[PDF] Analyse vectorielle et intégrales multiples

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Analyse vectorielle et integrales multiples

Frederic Le Roux et Frederic Paugam

Module 2M256

Annee universitaire 2015-2016

Table des matieres

I Motivations

3

I.1 Quantites physiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.2 Lois de la physique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.3 Utilisation des lois

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.4 Invariance par rapport a l'observateur

. . . . . . . . . . . . . . 4

I.5 Formule fondamentale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.6 Nouveaux operateurs et nouvelles integrales

. . . . . . . . . . . 4

II Fonctions d'une variable

6

II.1 Fonctions et graphes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.2 Limites, continuite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.3 Calcul dierentiel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (a) Derivee, DL a l'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (b) Dierentielles de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 (c) Dierentielle et derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 (d) Interpretation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.4 Primitives, integrales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 (a) Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 (b) Integrale et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 (c) Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 (d) Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 (e) Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 (f) Aire sous un graphe et aires dans le plan . . . . . . . . . . 15 (g) Bonus : integrale et probabilites . . . . . . . . . . . . . . . 15

II.5 Courbes parametrees

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 (a) Denition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 (b) Vecteur vitesse et droite tangente . . . . . . . . . . . . . . 17 (c) Longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (d) Exemple d'etude complete d'une courbe parametree . . . . 19

III Fonctions de plusieurs variables

21
1 III.1 Fonctions et graphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III.2 Limites, continuite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III.3 Derivees partielles, dierentielle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (a) Derivees partielles d'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (b) Developpement limite a l'ordre 1, retour des dierentielles de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (c) Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (d) Dierentielle et plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (e) Dierentielle d'un changement de variables . . . . . . . . . 26

III.4 Allure des lignes de niveau

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.5 Surfaces parametrees

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III.6 Theoreme des fonctions implicites

. . . . . . . . . . . . . . . . . 28

IV Integrales multiples

32

IV.1 Denition, proprietes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV.2 Integrale et mesures

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 IV.3 Premiere methode de calcul : theoreme de Fubini . . . . . . . . 34 IV.4 Deuxieme methode de calcul : changement de variables . . . . . 36 (a) Aire d'un parallelogramme et determinant . . . . . . . . . 36 (b) Aire de l'image d'un carre elementaire par un changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (c) Changement de variable en dimension 2 . . . . . . . . . . 37 (d) Changement de variable en dimension 3 . . . . . . . . . . 38

V Champs de vecteurs et formes dierentielles

40

V.1 Calcul vectoriel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

V.2 Champ de vecteurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 V.3 Motivations pour passer aux formes dierentielles . . . . . . . . 43 V.4 Formes dierentielles et champs de vecteurs : generalites . . . . 43

V.5 Formes dierentielles en dimension 1, 2 et 3

. . . . . . . . . . . 49 V.6 Operateurs dierentiels et dierentielle exterieure . . . . . . . . 50

V.7 Integration des formes dierentielles

. . . . . . . . . . . . . . . 54

V.8 Travail et

ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

VI Formule de Stokes et applications

60

VI.1 Formule de Stokes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

VI.2 Applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (a) Aire d'un domaine dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . 61 (b) Volume d'un domaine dans l'espace . . . . . . . . . . . . . 61 (c) Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 (d) Formule de Stokes-Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 (e) Formule de Stokes-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . 62 2

I Motivations

Nous commencons ce polycopie en motivant l'introduction des nouvelles no- tions mathematiques qui seront presentees en expliquant le r^ole fondamental qu'elles vont jouer dans la modelisation de situations physiques.

I.1 Quantites physiques

Les quantites physiques peuvent ^etre decrites par des fonctions a une ou plu- sieurs variables a valeurs reelles mais aussi vectorielles. Exemple 1.On donne maintenant quelques exemples de quantites physiques, illustrees par des dessins. 1. Une chute vertic alelibr eest d ecritep arla fonction h(t)decrivant la hauteur en fonction du temps. 2.

L apr essiondans un tuyau d'air (

ute) est d ecritep arla fonction p(x) donnant la pression en fonction de la positionxdans le tube. 3. L atemp erature ala surfac edu glob eest d ecritep arune fonction T(;) donnant la temperature en fonction de la position determinee par la longi- tudeet la lattitude. 4. L echamp de gr avitecr eep arla terr eet le soleil sur un objet Mpeut ^etre decrit par un champ de force !F=mSolr

2Sol!u+mTerrer

2Terre!v ;

ou !uest le vecteur unitaire partant deMvers le soleil,!vest le vecteur unitaire partant deMvers la terre,mdesigne la masse etrla distance entre l'objet et l'astre. 5.

L avitesse d'un

uide se d eplacantdans l'esp aceest d ecritep arun champ de vecteur!V(x;y;z).

I.2 Lois de la physique

Depuis Newton (la pomme et la gravite), de nombreuses equations decrivant les lois de la physique (gravite, mecanique des uides, electromagnetisme) sont decrites par des equations dierentielles, dont l'objet est de predire le comporte- ment a long terme d'un objet a partir de son comportement innitesimal (a tres court terme). Un exemple important de ces loi est donne par !F=m!a ou !Fest la force et!al'acceleration, qui est la derivee seconde de la position par rapport au temps : !a=@2M@t 2: Comme les quantites physiques font souvent intervenir des fonctions a valeurs vectorielles, il est necessaire de disposer d'un calcul dierentiel adapte aussi bien aux quantites scalaires (fonctions a valeurs reelles) que vectorielles (fonctions a valeurs vectorielles). 3

I.3 Utilisation des lois

Pour utiliser les lois decrite par des equations dierentielles, on a besoin de les resoudre. Il nous faut donc disposer d'un calcul d'integrales fonctionnant aussi bien pour les quantites scalaires que vectorielles. Remarquons aussi l'analogie entre dierents types de quantites physiques : l'aire, la masse, le ux, la force de pression et la probabilite d'occurence d'un evenement se calculent tous par des integrales.

I.4 Invariance par rapport a l'observateur

Depuis Einstein, et tout au long du siecle dernier, un r^ole tres important a ete joue dans la formulation et la decouverte des lois de la physique par le principe \relativiste" suivant : \Les lois de la physique ne doivent pas dependre de l'observateur". Une autre maniere de formuler ce principe est de dire que \les lois de la physique doivent ^etre formulees d'un point de vue qui est invariant par les symetries du systeme considere". En mecanique Newtonienne (par exemple la description du mouvement des astres du systeme solaire), la symetrie qui intervient est la symetrie lineaire donnee par les rotations de l'espace (transformations lineaires respectant les longueurs). En mecanique de la relativite retreinte (petites echelles, par exemple, pour les particules), la symetrie est un analogue des rotations qui prend en compte la coordonnee temps : les transformations de Lorentz. En mecanique de la relativite generale (tres grandes echelles, par exemple, l'univers), la symetrie est donnee par les transformations arbitraires lisses (inni- ment derivables) des parametres (coordonnees de l'espace temps). Pour formuler les lois de la physique d'un point de vue ne dependant pas du choix de l'observateur (ou du repere), on a donc besoin d'un calcul dierentiel et integral invariant par changement de coordonnees arbitraires. C'est le langage des formes dierentielles.

I.5 Formule fondamentale

Le lien entre le calcul dierentiel et integral est donne par la formule de Stokes Z D d!=Z @D Cette formule est une generalisation de la formule fondamentale du calcul dierentiel et integral Z [a;b]df:=Z b a f0(x)dx=f(b)f(a) =:Z fb+;agf:

I.6 Nouveaux operateurs et nouvelles integrales

Les liens entre champs de vecteurs et formes dierentielles vont permettre d'introduire des operateurs induits par l'operateur de dierentiation des formes d: 4

1.f7!!grad(f) mesure la variation de la fonctionfdans l'espace. Par

exemple, siVest le potentiel electrique,!E=!grad(V) est le champ electrique.

2.!V7!div(!V) est une fonction qui mesure le deplacement (creation ou anni-

hilation) d'un uide dont le champ des vitesses est le champ de vecteur!V (par exemple, dans une beignoire, si on ouvre le siphon, l'eau est absorvee et la divergence de la vitesse du uide en ce point est non triviale). 3. !V7!!rot(!V) est le champ qui decrit la rotation d'un uide. Par exemple, si on prend un rond de fumee, on obtient un champ circulaire, centre de l'axe de rotation de la fumee. L'integration des formes dierentielles va aussi permettre d'introduire de nou- velles integrales associees aux champs de vecteurs : le travail d'un champ de vec- teurs!Vle long d'une courbeC, donne par l'integrale curviligne de la 1-forme associee a!V, et le ux d'un champ de vecteurs!Va travers une surfaceS, donne par l'integrale de la 2-forme associee a!V. 5

II Fonctions d'une variable

(2-3 seances)

II.1 Fonctions et graphes

Denition.Une fonction (partiellement denie)fentre deux ensemblesXetY est la donnee d'un sous-ensemblesDfX(ensemble de denition) et pour chaque x2Df, d'un unique element deY, notef(x). Une fonction dont le domaine de denitionDfestXtout entier est appelee une application. De maniere equivalente, une fonction entre deux ensemblesXetYest la donnee d'un sous-ensemble fXY(son graphe) dont la projection f!X est injective. L'image de cette projection est appelee son domaine de denition et noteeDf. Concretement, une fonction est souvent donnee par une formule, qui n'a un sens que si son argument est dans le domaine de denition. Par exemple, la fonc- tionx7!1=xest une fonction (partiellement denie) deRdansRdont le domaine de denition estR. La fonction logarithme ln est une fonction deRdansRdont le domaine de denition estR+. Quand on fait de l'analyse, il peut ^etre utile de s'autoriser a varier le domaine de denition. Par exemple, la fonctionx7!pxest une fonction denie surR+, mais sa deriveex7!12 px n'est denie que surR+.

II.2 Limites, continuite

Nous allons maintenant nous restreindre aux fonctions d'une variable reelle. Denition.Une fonctionf:]a;b[!Radmet une limite en un pointx02]a;b[ si il existe un nombre reel`, qu'on notera aussilimx!x0f(x), veriant que, pour tout >0, il existe >0tel quejxx0j< impliquejf(x)`j . L'expression ci-dessus signie en francais que pour quef(x) soit proche de` apres, il sut quexsoit proche dex0apres. Par exemple, la limite en 0 de la fonction id :x7!xest 0, mais la fonction x7!1=xn'a pas de limite en 0. Proposition 1.Sifetgsont deux fonctions et si leurs limites existent enx0, on a

1.limx!x0(f+g)(x) = limx!x0f(x) + limx!x0g(x).

2.limx!x0(f:g)(x) = limx!x0f(x):limx!x0g(x).

3.

Si limx!x0g(x)6= 0, on a

lim x!x0(f=g)(x) = limx!x0f(x)=limx!x0g(x): Denition.Une fonctionf:]a;b[!Rest dite continue enx02]a;b[si sa limite enx0existe et si limx!x0f(x) =f(x0): 6 D'un point de vue geometrique, une fonctionf(qui est, rappelons-le, donnee par un graphe f]a;b[R) n'est pas continue enx0si, moralement, son graphe ne peut ^etre trace sans lever le crayon. Par exemple, la fonction qui vaut1 pour x <0 et 1 pourx0 n'est pas continue. Proposition 2.Les sommes, produits et quotients de denominateur ne s'annulant pas de fonctions continues sont continus. Exemple 2.1.L afonction c onstantex7!c(pourcxe) est continue. 2. L afonction x7!axest une fonction lineaire (pouraxe) denie et conti- nue surR. 3. L esfonctions p olynomiales(sommes et pr oduitsarbitr airesdes deux exemples precedents) x7!P(x) =nX i=0a ixi sont continues surR. 4. L esfr actionsr ationnellesF=P=Q(avecPetQdes polyn^omes) sont continues en dehors des points ou elles ont des p^oles (points ouQs'annule). 5. Plus g eneralement,les fonctions analytiques (lo calementsommes de s eries) comme x7!ex:=X n0x nn! ou les fonctions trigonometriques x7!sin(x) :=X n0(1)nx2n+1(2n+ 1)!etx7!cos(x) :=X n0(1)nx2nn! (ces formules sont obtenues en appliquant la relationeix= cos(x)+isin(x)) sont continues. 6. Plus g eneralement,les quotients de fonctions analytiques, c ommetan(x), sont continues sur leur domaine de denition (en dehors des points ou le denominateur s'annule).

II.3 Calcul dierentiel

(a) Derivee, DL a l'ordre 1 On considere une fonctionfdenie au moins sur un intervalle ]a;b[. Soitxun nombre dans ]a;b[. Denition.On dit quefest derivable enxs'il existe un nombre, notef0(x), tel qu'on puisse ecrire f(x+h) =f(x) +f0(x)h+o(h) ouo(h)est une quantite negligeable devanth, ce qui signie qu'il existe une fonc- tion(h)tendant vers0quandhtend vers0telle queo(h) =h(h). 7 Cette ecriture est alors appelee DL a l'ordre 1. Elle n'est utile que lorsqueh tend vers 0 (\inniment petit" ou \quantite evanescente"). Une maniere equivalente de denir la derivee est la suivante. Denition.Une fonctionf:]a;b[!Rest dite derivable enx02]a;b[si la limite de l'expression f(x0+h)f(x0)h existe quandhtend vers0. Cette limite est notee f

0(x0)et appelee la derivee defenx0.

Proposition 3.Les derivees d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une composition sont donnees par les formules :

1.(f+g)0(x0) =f0(x0) +g0(x0),

2.(f)0(x0) =f0(x0)pour2R,

3.(fg)0(x0) =f0(x0)g(x0) +f(x0)g0(x0),

4. fg

0(x0) =f0(x0)g(x0)f(x0)g0(x0)g(x0)2sig(x0)6= 0,

5.(fg)0(x0) =f0(g(x0))g0(x0).

Demonstration.Le resultat a propos de la somme et de la multiplication par un scalaire decoule de la denition de la derivee. On a les egalites lim h!0(fg)(x0+h)(fg)(x0)h = limh!0f(x0+h)g(x0+h)f(x0)g(x0)h = lim = lim h!0f(x0+h)f(x0)h g(x0+h) + limh!0g(x0+h)g(x0)h f(x0) = lim h!0f(x0+h)f(x0)h limh!0g(x0+h) + limh!0g(x0+h)g(x0)h f(x0) =f0(x0)g(x0) +f(x0)g0(x0): La demonstration pour le quotient est donnee par une manipulation similaire. Donnons la demonstration pour la composee de deux fonctions. Posonsk(h) = g(x0+h)g(x0). On a limh!0k(h) = 0. On a les egalites lim h!0(fg)(x0+h)(fg)(x0)h = limh!0f(g(x0+h))f(g(x0))h = lim h!0f(g(x0)+k)f(g(x0))h = lim h!0f(g(x0)+k)f(g(x0))k kh = lim k!0f(g(x0)+k)f(g(x0))k limh!0k(h)h =f0(g(x0))g0(x0):Exemple 3.1.On a (sinx)0= cosx,(cosx)0=sinx,(tanx)0= 1 + tan

2x=1cos

2x,(xn)0=nxn1,(lnx)0= 1=x.

2.

On a (ex)0=ex. Six:=elnxpourx >0, on a(x)0=x1.

On peut denir la derivee seconde d'une fonctionfenx0, noteef00(x0) comme la derivee de la derivee. On fait de m^eme pour les derivees d'ordre superieures. Exemple 4.Les fonctions de l'exemple2 sont toutes inniment c ontinuement derivables (derivables a tout les ordres; on dit aussi lisses) sur leur domaine de denition. 8 (b) Dierentielles de Leibniz DenitionNotonsdxa la place deh(ce qui nous rappelle qu'on y pense comme un \petit accroissement dex"). L'egalite devient f(x+dx) =f(x) +f0(x)dx+ On noteradf=f0(x)dx. Ceci denitdfcomme une fonction des deux variables xetdx, qui est lineaire endx, et qu'on appelledierentielle def. Mais surtout, c'est une notation tres pratique pour les calculs.

Regles de calcul sur les dierentielles

1. (d ierentielleet d erivee)df=f0(x)dx(en particulier,d(1) = 0), 2. (som me)d(f+g) =df+dg, 3. (pr oduitpar un scalaire) d(f) =df, 4. (pr oduit)d(fg) =fdg+gdf, 5. (p rincipede sub stitutionou comp osition): dans l' egalitedf=f0(x)dx, on peut re-interpreterxcomme une fonction. Exemple 5.d(x2) =xdx+xdx= 2xdx(regle 3). On obtient de la m^eme facon l'egalite d(xn) =nxn1; et donc les dierentielles de tous les polynomes.

1Exercice 1.|(a faire en cours) Calculer de m^emedx3en utilisant uniquement la regle 3.Exemple 6.On peut trouver la dierentielle de la fonction1=uen derivant la

relation1=uu= 1et en utilisant la formule pour la dierentielle d'un produit : on a

0 =d(1) =d(1=uu) =d(1=u)u+ 1=udu

donc d(1=u) =1=u2du=u0(x)u

2(x)dx:

Exemple 7.Calculons la dierentielle deu=ven derivant la relationu= (u=v):v.

On obtient

du=d((u=v):v) =vd(u=v) + (u=v)dv ce qui implique vd(u=v) =du(u=v)dv soit d(u=v) =vduudvv

2=u0(x)v(x)u(x)v0(x)v

2dx:1. Remarquer que la dierentielle de la fonctionxestdx(heureux pour la coherence de la

notation). 9 Exemple 8.En utilisant la denition de l'exponentielleex:=P n0xnn!en termes de serie (on admet que la derivation commute aux series normalement conver- gentes), et la relationd(xn) =nxn1dx, on obtient d(ex) =X n0d(xn)n!=X n0nx n1dxn!=X n1x n1dx(n1)!=ex:

On retrouve aussi ainsi les derivees des fonctionssin(x)etcos(x).Exercice 2.|(a faire en cours) Calculer de m^eme la derivee deeuouuest une fonction dex.Exemple 9.Le logarithmeln(x)est deni comme une fonction inverse a l'expo-

nentielle. On a doncx=eusi et seulement siln(x) =upour toutx2R+. En dierentiant cette relation, on obtientdx=d(eu) =euduce qui implique d(ln(x)) =du=dxequotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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