leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit wwwmath-evrycnrsfrEspaces vectoriels réels

1 Espaces vectoriels sous-espaces vectoriels

Pour montrer qu'un ensemble E est un e.v. il suffit généralement de montrer que E est un s.e.v. d'un autre e.v. bien connu (ex. : fonctions.

Fiche méthode 2 : Montrer quun ensemble est un espace vectoriel 1

1.1 Espaces vectoriels de référence. • pour tout n ? 1 Rn est un espace vectoriel (de dimension finie n

Pour montrer quun ensemble est un espace vectoriel

Boite à outils d'algèbre linéaire. Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel. Revenir aux définitions. • R est un (Q +

Chapitre 2 - Espaces vectoriels réels

Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel on pourra montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un des espaces vectoriels de référence.

Les espaces vectoriels

Démonstration : soit E? l'ensemble des combinaisons linéaires des (xi)i?I . On a E? ? Vect((xi)i?I). Il suffit donc de montrer que E? est un sous-espace

Espaces vectoriels

Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs de sorte que l'on puisse Montrer par récurrence que si les vi sont des éléments d'un -espace ...

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et

18?/03?/2015 Comme nous venons de le voir nous sommes souvent ramenés à montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel. Méthode : Pour montrer que ...

Espace vectoriel réel

Une manière efficace de montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel est de montrer qu'il est un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.

Espaces vectoriels et applications linéaires

Soit la matrice. On note l'ensemble des matrices de vérifiant : Page 10. 1) a) Montrer que est un espace vectoriel. Commentaires. Comme est par définition un

leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit wwwmath-evrycnrsfrEspaces vectoriels réels - CNRS

Méthode 2 : Une manière de montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel on pourra montrer que c’est un sous-espace vectoriel d’un des espaces vectoriels de référence

Espaces vectoriels réels

Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E (F?E) Si F vérifie les propriétés (i) et (ii) suivantes alors F est un sous-espace vectoriel de E: (i) F est non vide (ii) ()x yF×F GG ?? ?()?µ ?2 alors ?x +µyF? GG Exemples 1 Montrer que l’ensemble Fx=?{()yz3 z=0} est un sous-espace vectoriel de 3 Réponse

Chapitre 4 Espaces vectoriels - Université Laval

a) L’espace Mmn des matrices `a coe?cients r´eels m ×n est un espace vectoriel sur R b) L’espace ?n des polynˆomes `a coe?cients r´eels de degr´e au plus n est un espace vectoriel sur R ?n = {a0 +a1x + anx n a i ?R?i} Il n’est pas di?cile de voir que l’addition des polynˆomes et leur multiplication par un

Les espaces vectoriels - univ-rennes1fr

D´e?nition 1 – On dit que E est un espace vectoriel sur K si 1) (E+) est un groupe ab´elien c’est-`a-dire : ? ?(xyz) ? E 3 (x +y)+z = x +(y +z) (associativit´e)

Espaces vectoriels

2 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?3 3 Donner une base de 4 Donner une base de ? Allez à : Correction exercice 16 Exercice 17 Soient 1=(111) 2=(2?2?1)et 3=(11?1) Soient ={( )??3 + =0}et =???? ( 1 2) 1 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?3 Déterminer une base de

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Donner des bases aux espaces vectoriels suivants (on ne demande pas de montrer qu'il s'agit d'espaces vectoriels) : 1 {(xyzt) ?R4 x+y+z+t= x+2y+3z+4t= 0}; 2 {P ?R 5[X]P(a) = P(b) = 0}(pour a?= b? R); 3 {P?R[X]P(a) = P(b) = 0}(pour a?=b?R); 4 {y?C2(RR)y??= 4y??3y}; 5 {(u n) ?Rn?n?Nu n+2 = 4u n+1 ?3u n

Comment montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel ?

Montrer que Fa,best un sous-espace vectoriel. Proposition 7. surR. Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on pourra montrer que c’est un sous-espacevectoriel d’un des espaces vectoriels de référence.

Comment définir un espace vectoriel?

L’espace vectoriel {0}est défini par sa dimension 0. Si un espace vectoriel n’est pas de dimension finie, on dit qu’il est de dimension infinie. Théorème 2 Dans un espace vectoriel Ede dimension finie, il existe toujours des bases. Proposition Soit {u1,,up} GG … une base de E. Alors : !,( 1,)p

Comment calculer le sous-ensemble d'un espace vectoriel?

Soit Eun espace vectoriel et Fun sous-ensemble de E(F?E). Si Fvérifie les propriétés (i) et (ii) suivantes, alors Fest un sous-espace vectoriel de E: (i) Fest non vide (ii) ()x,yF×F GG ??, ?()?µ, ?2, alors ?x+µyF? GG

Pourquoi les vecteurs forment-ils un espace vectoriel ?

Pour permettre de ne pas répéter à chaque fois les caractéristiques et propriétés de ces ensembles, les mathématiciens ont défini un « modèle » qui ne vérifie qu’un nombre minimum de propriétés (des axiomes), mais juste assez pour éviter des cas pathologiques. Ce modèle, encore appelé Espace Vectoriel, a donc des propriétés partagées

ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015

Chapitre 2

Espaces vectoriels réels

I) De l"exemple à la définitionOn considère le planEAER£Rmuni d"un repère (O,~i,~j). Un vecteur~udu plan s"identifie à ses coordonnées

(u1,u2) dans ce repère. Étant donnés~uAE(u1,u2) et~vAE(v1,v2) deux vecteurs du plan et¸un nombre réel

quelconque, on définit ~uÅ~vAE(u1Åu2,v1Åv2); •¸¢~uAE(¸u1,¸u2).

Le vecteur nul

~0 a pour coordonnées (0,0).~ u~ v2 ~u~ uÅ~v

La somme vectorielle "Å» est uneloi de compositionet elle est diteinternepuisqu"elle "mange» deux

vecteurs du plan et renvoie un vecteur du plan. La multiplication à gauche "¢» d"un vecteur par unscalaire

est aussi une loi de composition, mais elle est diteexternecar elle "mange» un vecteur et un scalaire (qui

est donc extérieur au plan) et renvoie un vecteur.

Les calculs sur les vecteurs se font alors avec les règles suivantes (que vous appliquez naturellement depuis

leur introduction dans votre scolarité) : pour tous vecteurs~u,~v,~wdansEet pour tous nombres réels¸et¹

i) ~uÅ(~vÅ~w)AE(~uÅ~v)Å~wAE~uÅ~vÅ~w(associativité de la loi "Å»), ii) ~uÅ~vAE~vÅ~u(commutativité de la loi "Å»), iii) ~uÅ~0AE~u(élément neutre pour la loi "Å» noté~0), iv) ~uÅ(¡~u)AE~0 ( existence d"un opposé pour la loi "Å»),

v)¸¢(~uÅ~v)AE¸¢~uÅ¸¢~v(distributivité à gauche de la loi "¢» par rapport à l"addition dans E),

vi)

( ¸Å¹)¢~uAE¸¢~uÅ¹¢~v(distributivité à droite de la loi "¢» par rapport à l"addition dansR),

vii) ( ¸¹)¢~uAE¸¢(¹¢~v) (associativité mixte de la loi "¢»), viii)

1 ¢~uAE~u(élément neutre pour la loi "¢» noté 1).

De nombreux espaces peuvent être munis d"une addition et d"un produit par les nombres réels qui vérifient

les règles de calcul précédentes : matrices, polynômes, suites, fonctions, etc. C"est pour cela qu"on introduit

la notion d"espace vectoriel.

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ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015

Définition 1.On appelle espace vectoriel réel (ouR-espace vectoriel) tout triplet (E,Å,¢) constitué

d"un ensembleEet de deux lois "Å» et "¢» vérifiant les propriétés i) à viii) pour tous vecteurs~u,~v,~w

dans E et pour tous nombres réels¸et¹.II) Espaces vectoriels de référence Proposition 1.Pour tout entier n>1, le triplet(Rn,Å,¢)est un espace vectoriel surRavec •RnAE©(x1,...,xn) :x12R,...,xn2Rª; ~xÅ~yAE(x1Åy1,...,xnÅyn), si~xAE(x1,...,xn)et~yAE(y1,...,yn)sont des éléments deRn;

•¸¢~xAE(¸x1,...,¸xn), si~xAE(x1,...,xn)est un élément deRnet¸un nombre réel.

En particulier,(R,Å,¢),(R2,Å,¢)et(R3,Å,¢)sont des espaces vectoriels surR.Proposition 2.

Pour tous entiersn>1etp>1, le triplet(Mn,p(R),Å,¢), est un espace vectoriel surR avec •Mn,p (R)AE8 :0 B @m

1,1¢¢¢m1,p.........

m n,1¢¢¢mn,p1 C

A:mi,j2R,8i2{1,...,n},8j2{1,...,p}9

;,l"ensembledesmatrices réelles à n lignes et p colonnes,; •AÅBAE0 B @a

1,1Åb1,1¢¢¢a1,pÅb1,p.........

a n,1Åbn,1¢¢¢an,pÅbn,p1 C A , siAAE0 B @a

1,1¢¢¢a1,p.........

a n,1¢¢¢an,p1 C

AetBAE0

B @b

1,1¢¢¢b1,p.........

b n,1¢¢¢bn,p1 C

Asont des

éléments deMn,p(R);

•¸¢AAE0 B @¸a1,1¢¢¢¸a1,p.........

¸an,1¢¢¢¸an,p1

C A , siAAE0 B @a

1,1¢¢¢a1,p.........

a n,1¢¢¢an,p1 C

Aest un élément deMn,p(R)et¸un nombre

réel.

Le vecteur nul est dans ce cas la matrice nulle0

B @0¢¢¢0

0¢¢¢01

C A.

En première année étaient introduits les espacesMn,1(R) présentés comme des espaces vectoriels. Ces

espaces s"identifient aux espacesRnsi on identifie les vecteurs (x1,...,xn) deRnavec les vecteurs co-

lonnes0 B @x 1... x n1 C AdeMn,1(R).Proposition 3.Le triplet(R[X],Å,¢)est un espace vectoriel surRavec •R

[X]l"ensemble des fonctions polynomiales que l"on identifie à l"ensemble des polynômes à coeffi-

cients réels©Pn kAE0akXk:n2N, (a0,...,an)2RnÅ1ªen posantXk:x7!xk; •[PÅQ](X)AEP(X)ÅQ(X), siP(X)etQ(X)sont des éléments deR[X];Page 2/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015 •[¸¢P](X)AE¸£P(X), siP(X)est un élément deR[X]et¸un nombre réel.

Le vecteur nul est dans ce cas le polynôme nul, le polynôme dont tous les coefficients sont nuls.Proposition 4.Le triplet(RN,Å,¢)est un espace vectoriel surRavec

1.RNAE©(un)n2N:un2,8n2Nª, l"ensemble des suites réelles;

2. u ÅvAE(unÅvn)n2N, si uAE(un)n2Net vAE(vn)n2Nsont des éléments deRN;

3.¸¢uAE(¸un)n2N, si uAE(un)n2Nest un élément deRNet¸un nombre réel.

Le vecteur nul est dans ce cas la suite nulle, la suite dont tous les termes valent0.Proposition 5.SoitDun ensemble non vide inclus dansR. Le triplet(RD,Å,¢)est un espace vectoriel

surRavec

1.RDAE©f:D!Rª, l"ensemble des fonctions deDdansR;

2. f Åg:x7!f(x)Åg(x), si f et g sont des éléments deRD;

3.¸¢f:x7!¸£f(x), si f est un élément deRDet¸un nombre réel.

Le vecteur nul est dans ce cas la fonction nulle, la fonction qui prend la valeur0sur toutD.III) Sous-espaces vectoriels

À partir de maintenant, les vecteurs (c"est à dire les éléments d"un espace vectoriel) sont notés sans "flèche»

(sauf exception dépendant du contexte).

Par ailleurs, dans toute la suite, on confond l"ensemble E avec leR-espace vectoriel (E,Å,¢).Définition 2.

SoientEunR-espace vectoriel,nun entier non nul etFAE(u1,...,un) une famille de nvecteurs deE. On dit que le vecteuruest unecombinaison linéairedes vecteurs deFsi il existen nombres réels¸1, ...,¸ntels que uAE¸1u1Å¢¢¢Å¸nunAEnX kAE1¸ kuk.Exemple 1. Le vecteuruAE(3,2) s"écrituAE3iÅ2javeciAE(1,0) etjAE(0,1). Le vecteuruest donc une combinaison linéaire des vecteursietj.iju2j3iPage 3/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015 Définition 3.SoientEunR-espace vectoriel etFune partie deE. On dit queFest un sous-espace vectoriel de E si a)

F est non v ide;

F est sta blep arcombin aisonli néaire.Méthode 1 : Montrer qu"une partie F est stable par combinaison linéaire.

On montre que F est stable par combinaison linéaire de deux vecteurs : i) p ourtous v ecteursuetvdans F et tous¸et¹dansR, le vecteur¸uÅ¹vappartient à F.

Parfois, il est plus simple de montrer séparément queFest stable par addition et par multiplication

externe : i") pour tou sv ecteursuetvdans F, le vecteuruÅvappartient à F; ii") pou rt outv ecteurudans F et tout¸dansR, le vecteur¸uappartient à F. Le point i) est équivalent à i") et ii") ainsi qu"au point b) de la définition 3 .Exemple 2.On se place dans EAER2et on considère l"ensemble F défini par

FAE{(x,y)2R2:xAEy}.

Montrer que F est un sous-espace vectoriel.Proposition 6. SoitFun sous-espace vectoriel d"unR-espace vectorielE. AlorsFcontient le vecteur nul.Exemple 3.On se place dans EAER2et on considère l"ensemble G défini par

GAE{(x,y)2R2:xAEyÅ1}.

L"ensemble G est il un sous-espace vectoriel deR2?Remarque 1. Pour étudier le fait qu"un ensembleFest, ou n"est pas, un sous-espace vectoriel, on commencera toujours par vérifier que le vecteur nul est dans l"ensemble F étudié puisque 1.

si le vecteur nul est dansF, alorsFest non vide et on vient de vérifier une des deux propriétés

qui définissent un sous-espace vectoriel; 2. si l ev ecteurn uln "estp asdan sF ,alors F n "estpas un s ous-espacev ectoriel.Exemple4. SoitEAERNet soientaetbdeux nombres réels. On considère l"ensembleFa,bdéfini par Fa,bAE©(un)n2N2E : pour toutn>0,unÅ2AEaunÅ1Åbunª.

Montrer que F

a,best un sous-espace vectoriel.Page 4/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015

Proposition7.Tout sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel surRest lui-même un espace vectoriel

surR.Méthode 2 : Une manière de montrer qu"un ensemble est un espace vectoriel Pour montrer qu"un ensemble est un espace vectoriel, on pourra montrer que c"est un sous-espace

vectoriel d"un des espaces vectoriels de référence.Proposition 8.Pour tout entier n, le triplet(Rn[X],Å,¢)est un espace vectoriel surRavec

1.Rn

égal à n;

2.[PÅQ](X)AEP(X)ÅQ(X), siP(X)etQ(X)sont des éléments deRn[X];

3.[¸¢P](X)AE¸£P(X), siP(X)est un élément deRn[X]et¸un nombre réel.

Le vecteur nul est dans ce cas le polynôme nul, le polynôme dont tous les coefficients sont nuls.IV) Familles de vecteurs

1) Espace engendré par une famille de vecteursDéfinition 4.

SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un) une famille denvecteurs deE. On définit l"ensembleVect(F) comme l"ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs deF, c"est à dire

Vect(F)AEVect(u1,...,un)AEn

nX kAE1¸ kuk: (¸1,...,¸n)2Rno

Autrement dit, le vecteuruappartient àVect(F) si et seulement siuest une combinaison linéaire des

vecteurs deF, c"est à dire qu"il existennombres réels¸1, ...,¸ntels queuAEPn

kAE1¸kuk.Remarque 2.Par convention, on définit Vect(;)AE{0}.Exemple 5.Montrer que FAE{(x,y)2R2:yAE2x} s"écrit FAEVect(u) avecuAE(1,2).Exemple 6.

Montrer queFAE{(x,y,z)2R3:xÅyAE2z}s"écritFAEVect(u,v) avecuAE(1,0,1) et vAE(0,1,2).Proposition 9. SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un)une famille de n vecteurs deE. Alors i) L "ensembleVect(F)est un sous-espace vectoriel deEqui contientF. ii) S iFest un sous-espace vectoriel qui contientF, alors il contientVect(F). iii) S iFetGsont deux familles de vecteurs telles queF½G, alorsVect(F)½Vect(G). L"ensembleVect(F)est donc le sous-espace vectorielengendréparFet c"est le plus petit sous-espace vectoriel qui contientF.Page 5/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015 Théorème 1(Opérations sur les vecteurs).SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un)une famille denvecteurs deE. Le sous-espace vectorielVect(F)n"est pas modifié l orsquel"on per muteles v ecteursde F; l orsquel"on r etiret ousl esv ecteursn ulsde F; lorsqu"àkfixé, on remplaceukpar une combinaison linéaire des vecteurs deF, à condition toutefois d"affecter à ukun coefficient non nul.2) Familles génératrices

Définition 5.

SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un) une

famille de vecteurs deE. On dit que la familleFestgénératricedeElorsqueEAEVect(F), c"est à dire

que tout vecteur de E s"écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs deF.Méthode 3 : Montrer qu"une familleFest génératrice d"une espace vectoriel E

Par définition, il faut montrer que tout vecteurudeEs"écrit comme une combinaison linéaire des

vecteurs deF. Concrètement, siFAE(u1,...,un), on se donne un vecteur quelconqueudeEet

il faut trouver (généralement de manière constructive) unn-uplet de scalaires (¸1,...,¸n) tels que

uAE¸1u1Å¢¢¢Å¸nun.

Ceci aboutit en général à la résolution d"un système linéaire.Exemple 7.Montrer que la familleFAE(u1,u2,u3) avec

1AE(1,0,0),u2AE(1,1,0) etu3AE(1,1,1)

est génératrice deR3.Théorème 2.Toute sur-famille d"une famille génératrice est encore génératrice.

Théorème 3.

Si on ôte d"une famille génératrice un vecteur qui est une combinaison linéaire des

autres vecteurs de cette famille, alors la famille obtenue est toujours génératrice.3) Familles libres, familles liées

Définition 6.

SoientEunR-espace vectoriel,nun entier naturel non nul etFAE(u1,...,un) une famille de vecteurs deE. On dit que la familleFestlibreou que les vecteurs deFsontlinéairement indépendantssi pour toutn-uplet (¸1,...,¸n) deRn

1u1Å¢¢¢Å¸nunAE0)¸1AE¢¢¢AE¸nAE0.

Dans le cas contraire, on dit que la familleFestliéeou que les vecteurs deFsontlinéairement dépendants.Page 6/12 ECE2-Lycée La Folie Saint James Année 2014-2015

Méthode 4 : Montrer qu"une familleFest libreIl suffit de se laisser guider par la définition. On se donne unn-uplet (¸1,...,¸n) deRntel que¸1u1Å

¢¢¢Å¸nunAE0 et on étudie les implications d"une telle égalité sur les coefficients¸1, ...,¸n.

Là encore, ceci aboutit en général à la résolution d"un système linéaire.Exemple 8.Montrer que la familleFAE(u1,u2,u3) avec

1AE(1,0,0),u2AE(1,1,0) etu3AE(1,1,1)

est libre.Exemple 9. On se place dans l"ensembleR[X] des polynômes à coefficients réels. Montrer que la

familleFAE(1,X¡1,X2¡2X) est libre.Proposition 10.Soient u et v deux vecteurs d"unR-espace vectoriel.

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Comment montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel ?

Comment définir un espace vectoriel?

Comment calculer le sous-ensemble d'un espace vectoriel?

Pourquoi les vecteurs forment-ils un espace vectoriel ?

Chapitre 2

Espaces vectoriels réels

Le vecteur nul

1 ¢~uAE~u(élément neutre pour la loi "¢» noté 1).

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1,1¢¢¢m1,p.........

A:mi,j2R,8i2{1,...,n},8j2{1,...,p}9

1,1Åb1,1¢¢¢a1,pÅb1,p.........

1,1¢¢¢a1,p.........

AetBAE0

1,1¢¢¢b1,p.........

Asont des

éléments deMn,p(R);

¸an,1¢¢¢¸an,p1

1,1¢¢¢a1,p.........

Aest un élément deMn,p(R)et¸un nombre

Le vecteur nul est dans ce cas la matrice nulle0

0¢¢¢01

1.RNAE©(un)n2N:un2,8n2Nª, l"ensemble des suites réelles;

3.¸¢uAE(¸un)n2N, si uAE(un)n2Nest un élément deRNet¸un nombre réel.

1.RDAE©f:D!Rª, l"ensemble des fonctions deDdansR;

3.¸¢f:x7!¸£f(x), si f est un élément deRDet¸un nombre réel.

F est non v ide;

FAE{(x,y)2R2:xAEy}.

GAE{(x,y)2R2:xAEyÅ1}.

Montrer que F

égal à n;

2.[PÅQ](X)AEP(X)ÅQ(X), siP(X)etQ(X)sont des éléments deRn[X];

3.[¸¢P](X)AE¸£P(X), siP(X)est un élément deRn[X]et¸un nombre réel.

1) Espace engendré par une famille de vecteursDéfinition 4.

Vect(F)AEVect(u1,...,un)AEn

Définition 5.

1AE(1,0,0),u2AE(1,1,0) etu3AE(1,1,1)

Théorème 3.

Définition 6.

1u1Å¢¢¢Å¸nunAE0)¸1AE¢¢¢AE¸nAE0.

1AE(1,0,0),u2AE(1,1,0) etu3AE(1,1,1)