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Licence de physique intensive Sprint

Methodes mathematiques I

Analyse vectorielleDan Isra

el(israel@lpthe.jussieu.fr )

Paul Klee,Polyphonie(1932), Kunstmuseum, B^ale.

Ces notes de cours sont fondees sur le cours de"Methodes mathematiques I»dispense par l'auteur a Sorbonne Universite dans le cadre de la licence de physique intensiveSprint lors de l'annee universitaire 2020{2021. Cet enseignement couvre plusieurs aspects d'analyse vectorielle, plus particulierement en vue de ses applications a l'electromagnetisme. Notre approche de l'analyse vectorielle, fondee sur les formes dierentielles, est plus formelle que celle employee habituellement; elle presente neanmoins plusieurs avantages, comme de permettre un traitement unie de nombreux theoremes et d'obtenir de maniere aisee les expressions associees aux dierents systemes de coordonnees curvilignes. Deux limites de ce cours sont a noter. Premierement, les applications envisagees de ce cours concernant la geometrie euclidienne, et pour eviter d'introduire formellement la notion de variete dierentielle, le domaine d'applicabilite d'un certain nombre de proprietes et de resultats ne sera pas donne precisement. Deuxiemement, etant donne que la theorie de l'in- tegration de Lebesgue n'est pas au programme (et qu'il ne s'agit pas d'ailleurs d'un cours d'analyse) le niveau de rigueur du chapitre traitant des integrales multiples sera inferieur a celui du reste de ce cours. Note: les section marquees d'un etoile?sont d'un niveau mathematique plus eleve et leur etude approfondie n'est pas exigee; cependant il faut avoir connaissance des notions qui y sont developpees.

Derniere mise a jour

Le 7 janvier 2021

Table des matieres

1 Introduction et motivations physiques 5

2 Applications et espaces vectoriels 9

2.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 0

2.3 Applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4 Formes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4

2.5 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.6 Espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3 Applications a plusieurs variables 20

3.1 Voisinage, continuite, limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 0

3.2 Dierentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.3 Derivees partielles, derivees selon une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.4 Espace tangent?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 4

3.5 Quelques resultats utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 8

4 Coordonnees curvilignes 41

4.1 Coordonnees curvilignes usuelles dansR2etR3. . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.2 Coordonnees curvilignes : approche generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.3 Bases locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 3

5 Gradient et integrales curvilignes 65

5.1 Courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.2 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.3 Integrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7

6 Formes dierentielles et derivees exterieures 86

6.1 Produit vectoriel et determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

6.2p-formes dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

6.3 Derivee exterieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 3

6.4 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 06

6.5 Divergence et laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 13 3

7 Integration et theoreme de Stokes 122

7.1 Integrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 22

7.2 Integrales de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 9

7.3 Integration sur des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 1

7.4 Theoreme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 62 4

Cours n

1

Introduction et motivations physiques

L'objectif principal de ce cours est de developper les outils d'analyse vectoriellequi vous seront necessaires en premier lieu pour l'etude de la theorie de l'electromagnetisme. Nous emploierons des methodes"modernes»qui ont une portee mathematique plus importante et peuvent ^etre directement generalisees pour aborder des sujets plus avances comme la relativite generale. L'analyse vectorielle est une branche des mathematiques a l'intersection de l'analyse et de la geometrie, dont l'objet est l'etude deschamps scalaireset deschamps de vecteurs{ ou plus generalement deschamps de tenseurs{ dans l'espace euclidien a trois dimensions, de leur dierentiation et de leur integration.

1De tels objets et concepts apparaissent naturellement

dans la description de systemes continus, comme en mecanique des uides ou en electroma- gnetisme. Mathematiquement, l'analyse vectorielle est englobee dans un domaine bien plus vaste, lageometrie dierentielle, donc quelques notions elementaires appara^tront dans ce cours.

Champs scalaires

Dans un certain nombre de systemes physiques, les grandeurs physiques decrivant les proprietes du systeme sont des grandeurs scalaires, c.-a.-d. donnees par un seul nombre reel dependant,a un instant t donne, de la position ou elle cette grandeur est mesuree; on parle alors dechamp scalaire. On peut citer ainsi : l ec hampd et emperatureT(~x); l ad ensited em assem(~x); l ec hampd ep ressionP(~x);

l ad ensited ec harge electriqueq(~x).1. Dans le cadre de la geometrie dierentielle, de tels concepts sont etendus aux geometries non-

euclidiennes, pertinentes en particulier pour la relativite generale. 5 Dans tous ces exemples, il faut comprendre la quantite consideree comme resultant de la moyenne, dans un volume innitesimal centre en ~x, du comportement d'un ensemble de particules (donc d'un systeme discret). Les champs scalaires ne sont pas necessairement directement associes en eux-m^emes a des grandeurs physiques mesurables. Dans les cas suivants : l ep otentielg ravitationnel(~x), l ep otentiels calaire electromagnetiqueV(~x), la grandeur physique pertinente (respectivement le champ de gravitation et le champ elec- trique)derivede ce potentiel scalaire, mais le potentiel associe a une certaine valeur de cette grandeur n'est pas unique et n'a pas en lui-m^eme de realite physique. Une caracterisation mathematiquement plus pertinente d'une grandeur scalaire, comme nous le verrons plus loin, est d'examiner la maniere dont cette grandeur se comporte lorsqu'on eectue une rotation de l'espace euclidien autour du point de coordonnees ~xou cette grandeur est mesuree; une grandeur scalaire est par denitioninvariantesous une telle rotation.

Champs vectoriels

D'autres grandeurs physiques sont donnees, en un point de l'espace ~xet a un certain instant, par les trois composantes d'un vecteur de l'espace. On peut citer : l ec hampd ev itesse ~u(~x;t)dans un uide, l ec hamp electrique ~E(~x;t), l ec hampm agnetique ~B(~x;t). La description de l'electromagnetisme fait aussi appel a unpotentiel vecteur~A(~x)qui, comme le potentiel scalaire, n'est pas directement mesurable. Comme pour les champs scalaires, un champ vectoriel~V(~x)est caracterise par ses lois de transformation, en particulier sous les rotations de l'espace. Il ne s'agit donc pas de la donnee de trois fonctions de l'espaceVx(~x),Vy(~x)etVz(~x)quelconques, car ces trois composantes se melangent entre elles lors d'une rotation de l'espace autour du point de coordonnees ~xde maniere bien determinee. Concretement on peut concevoir un vecteur~Vde l'espace euclidien a trois dimensionsR3comme un objet a trois composantes qui se transforme par une rotation selon :~V7!~V0=R~V ;(1.1) ouRest une matrice de rotation (c.-a.-d. une matrice33orthogonale de determinant unite). Par exemple, si(vx;vy;vz)sont les composantes du vecteur vitesse,(vx;v2x;vz-vyvx)ne sont pas les composantes d'un vecteur!

Operateurs dierentiels

Qu'il s'agisse de champs scalaires ou de champs vectoriels, il sera naturel d'imposer, au moins lorsque le milieu dans lequel sont denies ces quantites ne change pas, une certaine 6

Introduction et motivations physiques

regularite { au sens de l'analyse { aux fonctions associees. On peut alors vouloir denir pour ces objets une notion de derivation, generalisant la notion de derivation d'une fonction d'une variable. Rappelons que la derivee d'une fonction d'une variablef:R!Rau pointxest denie par la limite suivante, si elle existe : ddxf(x)def.=lim!06=0f(x+) -f(x) ;(1.2) et donne le taux d'accroissement de la fonctionfau voisinage dex. Si on munit l'espace euclidien a trois dimensions d'une base orthonormee(~ex;~ey;~ez), on peut de maniere analogue denir la notion dederivee partielledonnant le taux d'accroissement d'une fonctionf:R3!Rau voisinage du point de coordonnees~xlorsqu'on se deplace dans une des directions speciees par les trois vecteurs de base ~ex,~eyou~ez. La derivee partielle selonxest ainsi denie par la limite suivante, si elle existe : @@x f(x;y;z)def.=lim!06=0f(x+;y;z) -f(x;y;z) ;(1.3) avec une denition analogue pour les derivees partielles par rapport ayetz. Cette denition appelle trois remarques. Premierement, cette notion est plus"faible» que celle de derivation pour des fonctions d'une variable reelle, dans le sens ou l'existence des derivees partielles n'implique pas la continuite. Deuxiemement, il est souhaitable d'obtenir des methodes de derivation independantes du systemes de coordonnees choisi; il est en eet souvent commode, lorsque les symetries du probleme l'exigent, de considerer un systeme de coordonnees curvilignes. Par exemple, pour decrire le champ de gravitation autour de la Terre, il est evident que les coordonnees cartesiennes ne sont pas adaptees et que la distance au centre de la Terre est une direction privilegiee. Troisiemement, il est necessaire de considerer des combinaisons de derivees partielles qui se transforment"correctement»sous des rotations de l'espace, c.-a.-d. comme des scalaires ou des vecteurs. Par exemple, legradientd'un champ scalairefse transforme comme un vecteur. En coordonnees cartesiennes nous avons : --!gradfdef.=@f@x ~ex+@f@y f~ey+@f@z ~ez;(1.4) qui denit un champ vectoriel. Un exemple physique classique est une force conservative qui derive d'un potentiel,~F= ---!grad. La nature vectorielle du vecteur~Fest assuree par les proprietes du gradient que nous examinerons en detail. De maniere plus abstraite, le gradient associe a une fonction scalairef:R3!Rune fonction vectorielle--!gradf:R3!R3, et peut ^etre vu comme une application d'un espace de fonctions vers un autre :--!grad:f7!--!gradf:(1.5) 7 En utilisant ce point de vue nous considererons le gradient comme unoperateur dierentiel agissant sur un espace de fonctions. L'etude des operateurs dierentiels (gradient, rotationnel, divergence, laplacien), de leurs proprietes et de leurs expressions dans dierents systemes de coordonnees constitue le cur de cet enseignement. Nous utiliserons pour cela un formalisme tres puissant et commode, celui desformes dierentielles, qui permettra de traiter de tous ces objets de maniere uniee et systematique.

Integration

L'etude des champs scalaires et des champs de vecteurs nous amene egalement a considerer la question de l'integration de tels objets. La generalisation de l'integrale unidimensionnelle d'une fonction (continue)f:R!Rsur un intervalle[a;b], Z b a f=F(b) -F(a); F0(x) =f(x)(1.6) pose un certain nombres de questions. Premierement, une fonction d'une variable ~x2R3ou un champ vectoriel peuvent ^etre integres sur : u neco urbe,fer meeo un on; u nesu rface,co mpacteou n on; u nd omained eR3, compact ou non. Deuxiemement, la generalisation de la propriete (1.6) des integrales sur l'axe reel au dierents types d'integrales mentionnes conduit a des theoremes fondamentaux d'analyse vectorielle : th eoremed 'Ostrogradsky,a ppele egalementt heoremed eG reen-Ostrograskyet t heo- reme de Gau par les physiciens; th eoremed eS tokes,ap pele egalementt heoremed eKel vin-Stokes; th eoremed eGr een; th eoremed ugr adient. Dans le formalisme des formes dierentielles que nous utiliserons, ces dierentes proprietes sont les consequences d'un theoreme unique, appele generiquementtheoreme de Stokes. Ces theoremes d'analyse vectorielle jouent un r^ole fondamental en physique, que ce soit pour le calcul du travail d'une force conservative pour le calcul du ux d'un champ magnetique a travers une surface. 8

Cours n

2

Applications et espaces vectoriels

L'objectif de ce chapitre est de poser les fondements mathematiques necessaires a l'ex- pose de l'analyse vectorielle. Ces concepts seront egalement indispensables pour le cours de methodes mathematiques du second semestre.

2.1 Applications

Denition 1

( application).SoientEetFdeux ensembles. Une applicationfdeEversF associe a tout elementx2Eun unique elementy2F: f:E!F x7!y=f(x)(2.1) La donnee d'une application est donc constituee de trois elements : l'ensemble de departE, l'ensemble d'arriveeFet une regle associant a chaque element deEun element deF. Pour un elementy2Fdonne, il peut exister aucun, un seul ou plusieurs elementsx2E tels quef(x) =y. De maniere generale :

Denition 2

( antecedent).L'ensemble f -1(y)def.=fx2Ejf(x) =ygE(2.2) est un sous-ensemble deE, eventuellement vide, appele ensemble des antecedents dey. Plus globalement, l'ensemble desf-1(y)pour tous lesy2B, ouBest une partie deF, est appeleimage reciproquedeBparfet noteef-1(B). L'ensemble des elementsy2Fatteints par l'applicationfne couvre pas necessairement l'ensembleF. On denit ainsi :

Denition 3

( image).L'ensemble

Imfdef.=fy2Fj9x2Ejy=f(x)gF(2.3)

est un sous-ensemble deFappele image de l'ensembleEpar l'applicationf, qui se note egalementf(E). 9

COURS N

2. APPLICATIONS ET ESPACES VECTORIELSExemple 1(e xponentielle).Soit l'application

f:R!R x7!y=expx(2.4) Pour touty > 0,f-1(y) =flnyget pour touty60,f-1(y) =;. Nous avons egalement f -1(R+) =Ret Im exp=R+. Certaines applications jouissent de proprietes particulieres et sont caracterisees par une appellation correspondante.

Denition 4

( injection,s urjection,bi jection).Soitf:E!Fune application : si x6=x0=)f(x)6=f(x0)alorsfest une injection; si 8y2F; f-1(y)6=;alorsfest une surjection; si fest a la fois une injection et une surjection,fest appelee bijection. Une bijection associe a tout elementx2Eun unique elementy2F, comme toute appli- cation, mais egalement a tout elementy2Fun unique antecedentx2E, via l'application reciproquef-1:F!E.

Denition 5

( injectionca nonique).SoitEun ensemble etAEune partie deE. On denit l'injection canonique deAdansE, notee, comme : :A,!E x7!(x) =x(2.5) Un cas particulier d'injection canonique est l'application identite id E:E!E x7!idE(x) =x(2.6) (exercice : verier queest une injection etidune bijection.)

2.2 Espaces vectoriels

La notion familiere de vecteurs du plan et de l'espace se generalise en un notion plus generale d'espace vectoriel. Par simplicite nous ne considererons que lesR-espaces vectoriels, c.-a.-d. denis sur le corps des reels.

Denition 6

( R-espace vectoriel).Un ensembleEest unR-espace vectoriel, dont les elements sont appeles vecteurs, s'il est muni des operations suivantes : 10

Applications et espaces vectoriels

addition de deux v ecteurs EE!E (x;x0)7!x+x0 multiplic ationp arun nombr er eel(loi de c ompositionexter ne) RE!E (;x)7!x ou ces operations satisfont aux axiomes suivants : |8x;x02E,x+x0=x0+x(commutativite); |8x;x0;x002E,(x+x0) +x00=x+ (x0+x00)(associativite); il existe un ve cteurnul 0Etel que8x2E,x+0E=x; p ourtout x2Eil existe un vecteur oppose(-x)2Etel quex+ (-x) =0E; |82R,8x;x02E,(x+x0) =x+x0; |8;2R,8x2E,()x=(x); |8x2E,1x=x.

Denition 7

( dependancel ineaire).Soit une famille denvecteursx1;x2;:::xn2E.

Considerons l'equation

1x1++nxn=0:(2.7)

ou1:::;n2Rsont les inconnues. S'il existe une solution non-triviale de cette equation, c.-a.-d. tels que lesine sont pas tous nuls, alors les vecteursx1;x2;:::xnsont dits lineairement dependants et la famille de vecteurs appelee famille liee. Dans le cas contraire (c.-a.-d. si la seule solution est1==n=0) ces vecteurs sont dits lineairement dependants, et la famille de vecteurs appelee famille libre. En eet, si la famille est liee il existe au moins un entier16k6ntel quek6=0tout en satisfaisant la relation (2.7). On peut alors exprimer le vecteurxken termes des autres vecteurs : x k= -1 k1x1++k-1xk-1+k+1xk+1++nxn:(2.8)

Denition 8

( sous-espaceenge ndre).Considerons une famille de vecteursx1;x2;:::xn2 E, lineairement independants ou non. L'ensemble des combinaisons lineaires de ces vecteurs,quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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