(x) =cet ainsi : ?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+k n? =n-1? k=0c=n×c=n×f(nx) Donc en posant?n?N?, sn=n, on a bien l"existence d"une suite (sn)n?N?telle que :Sous-espaces vectoriels2
?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+kn? =sn×f(nx)Doncf?E.
Donc le fonctions constantes appartiennent àE.
2.?n?N?,?x?R,
n-1? k=0A? x+k n? =n-1? k=0? x+kn-12? =n-1? k=0? x-12? +1nn-1? k=0k =n? x-1 2? +1n×n(n-1)2=nx-n2+n-12=nx-12 = 1×A(nx) Donc en posant?n?N?, sn= 1, on a bien l"existence d"une suite (sn)n?N?telle que : ?n?N?,?x?R,n-1? k=0A? x+x n? =sn×A(nx)DoncA?E
3. NotonsB→x?→12. Supposons queA+B?E.
Alors il existe un suite (sn)n?N?telle que :?n?N?,?x?R,n-1? k=0? x+k n? =sn×nxEn particulier, pourx= 0 :?n?N,n-1?
k=0? 0 +k n? =sn×n×0 = 0Donc?n?N?,1
nn-1? k=0k= 0 i.e.1n×(n-1)×n2= 0D"où?n?N?, n-1 = 0. On a une contradiction.
DoncA+B /?E, orA?EetB?E.
AinsiEn"est pas un sous-espace vectoriel deF ?(R,R) Question 3Comment montrer une égalité d"espaces vectoriels?Méthode 1
Par double inclusion
Il s"agit d"une méthode à utiliser principalement lorsque les espaces sont définis de manière
abstraite et non totalement explicite. On utilisera alors les méthodes classiques pour montrer une double inclusion.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceSoitn≥2. SoitA? Mn(R). SoitR[A] le sous-espace vectoriel deMn(R) défini parR[A] ={P(A), P?R[X]}(Par exemple :A3+ 4A?R[A])
Zdésigne un polynôme annulateur non nul deAet de degré minimal, (on notedle degré deZ).1. Pour tout polynômePdeR[X], montrer qu"il existe un unique couple (Q,R) de poly-
nômes deR[X] tel que :P=ZQ+Ret deg(R)< d.2. En déduire queR[A] = vect(In,A,...,Ad-1)
Corrigé1. SoitP?R[X]. Par division euclidienne : Il existe un unique couple de polynôme (Q,R) tel queP=ZQ+Ravec deg(R)On a alors :P(A) =Z(A)Q(A) +R(A) =R(A)
Sous-espaces vectoriels3
DoncP(A) =R(A) carZ(A) = 0M(R).
De plus, deg(R)< d, doncR(A)?vect(In,A,...,Ad-1)
On a donc :P(A)?vect(In,A,...,Ad-1)
DoncR[A]?vect(In,A1,...,Ad-1)
Ainsi,R[A] = vect(In,A,...,Ad-1)
Méthode 2?Par inclusion et égalité de dimensions SoientAetBdes espaces vectoriels de dimension finie.SiA?Bet dim(A) = dim(B) alorsA=B.
RAPPEL DE COURS
Cette méthode est très fréquemment utilisée lorsqu"on a déjà démontré (ou alors qu"on est
capable de le faire facilement) que les dimensions des deux espaces sont égales. Il suffit alors de montrer la plus simple des deux inclusions.POINT MÉTHODOLOGIQUE
Exercice?On considère les vecteurs deR3suivants :u= (1,-1,1), v= (0,-1,2), w= (1,-2,3)SoientG={(x,y,z)?R3, x+ 2y+z= 0}etF= vect(u,v,w)
On admet queGest un sous-espace vectoriel deR3.
Montrer queF=G.
CorrigéOn remarque queu+v=w.
On aF= vect(u,v,w) = vect(u,v,u+v) = vect(u,v)
Oruetvne sont pas colinéaires donc : (u,v) est une base deFet dim(F) = 2 G={(x,y,z)?R3, x=-2y-z}={(-2y-z,y,z) (y,z)?R2} ={y(-2,1,0) +z(-1,0,1),(y,z)?R2}DoncG= vect((-2,1,0),(-1,0,1))
Or (-2,1,0) et (-1,0,1) ne sont pas colinéaires donc forment une famille libre deG. D"où ((-2,1,0),(-1,0,1)) est une base deG, dim(G) = 2 Si (e1,...,er) est une base deFalors :F?G?? ?i??1,r?, ei?GRAPPEL DE COURS
F= vect(u,v) et (u,v) est une base deF.
Or?1 + 2×(-1) + 1 = 0 doncu?G
0 + 2×(-1) + 2 = 0 doncv?G
AinsiF?G
Comme dim(F) = dim(G) = 2 etF?G, on aF=G
6.2. Familles libres, génératrices et bases
Question 1Comment montrer qu"une familleUest libre?Méthode 1
SiUcomprend un unique élémentu, en montrant queu?= 0 SiUest une famille à 1 élément et que cet élément est non nul, alorsUest libre.RAPPEL DE COURS
Familles libres, génératrices et bases4
Lorsqu"on est en présence d"une famille de cardinal 1, il suffit d"appliquer littéralement lerappel de cours précédent pour justifier la liberté de la famille.
POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceJustifier que la famille ((2,5)) est une famille libre deR2 Corrigé(2,5)?= (0,0) donc (2,5) est une famille libre deR2. Méthode 2SiUest une famille à 2 élementsuetv, en montrant queuetvsont noncolinéaires SoitU= (u,v) une famille à deux éléments. uetvsont non colinéaires??Uest libre.RAPPEL DE COURS
Lorsqu"on est en présence d"une famille de cardinal 2, il suffit d"appliquer littéralement le rappel de cours précédent pour justifier la liberté de la famille.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceJustifier que la famille ((1,2,3),(0,1,1)) est libre. Corrigé(1,2,3) et (0,1,1) sont non colinéaires.Donc la famille ((1,2,3),(0,1,1)) est libre
Méthode 3En utilisant la définition d"une famille libreSoitEunK-espace vectoriel et (u1,u2,...,up)?Ep.
((u1,u2,...,up) est une famille libre) si et seulement si (?(α1,α2,...,αp)?Kp, α1u1+α2u2+
...+αpup= 0E?α1=α2=...=αp= 0)RAPPEL DE COURS
Revenir à cette méthode doit vraiment être une constante dans votre raisonnement lorsquela famille comporte 3 éléments ou plus. On revient à la définition de la liberté et on cherche
à montrer l"implication rappelée ci-dessus pour conclure sur la liberté de la famille.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceSoitu= (1,1,1), v= (1,2,0) etw= (1,1,0) des éléments deR3. Montrer que (u,v,w) est une famille libre.CorrigéSoit (a,b,c)?R3tel quea u+b v+c w= 0
Alors?
?a+b+c= 0 a+ 2b+c= 0 a= 0??? ?b+c= 02b+c= 0
a= 0??a=b=c= 0Ainsi (u,v,w) est une famille libre
Familles libres, génératrices et bases5
Méthode 4S"il s"agit de polynômes, en montrant que c"est une famille de polynômesnon nuls échelonnés en degré
Toute famille de polynômes non nuls échelonnés en degré est une famille libre.RAPPEL DE COURS
Lorsqu"on est en présence d"une famille de polynômes non nuls, le réflexe doit être de vérifier
si ces polynômes sont échelonnés en degré. Si c"est le cas, il est important de préciser qu"ils
sont tous non nuls.Si les polynômes ne sont pas échelonnés en degré, il faut utiliser la méthode précédente.
POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceExtrait d"HEC 2013
Soitn?N?. Pour toutx?Retk?N, on pose :x=?
?k i=1(x+i-1) sik≥1 1 sik= 0
On associe aux fonctions polynomialesx?→xCorrigé?k??1,n?,deg(X) = deg(k?
i=1(X+i-1)) =k De plus, deg(X<0>) = 0 carX<0>= 1.
Ainsi, la famille (X<0>,X<1>,...,XDonc (X<0>,X<1>,...,X) est une famille libre
Méthode 5En utilisant le lien entre application injective et familles libres Remarque
Cette méthode nécessite la connaissance du chapitre sur les applications linéaires. Si vous ne l"avez pas encore abordé, ne vous y attardez pas.SoientEetFdes espaces vectoriels.
Soit (u1,u2,...,un) une famille libre deE. Soitf? L(E,F). (finjective)?((f(u1),f(u2),...,f(un)) est libre).RAPPEL DE COURS
On peut penser à utiliser la propriété ci-dessus pour montrer qu"une famille est libre lorsque
l"on peut exploiter une application linéairefinjective.POINT MÉTHODOLOGIQUE
Soit (M1,...,Mp) une famille libre deMn(R).
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