1 Espaces vectoriels sous-espaces vectoriels
Pour montrer qu'un ensemble E est un e.v. il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d'un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions.
Fiche méthode 2 : Montrer quun ensemble est un espace vectoriel 1
1.1 Espaces vectoriels de référence. • pour tout n ? 1 Rn est un espace vectoriel (de dimension finie n
Pour montrer quun ensemble est un espace vectoriel
Boite à outils d'algèbre linéaire. Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel. Revenir aux définitions. • R est un (Q +
Chapitre 2 - Espaces vectoriels réels
Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel on pourra montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un des espaces vectoriels de référence.
Les espaces vectoriels
Démonstration : soit E? l'ensemble des combinaisons linéaires des (xi)i?I . On a E? ? Vect((xi)i?I). Il suffit donc de montrer que E? est un sous-espace
Espaces vectoriels
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs de sorte que l'on puisse Montrer par récurrence que si les vi sont des éléments d'un -espace ...
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Espace vectoriel réel
Une manière efficace de montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel est de montrer qu'il est un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
Espaces vectoriels et applications linéaires
Soit la matrice. On note l'ensemble des matrices de vérifiant : Page 10. 1) a) Montrer que est un espace vectoriel. Commentaires. Comme est par définition un
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Méthode 2 : Une manière de montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel on pourra montrer que c’est un sous-espace vectoriel d’un des espaces vectoriels de référence
Espaces vectoriels réels
Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E (F?E) Si F vérifie les propriétés (i) et (ii) suivantes alors F est un sous-espace vectoriel de E: (i) F est non vide (ii) ()x yF×F GG ?? ?()?µ ?2 alors ?x +µyF? GG Exemples 1 Montrer que l’ensemble Fx=?{()yz3 z=0} est un sous-espace vectoriel de 3 Réponse
Chapitre 4 Espaces vectoriels - Université Laval
a) L’espace Mmn des matrices `a coe?cients r´eels m ×n est un espace vectoriel sur R b) L’espace ?n des polynˆomes `a coe?cients r´eels de degr´e au plus n est un espace vectoriel sur R ?n = {a0 +a1x + anx n a i ?R?i} Il n’est pas di?cile de voir que l’addition des polynˆomes et leur multiplication par un
Les espaces vectoriels - univ-rennes1fr
D´e?nition 1 – On dit que E est un espace vectoriel sur K si 1) (E+) est un groupe ab´elien c’est-`a-dire : ? ?(xyz) ? E 3 (x +y)+z = x +(y +z) (associativit´e)
Espaces vectoriels
2 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?3 3 Donner une base de 4 Donner une base de ? Allez à : Correction exercice 16 Exercice 17 Soient 1=(111) 2=(2?2?1)et 3=(11?1) Soient ={( )??3 + =0}et =???? ( 1 2) 1 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?3 Déterminer une base de
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Donner des bases aux espaces vectoriels suivants (on ne demande pas de montrer qu'il s'agit d'espaces vectoriels) : 1 {(xyzt) ?R4 x+y+z+t= x+2y+3z+4t= 0}; 2 {P ?R 5[X]P(a) = P(b) = 0}(pour a?= b? R); 3 {P?R[X]P(a) = P(b) = 0}(pour a?=b?R); 4 {y?C2(RR)y??= 4y??3y}; 5 {(u n) ?Rn?n?Nu n+2 = 4u n+1 ?3u n
Comment montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel ?
Montrer que Fa,best un sous-espace vectoriel. Proposition 7. surR. Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on pourra montrer que c’est un sous-espacevectoriel d’un des espaces vectoriels de référence.
Comment définir un espace vectoriel?
L’espace vectoriel {0}est défini par sa dimension 0. Si un espace vectoriel n’est pas de dimension finie, on dit qu’il est de dimension infinie. Théorème 2 Dans un espace vectoriel Ede dimension finie, il existe toujours des bases. Proposition Soit {u1,,up} GG … une base de E. Alors : !,( 1,)p
Comment calculer le sous-ensemble d'un espace vectoriel?
Soit Eun espace vectoriel et Fun sous-ensemble de E(F?E). Si Fvérifie les propriétés (i) et (ii) suivantes, alors Fest un sous-espace vectoriel de E: (i) Fest non vide (ii) ()x,yF×F GG ??, ?()?µ, ?2, alors ?x+µyF? GG
Pourquoi les vecteurs forment-ils un espace vectoriel ?
Pour permettre de ne pas répéter à chaque fois les caractéristiques et propriétés de ces ensembles, les mathématiciens ont défini un « modèle » qui ne vérifie qu’un nombre minimum de propriétés (des axiomes), mais juste assez pour éviter des cas pathologiques. Ce modèle, encore appelé Espace Vectoriel, a donc des propriétés partagées
Espace vectoriel réel
Table des matières
1 Structure d"espace vectoriel réel 2
1.1 Structure sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Espaces vectoriels de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.4 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.5 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.5.2 Exemples importants de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62 Familles d"éléments d"un espace vectoriel 6
2.1 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72.3 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93 Dimension d"un espace vectoriel 10
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103.2 Familles libres en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113.3 Familles génératrices en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123.4 Bases en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123.5 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123.6 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133.6.1 Rang d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133.6.2 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133.6.3 Rang de la matrice transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143.6.4 Inversibilité d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 11 Structure d"espace vectoriel réel
1.1 Structure sur un ensembleOn appelle structure sur un ensemble une série de lois de composition (addition, produit, etc...) et de
propriétés vérifiées par ces lois. Il y a deux intérêts à structurer un ensemble :
•Dégager des propriétés obtenues à l"aide de cette structure. •Généraliser ces propriétés à tout autre ensemble qui aura la même structure.1.2 DéfinitionDéfinition 1.1 :Espace vectoriel réel
SoitEun ensemblenon videmuni d"une loi d"addition interne, notée+, et d"une loi de produit externe
par un réel, notée·. On dit que(E,+,·)est un espace vectoriel réel(ouR-espace vectoriel) si : •Propriétés de la loi+:Comm utativité: ?x,y?E,x+y=y+x.
Asso ciativité: ?x,y,z?E,(x+y) +z=x+ (y+z).
Élémen tneutre : ?0E?Etel que?x?E,x+ 0E= 0E+x=x. Cet élément, appelé élément nul(ou vecteur nul), est forcément unique. Élémen tsymétrique : ?x?E, il existe un unique élémenty?Etel quex+y= 0E. Cet élément, forcément unique, est noté-x. •Propriétés de la loi·: Asso ciativité: ?x?Eet?λ,μ?R,λ·(μ·x) = (λμ)·x=μ·(λ·x).Élémen tneutre : ?x?E,1·x=x.
•Distributivité de la loi·sur la loi+: -?x,y?E,?λ?R,λ·(x+y) =λ·x+λ·y. Les éléments deRsont appelés scalaireset les éléments deEsont appelés vecteurs.Remarque 1.2 :Règles de calcul dans un espace vectoriel•? x?E,0·x= 0Eet?λ?R, λ·0E= 0E.
? λ?R,?x?E, λ·x= 0E??λ= 0oux= 0E.1.3 Espaces vectoriels de référenceOn va donner un certain nombre d"exemples d"espaces vectoriels. Pour chacun de ces espaces vectoriels,
on va détailler l"addition et le produit externe et donner l"élément nul.L"ensembleRn=Mn,1(R)ouM1,n(R)
Un élémentxdeRns"écrit (on choisit de les écrire en colonnes ici, mais on peut également les écrire en
lignes) x=( ((((((x 1 x 2 x 3... x n) ))))))avec?i?[[1,n]], xi?R 2 L"addition et le produit externe sont réalisés coordonnée à coordonnée : ((((((x 1 x 2 x 3... x n) ((((((y 1 y 2 y 3... y n) ((((((x 1+y1 x 2+y2 x3+y3...
x n+yn) ))))))etλ·( ((((((x 1 x 2 x 3... x n) ((((((λx 1 λx 2 λx 3... λx n)L"élément nul deRnest le vecteur nul
0 n,1=( ((((((0 0 0 0) L"ensembleRndes vecteurs àncoordonnées réelles est unR-espace vectoriel.L"ensembleMn,p(R)des matrices
A=( ((((a1,1a1,2... a1,p
a2,1a2,2... a2,p.........
a n,1an,2... an,p) ))))avec?i?[[1,n]],?j?[[1,p]], ai,j?R L"addition et le produit externe sont réalisés coordonnée à coordonnée : ((((a1,1a1,2... a1,p
a2,1a2,2... a2,p.........
a n,1an,2... an,p) ((((b1,1b1,2... b1,p
b2,1b2,2... b2,p.........
b n,1bn,2... bn,p) ((((a1,1+b1,1a1,2+b1,2... a1,p+b1,p
a2,1+b2,1a2,2+b2,2... a2,p+b2,p.........
a n,1+bn,1an,2+bn,2... an,p+bn,p) etλ·( ((((a1,1a1,2... a1,p
a2,1a2,2... a2,p.........
a n,1an,2... an,p) ((((λa1,1λa1,2... λa1,p
λa2,1λa2,2... λa2,p.........
λa n,1λan,2... λan,p)L"élément nul deMn,p(R)est la matrice nulle
0 n,p=( ((((0 0...00 0...0
0 0...0)
L"ensembleMn,p(R)des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients réels est unR-espace vectoriel.
L"ensembleA(D,R)des applications
SoitD?R, un élémentfdeA(D,R)s"écrit :
f:D→R x?→f(x) L"addition et le produit externe sont définis de la manière suivante : ?x?D,(f+g)(x) =f(x) +g(x)et(λ·f)(x) =λf(x). 3 L"élément nul deA(D,R)est l"application nullefvérifiant ?x?D, f(x) = 0. L"ensembleA(D,R)des applications deDdansRest unR-espace vectoriel.L"ensembleR[X]des polynômes
Un élémentPdeR[X]s"écrit aveca0,a1,...,andes réelsP=a0+a1X+···+anXn=n?
i=0aiXi.En prenantPetQde degré inférieur ou égal àr, l"addition et le produit externe sont ceux définis classiquement
sur les fonctions :P+Q=r?
i=0(ai+bi)Xietλ·P=r? i=0λa iXi,avecP=r? i=0a iXietQ=r? i=0b iXi. L"élément nul deR[X]est le polynôme nulPvérifiant P= 0. L"ensembleR[X]des polynômes à coefficients réels est unR-espace vectoriel.L"ensembleRNdes suites
Un élémentudeRNs"écrit
u= (un)n?N. L"addition et le produit externe sont également ceux définis classiquement sur les fonctions : ?n?N,(u+v)n=un+vnet(λ·u)n=λun. L"élément nul deRNest la suite nulleuvérifiant ?n?N, un= 0. L"ensembleRNdes suites réelles est unR-espace vectoriel.Remarque 1.3On remarque donc que, selon le contexte, les éléments d"un espace vectoriel peuvent être des matrices, des
n-uplets de réels, des polynômes, des fonctions, des suites... L"étude générale des espaces vectoriels permet
de dégager des propriétés communes à tous ces ensembles structurés.1.4 Combinaisons linéaires
Définition 1.4 :Combinaison linéaire
Un vecteurxdeEest ditcombinaison linéairede la famille(f1,...,fp), s"il existepélémentsλ1,λ2,...,λp?Rtels que
x=λ1f1+···+λpfp=p? i=1λ ifiMéthode 1.5 :Comment montrer qu"un vecteur est combinaison linéaire d"une famille?Pour montrer qu"un vecteurxdeEest combinaison linéaire d"une famille(f1,...,fp), on résout l"équation
vectorielle (amenant à un système d"équation)x=λ1f1+···+λpfp, d"inconnuesλ1,...,λp.4
Méthode 1.5 :Comment montrer qu"un vecteur est combinaison linéaire d"une famille?Pour montrer qu"un vecteurxdeEest combinaison linéaire d"une famille(f1,...,fp), on résout l"équation
vectorielle (amenant à un système d"équation)x=λ1f1+···+λpfp, d"inconnuesλ1,...,λp.Exemple 1.DansR3, le vecteurx=(
(2 5 9) )est-il combinaison linéaire de la famille( (1 1 1) (0 1 1) (0 0 1)Exemple 2.
DansM2(R), la matriceA=
?2 1 -1 1? est-elle combinaison linéaire de la famille ??1 0 0 1? ,?1 1 1 1??Exemple 3.DansR[X], le polynômeP=X3+7est-il combinaison linéaire de la famille?(X+ 2)3,(X+ 1)2,1??
1.5 Sous-espaces vectoriels
1.5.1 DéfinitionDéfinition 1.6 :Sous-espace vectorielSoit(E,+,·)unR-espace vectoriel etF?Eune partie non-vide deE.
On dit queFest un sous-espace vectorieldeE, si :
? x,y?F,x+y?F.(stabilité par addition)? x?F,?λ?R,λ·x?F.(stabilité par multiplication externe)Remarque 1.7 :Existence d"au moins deux sous-espaces vectorielsUn espace vectorielEa toujours au moins deux sous-espaces vectoriels qui sontElui-même et{0E}.Propriété 1.8 :Un sous-espace vectoriel est un espace vectorielSoient(E,+,·)unR-espace vectoriel etFun sous-espace vectoriel deE.
L"ensembleFest lui-même unR-espace vectoriel pour les lois+et·.La caractérisation d"un sous-espace vectoriel est beaucoup plus simple que celle d"un espace vectoriel.
C"est en utilisant cette propriété, qu"on montrera qu"un ensemble est un espace vectoriel, en montrant que
c"est un sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel de référence.Proposition 1.9 :Caractérisation d"un sous-espace vectoriel
SoitFunR-espace vectoriel, on dit qu"un ensembleFest unsous-espace vectorieldeEsi et seulement si : •F?E •0E?F(ouF?=?) ? x,y?F,?λ,μ?R,λx+μy?F.(stabilité par combinaison linéaire)On note que l"on peut remplacer la condition de stabilité par addition et par multiplication par un scalaire
par la stabilité par combinaison linéaire.Exemple 4. SoitR[X]leR-espace vectoriel des polynômes. Soienta?RetEal"ensemble des polynômes qui s"annulent ena. Montrer queEaest un sous-espace vectoriel deR[X].Exemple 5.
SoitRNleR-espace vectoriel des suites. Montrer que l"ensemble des suites convergentesScest un sous-espace vectoriel deRN. 51.5.2 Exemples importants de sous-espaces vectoriels
Les ensemblesRn[X]Soitnun entier naturel, l"ensembleRn[X]des polynômes de degré inférieur ou égal ànest un sous-espace
vectoriel deR[X]. L"ensemble des solutions d"un système d"équations linéaires homogènesL"ensemble des solutions d"un système d"équations linéaires homogènes est un sous-espace vectoriel deRp.
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