Cours-Optimisation.pdf
Cours d'Optimisation Dans ce cours on supposera que le coût dépend ... méthode consiste `a établir un développement limité de J sous la forme suivante ...
Résumé du cours doptimisation.
13 sept. 2005 Résumé du cours d'optimisation. ... 5 Méthodes pour les problèmes avec contraintes. 27. 5.1 Méthode de gradient projeté à pas variable .
COURS OPTIMISATION Cours à lISFA en M1SAF Ionel Sorin
COURS OPTIMISATION. Cours à l'ISFA en M1SAF 3.2.1 Méthodes de gradient à pas optimal . ... 4.2 Optimisation sous contraintes d'inégalités .
Cours doptimisation ENSAI Rennes
11 déc. 2019 8 Optimisation avec contraintes mixtes d'égalité et d'inégalité 48 ... 9.2.2 Méthode de gradient `a pas variable . . . . . . . . . . . 53.
Résumé dOptimisation
5.1.2 Méthode de la plus profonde descente (méthode du gradient) . . . . . . . . . . 17 Ceci un résumé des principaux résultats du cours d'optimisation.
Cours dOptimisation numérique
4.1.3 Conditionnement pour la méthode de gradient `a pas optimal . de G. Carlier (optimisation) : https://www.ceremade.dauphine.fr/?carlier/progdyn.pdf.
Optimisation mathématique avec applications en imagerie
12 mai 2020 7.5.4 Perturbation des conditions d'optimalité III : méthodes ... J'ai utilisé des versions antérieures de ces notes dans les cours de ...
Chapitre 3 Méthode du simplexe
Afin de ne pas nuire à la lisibilité du texte nous avons convenu de ne pas changer de notation pour la matrice A et des vecteurs b et c en cours d'itération du
Modèles et méthodes doptimisation I
UCLouvain - cours-2021-linma1702 - page 1/3 Optimisation non-linéaire : conditions d'optimalité convexité
Techniques doptimisation
La méthode d'extrapolation de Richardson appliquée aux fonctions A(h) et B(h) Le facteur d'échelle dépend du point x ? à adapter au cours des itérations.
[PDF] Cours-Optimisationpdf
L'optimisation consiste en la recherche du minimum (ou du maximum) d'une cer- taine quantité appelée coût ou objectif Dans ce cours on supposera que le
[PDF] Techniques doptimisation
Méthodes à base de gradient ? Méthodes sans dérivées • Déterminisme : Les données du problème sont parfaitement connues ? Optimisation stochastique
[PDF] COURS OPTIMISATION Cours à lISFA en M1SAF Ionel Sorin
COURS OPTIMISATION Cours à l'ISFA en M1SAF Ionel Sorin CIUPERCA 1 3 2 1 Méthodes de gradient à pas optimal Voir cours en amphi
[PDF] Manuel de Cours Optimisation - univ-ustodz
Ce manuscrit traite les notions de base de l'optimisation et s'adresse essen- tiellement au étudiants de Master 1 spécialité Automatique et Informatique
[PDF] Résumé du cours doptimisation
13 sept 2005 · Résumé du cours d'optimisation 4 3 1 Méthode à pas variable Dans les problèmes d'optimisation les ensembles de contraintes sont
[PDF] Cours doptimisation ENSAI Rennes
11 déc 2019 · 8 Optimisation avec contraintes mixtes d'égalité et d'inégalité 48 9 2 1 Méthode de gradient `a pas fixe 53
[PDF] Cours Optimisationpdf
Les méthodes de résolution sont la méthode du simplexe méthode duale du simplexe méthodes des potentiels méthode lexicographique et des méthodes récentes
[PDF] optimisationpdf
Plan du cours • Introduction • Analyse de la fonction objectif • Conditions d'optimalité sans contrainte • Résolution d'équations • Optimisation sans
[PDF] Cours doptimisation
Nous avons vu dans le chapitre 4 2 la méthode de substitution permettant d'optimiser une fonction de deux variables f(x y) sous une contrainte du type : y = g(
[PDF] Introduction `a loptimisation
Chapitre 2 Méthodes de résolution des probl`emes d'optimisation non linéaire sans contrainte 2 1 Quelques définitions 2 1 1 Définitions
Quelles sont les méthodes d'optimisation ?
Le principe d'optimisation est l'application du principe ALARA, énoncé par la CIPR 60 en 1990 : « maintenir le niveau des expositions individuelles et le nombre de personnes exposées aussi bas qu'il est raisonnablement possible compte tenu des considérations économiques et sociales ».Quel est le principe de l'optimisation ?
La fonction à optimiser s'écrit sous la forme z=ax+by+c, z = a x + b y + c , où x et y sont les variables et où z représente la quantité qu'on cherche à maximiser ou à minimiser.Comment calculer l'optimisation ?
Produit une liste contenant la valeur minimale de la fonction, le point minimum, le gradient au point minimum ainsi qu'une évaluation de la qualité de l'itération (de 1 à 5). Produit aussi sur demande la matrice hessienne au point minimum: hessian = T. ?l(?, ?) #on change le signe pour minimiser
![[PDF] Résumé du cours doptimisation [PDF] Résumé du cours doptimisation](https://pdfprof.com/Listes/17/48727-17optim.pdf.pdf.jpg)
Résuméducoursd'optimisation.
L.HALPERN
13septembre2005
2Tabledesmatières
IRésultatsthéoriques5
1Résultatsd'existence7
2Caractérisationdesextrema11
3Lagrangienetpointselle15
IIAlgorithmes19
3 4Premièrepartie
Résultatsthéoriques
5 6Chapitre1
Résultatsd'existence
Sommaire
UdeudansKtelque
8v2U;J(u)J(v)(1.1)
(u2K;J(u)=infv2KJ(v)(1.2)
problèmesdeminimisation.1.1ThéorèmedeWeierstrass
sation(1.2)admetunesolution. 71.2Casconvexe
Onrappellequ'unepartieKdeVestconvexesi
8(x;y)2K;82[0;1];x+(1)y2K(1.3)
-convexesi -strictementconvexesi -convexesi8(x;y)2K;82[0;1];J(x+(1)y)6J(x)+(1)J(y)
2(1)jjxyjj2:(1.6)
malesestconvexe. unesolution. plustoutesuiteminimisanteconvergeversu.1.3Rappelsdecalculdifférentiel
1.3.1Dérivéespremières
dansV0telleque, l deVnotérJ(u)telquepourtoutvdansVonait J0(u)v=(rJ(u);v)
8Exemplesdebase
(c;v),rJ(u)=c.3.SiV=Rn,J0(u)=(@J
@x1(u);;@J@xn(u))etJ0(u):v=Pn i=1@J @xi(u)vi.1.3.2Dérivéessecondes
Exemplesdebase
1.J(u)=(c;u),J"(u)=0.
2a(v;w).SiV=Rn,J(u)=1
pourtoutu. @xi@xj(u).1.3.3FormulesdeTaylor
]u;v[,ilexiste2]0;1[telqueJ(v)=J(u)+J0(u+(vu))(vu)
sur]u;v[,ilexiste2]0;1[telqueJ(v)=J(u)+J0(u)(vu)+1
2J00(u+(vu))(vu)(vu)
différentiabledansunvoisinagedeu,J(v)=J(u)+J0(u)(vu)+(vu)kvuk;lim!0(vu)=0
desconditionssuivantesestvérifiée:8u;v2V;J(v)>J(u)+J0(u)(vu)(1.8)
8u;v2V;(J0(v)J0(u))(vu)>0(1.9)
8u;w2V;J00(u)w:w>0(1.10)
9Pourunefonction-convexe,ona:
1.SiJestdifférentiable,
8u;v2V;J(v)>J(u)+J0(u)(vu)+
2kvuk2;(1.11)
2.SiJestdifférentiable,
8u;v2V;(J0(v)J0(u))(vu)>kvuk2;(1.12)
3.SiJestdeuxfoisdifférentiable,
8u;w2V;J00(u)w:w>kwk2:(1.13)
8u2V;2a(w;w)>kwk2
Sil'onestdansRn,avecJ(u)=1
2(Au;u),cecirevientà
8u2V;(Aw;w)>kwk2
(Aw;w)=nX i=1d i((Pw)i)2>(min1indi)nX i=1((Pw)i)2 (Aw;w)>(min1indi)kPwk2=(min1indi)kwk2 min1indi-convexe.
10Chapitre2
Caractérisationdesextrema
Sommaire
2.1Equationd'Euler,casgénéral
1.SiJestdifférentiable,J0(u)=0,
VtelqueJ0(u)=0.
deutel que8v28w2V;J00(u)w:w>kwk2;
alorsuestminimumlocalstrictpourJ.2.2Inéquationd'Euler,casconvexe
u2K8v2K;J0(u):(vu)>0:(2.1)
optimale. 11 pointdeK,notéPKwtelque (PKw2K; kwPKwk=infv2Kkwvk(2.2)Ilestcaractérisépar
8v2K;(PKww;vPKw)>0(2.3)
Lescasparticulierssonttrèsimportants.
1.K=VOnale
seulementsiJ0(u)=0. caractériséeparJ0(u)=0. alors (2:1),( u2K8w2K;J0(u):w=0(2.4)
(2:1),8 :u2K91;::;m;rJ(u)+mX
i=1 iai=0(2.5)V;Fi(w)=0g,et(2.5)seréécrit
(2:1),8 :u2K91;::;m;rJ(u)+mX
i=1 iF0i=0:(2.6) Alors (2:1),8 :u2K J0(u):(u0u)=0
8w2K0;J0(u):w>0:(2.7)
M ?=fc2V;8v2M;(c;v)>0g(2.8)Théorème2.5(LemmedeFarkas).
c=mX i=1 iai. 12 estdansK?0,etdonc(??)seréécrit (2:1),8 :u2K J0(u):(u0u)=0
9(1;;m)>0;rJ(u)+Pm
i=1iai=0(2.9)0;16i6mg,et(2.9)s'écrit
(2:1),8 :u2K J0(u):(u0u)=0
9(1;;m)>0;rJ(u)+Pm
i=1iF0i=0(2.10) lecasgénéral.K(v)=f0g[fw2V;
kv jjvkvjj=wjjwjjg(2.11)K(u)?.
2.3.1contrainteségalités
K=fv2V;F(v)=0g(2.12)
K(u)=fw2V;F0i(u):w=0;1img(2.13)
que J0(u)+mX
i=1p iF0i(u)=0:(2.14) 13L(v;q)J(v)+mX
i=1q iFi(v);(2.15) alors L 0 v(v;q)@L @v(v;q)=J0(v)+mX i=1q iF0i(v) L 0 q(v;q)@L @q(v;q)=F(v)(2.16) et u2K,8q2Rm;L0 v(u;q)=0 uminimumlocal,9p2Rm;L0 q(u;p)=0(2.17)2.3.2contraintesinégalités
K=fv2V;F(v)0g(2.18)
K(u)=fw2V;8i2I(u);F0i(u):w0g(2.20)
LelemmedeFarkaspermetalorsd'établirle
mréelsp1;::;pm>0telsque J0(u)+mX
i=1p iF0i(u)=0 m X i=1p iFi(u)=0(2.21) +,etl'onpeutécrire u2Ksolutionoptimale)9p2Rm L 0 v(u;p)=L0 q(u;p):p=0:(2.22) 14Chapitre3
Lagrangienetpointselle
Sommaire
3.1Pointselle
(u2K;J(u)=infv2KJ(v)(3.1)
K=fv;F(v)0g;L:KRm
+!RK=fv;F(v)=0g;L:KRm!R(3.2)
oùF:V!Rm,etL(v;q)=J(v)+(F(v);q)(3.3)
(.,.)désigneleproduitscalairedansRm.Lemme3.1.
sup q2Pinfv2UL(v;q)infv2Usup q2PL(v;q)(3.4) sup q2PL(u;q)=L(u;p)=infv2UL(v;p)(3.5) 15 sup q2Pinfv2UL(v;q)=L(u;p)=infv2Usup q2PL(v;q)(3.6) partKetJparK=fv2U;sup
q2PL(v;q)<+1g; etpourvdansK,J(v)=sup
q2PL(v;q):Leproblèmeprimalassociés'écrit:
(P)Trouveru2KtelqueJ(u)=infv2KJ(v) (P)Trouverp2KtelqueG(p)=sup q2KG(q) solutionde(P),etJ(u)=G(p).3.2ThéoriedeKuhnetTucker
K=fv2V;F(v)0g(3.7)
convexeetondéfinitlelagrangiensurVRm +parL(v;q)=J(v)+(F(v);q)(3.8)
Remarque3.1.
affines,ellesignifiequeK6=;. 16 définition2.2duchapitre2. ilexistepdansRm +telque(u;p)soitpointselledulagrangien.3.2,onaleschémasuivant:
usolutionoptimalede(1.2)(Th2.8)=)9p2Rm +8 :J0(u)+mX
i=1p iF0i(u)=0 m X i=1p iFi(u)=0K=fv;Fi(v)0;1img:
+telque 8 :J0(u)+mX
i=1p iF0i(u)=0 m X i=1p iFi(u)=0(3.10)Depluspestsolutionduproblèmedual(P).
17 18Deuxièmepartie
Algorithmes
19 20Chapitre4
Méthodesdedescente.Problèmessans
contraintes4.1Principe
n'estpasforcémentunique)telque8y2V;J(x)6J(y)(4.1)
x k+1=xkkdk(4.2) d4.2Méthodederelaxation
211.xk;1estdéfinipar
J(xk;1)=inf2RJ(xke1)
ouencore x k;1=(xk 11;xk2;::;xk
n)Onnotexk+11=xk
112.àl'étapeiona
x k;i=(xk+11;::;xk+1i;xk i;::;xk n) x k;i+1estmaintenantdéfiniparJ(xk;i+1)=infJ(xk;iei+1)
3.xk+1=xk;n
convergeversla solutionoptimale.2(Av;v)(b;v),onretrouve
4.3Méthodedugradient
Icionchoisitàchaqueétapedk=rJ(xk).
4.3.1Méthodeàpasvariable
solution optimalepour0J(xkkrJ(xk))=inf2RJ(xkrJ(xk))(4.3)
la solutionoptimale. rJ(xk):rJ(xk+1)=0: 22IcilafonctionnelleJestquadratiquesurRn:
J(v)=1
2(Av;v)(b;v)
4.4.1Méthodeàpasoptimal
k=(rk;dk) (Adk;dk)(4.4) etl'ona(rk+1;dk)=0.NotonsE(v)=1
2(A(vu);vu),onaalors
E(xk+1)=(1
k)E(xk)(4.5) avec k=12(rk;dk)2(Adk;dk)(A1rk;rk):(4.6)
Puisquelaquantité
kestparconstructiontelleque0 k1,onal'estimationsuivante: siladirectiondedescenteesttelleque rk jjrkjj;dkjjdkjj2>>0(4.7)
alors k>E(xk+1)(1
)E(xk)(4.8)écrire
E(xk)K(A)1
K(A)+1
2kE(x0)(4.9)
lente. 234.4.2Méthodedegradientàpasconstant
jjxkxjj2max1inj1ijkjjx0xjj2(4.10) noùnestlaplusgrande4.5Méthodedugradientconjugué
2(Av;v)
vérifieAx=b.4.5.1Principedelaméthode
lesgradientsprécédents.On note L k=vectfrJ(x0);::;rJ(xk)g(4.11) etondéfinitxk+1par:J(xk+1)=inf2LkJ(xk+)(4.12)
4.5.2Ecriturecommealgorithmededescente
8 :x k+1=xkkdk d k=rJ(xk)+jjrJ(xk)jj2 jjrJ(xk1)jj2dk1 k=jjrJ(xk)jj2 (Adk;dk) (rk+1;dk)=0(4.13) 24Ilsuffitdesedonnerd0=rJ(x0).
Cholewski(N3
4.5.3Analysedeconvergence
Onintroduitl'espacedeKrylov
K k=vectfr0;Ar0;::;Akr0g(4.14) etonaleThéorème4.7
oùlesisontlesvaleurspropresdeA.Corollaire4.1.Onal'estimationd'erreur
E(xk)4p
K(A)1pK(A)+1
2kE(x0)(4.16)
E(xk)K(A)1
K(A)+1
2kE(x0)
2526
Chapitre5
Méthodespourlesproblèmesavec
contraintes (u2K;J(u)=infv2KJ(v)(5.1)
tiablepar(2.1,PartieI): u2K8v2K;J0(u):(vu)>0:(5.2)
u k+1=PK(ukkrk)(5.3) ferméK(PartieI,2.1). so- lutionoptimalepour0K=fv2V;8i;1in;vi>0g;(5.5)
auquelcas (PKw)i=max(wi;0);1in:(5.6)SiKestlepavéQn
i=1[ai;bi],alors (PKw)i=8 :a isiwiai w isiaiwibi b isiwi>bi(5.7)5.2Algorithmed'Uzawa
K=fv;F(v)0g(5.8)
oùF:V!Rm.OnadéfiniunlagrangienL(v;q)=J(v)+(F(v);q);L:KRm
+!R(5.9) etleproblèmedual: K =fq2P;infv2UL(v;q)>1g(5.10) (P)Trouverp2KtelqueG(p)=sup q2KG(q) +(cequiestlecaspourdescontraintesaf- inf v2VL(v;q)=L(uq;q)(5.11)L'algorithmesedécritalorscommesuit:
p k!uk=upk!pk+1=PK(pk+rG(pk))(5.12) +etuk!u, 28quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
[PDF] cours optimisation master
[PDF] exercices corrigés de convexité et optimisation
[PDF] exercices corrigés doptimisation pdf
[PDF] cours doptimisation pour économistes
[PDF] cours optimisation sans contrainte
[PDF] resume cours optique geometrique
[PDF] cours de physique optique cours et exercices corrigés pdf
[PDF] examen corrigé optique ondulatoire
[PDF] résumé cours optique ondulatoire
[PDF] physique optique cours complet
[PDF] controle optique 1ere s
[PDF] orientation scolaire et professionnelle définition
[PDF] oxydoréduction cours bac pro
[PDF] programme daeu b physique