Optimisation mathématique avec applications en imagerie PDF

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13 sept. 2005 Résumé du cours d'optimisation. ... 5 Méthodes pour les problèmes avec contraintes. 27. 5.1 Méthode de gradient projeté à pas variable .

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Plan du cours • Introduction • Analyse de la fonction objectif • Conditions d'optimalité sans contrainte • Résolution d'équations • Optimisation sans

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Nous avons vu dans le chapitre 4 2 la méthode de substitution permettant d'optimiser une fonction de deux variables f(x y) sous une contrainte du type : y = g(

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Chapitre 2 Méthodes de résolution des probl`emes d'optimisation non linéaire sans contrainte 2 1 Quelques définitions 2 1 1 Définitions

Quelles sont les méthodes d'optimisation ?
Le principe d'optimisation est l'application du principe ALARA, énoncé par la CIPR 60 en 1990 : « maintenir le niveau des expositions individuelles et le nombre de personnes exposées aussi bas qu'il est raisonnablement possible compte tenu des considérations économiques et sociales ».
Quel est le principe de l'optimisation ?
La fonction à optimiser s'écrit sous la forme z=ax+by+c, z = a x + b y + c , où x et y sont les variables et où z représente la quantité qu'on cherche à maximiser ou à minimiser.
Comment calculer l'optimisation ?
Produit une liste contenant la valeur minimale de la fonction, le point minimum, le gradient au point minimum ainsi qu'une évaluation de la qualité de l'itération (de 1 à 5). Produit aussi sur demande la matrice hessienne au point minimum: hessian = T. ?l(?, ?) #on change le signe pour minimiser

Université de Sherbrooke

Optimisation mathématique

avec applications en imagerieJean-Pierre Dussault

19 avril 2022

Optimisation mathématique

avec applications en imagerie 1

Jean-Pierre Dussault

19 avril 2022

1.©Jean-Pierre Dussault 2015. Ce manuscrit est mis à disposition selon les termes de la Li-

cence Creative Commons Attribution - Pas d"Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes

Conditions 4.0 International.

2. Professeur titulaire, département d"Informatique, Université de Sherbrooke, Sherbrooke, Ca-

nada J1K 2R1 2

Table des matières

Préfacexiii

Notation1

Introduction 3

I Motivation 5

1 Modélisation 9

1.1 Premier modèle simple

1.1.1 Modéliser avec AMPL

1.1.2 Modélisation dans Julia

1.2 Normes

1.2.1 Différentes normes

1.3 Convexité et différentiabilité

1.3.1 Notions de convexité

1.3.2 Types des modèles

1.3.3 Types de minima

1.4 Distances minimales

1.4.1 Droites

1.4.2 Paraboles

1.4.3 Exercices géométriques

1.5 Sommes de distances minimales

1.5.1 Droite

1.5.2 Parabole

27
i iiTABLE DES MATIÈRES

1.6 Ajustements de modèles aux données

1.7 Problèmes inverses

1.7.1 Problèmes inverses en traitement d"images

1.7.2 Problèmes inverses en contrôle

1.8 Problèmes issus de la physique

1.9 Tous les exercices du chapitres

43
II Optimisation différentiable sans contrainte 47

2 Préliminaires 51

2.1 Optimisation

2.2 Types d"optima

2.2.1 Optima locaux et globaux

2.2.2 Optima stricts

2.2.3 Optima isolés

2.2.4 Remarques

2.3 Conditions d"optimalité

2.3.1 Conditions pour un point stationnaire

2.3.2 Conditions pour un optimum

2.4 Algorithmes de descente

2.4.1 Réduction d"intervalle avecf1.. . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4.2 Réduction d"intervalles sans utiliser la dérivée

2.5 Algorithmes d"approximation polynomiale

2.5.1 Approximation quadratique de la fonctionf.. . . . . . . . . . . 71

2.5.2 Approximation linéaire de la fonctionf1.. . . . . . . . . . . . . 72

2.5.3 Approximation cubique de la fonctionf.. . . . . . . . . . . . . 75

*2.5.4 Utilisation de l"approximation cubique def.. . . . . . . . . . . 76

2.6 Analyse asymptotique

2.6.1 Notation "grand O" et "petit o"

2.6.2 Vitesse de convergence d"algorithmes itératifs

2.7 Convergence locale quadratique de l"itération de Newton

2.7.1 Analyse de l"itération de Newton

2.7.2 Preuve concise de la convergence quadratique

2.7.3 Preuve détaillée de la convergence quadratique

83
*2.8 Analyse des approximations polynômiales 85

2.8.1 Ordre de convergence de la méthode de la sécante

2.8.2 Ordre de convergence de l"approximation cubique def.. . . . . . 85

2.9 Algorithme combiné

2.9.1 Algorithme de Newton modifié

TABLE DES MATIÈRESiii

2.10 Région de confiance

2.11 Organisation des chapitres

2.12 Tous les exercices du chapitres

3 Optimisation locale de fonctions différentiables sans contrainte 101

3.1 Formulation du problème

102

3.2 Conditions d"optimalité

103

3.2.1 Analyse du problème à une seule variable

1 03

3.2.2 Conditions d"optimalité pour un problème ànvariables. . . . . . . 106

3.3 Déduction d"une classe d"algorithmes itératifs

112

3.3.1 Recherche de points stationnaires

1 13

3.3.2 Conditions pour la convergence

116

3.3.3 Recherche de minima locaux faibles

128

3.4 Itération de Newton modifiée pour l"optimisation

133

3.4.1 Modification de la direction de Newton

133

3.4.2 Analyse du pasθpour la direction de Newton. . . . . . . . . . . 134

3.4.3 Convergence de la méthode de Newton modifiée

135

3.4.4 Convergence de la méthode de Newton - régions de confiance

1 37

3.5 Méthodes quasi-Newton

138

3.5.1 Convergence globale

139

3.5.2 Vitesse de convergence

139

3.6 Fonctions objectif quadratiques

140

3.6.1 Décomposition de Cholesky

1 40

3.6.2 Algorithme du gradient conjugué

142

3.7 Problèmes de moindres carrés

145

3.7.1 Méthodes de descente pour les systèmes d"équations

146

3.7.2 Méthodes spécialisées aux moindres carrés

146

3.8 Mises en oeuvre

147

3.8.1 Mise en oeuvre de la direction de Newton modifiée

147

3.8.2 Mise en oeuvre d"algorithmes de régions de confiance

151

3.8.3 Mise en oeuvre d"un pas admissible

154

3.9 Problèmes de très grande taille

155

3.9.1 Gradient conjugué non-linéaire

155

3.9.2 Newton tronqué

1 58

3.10 Résumé

158

3.11 Extensions et références

159

3.12 Tous les exercices du chapitres

163
ivTABLE DES MATIÈRES III Optimisation différentiable avec contraintes linéaires 179

4 Programmation linéaire 183

4.1 Formulation du problème

184

4.2 Solutions de base réalisables

184

4.3 Modèles pour la compression d"images

188

4.4 Condition d"optimalité

189

4.5 Algorithme du simplexe

190

4.5.1 Exemple simple

192

4.6 Dualité

195

4.7 Algorithme dual du simplexe

198

4.7.1 Exemple simple

200

4.8 Comment obtenir la première solution de base réalisable

201

4.9 Algorithme auto-dual paramétrique

202

4.9.1 Idée générale

202
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Quelles sont les méthodes d'optimisation ?

Quel est le principe de l'optimisation ?

Comment calculer l'optimisation ?

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19 avril 2022

1.©Jean-Pierre Dussault 2015. Ce manuscrit est mis à disposition selon les termes de la Li-

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2. Professeur titulaire, département d"Informatique, Université de Sherbrooke, Sherbrooke, Ca-

Table des matières

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Notation1

Introduction 3

I Motivation 5

1 Modélisation 9

1.1 Premier modèle simple

1.1.1 Modéliser avec AMPL

1.1.2 Modélisation dans Julia

1.2 Normes

1.2.1 Différentes normes

1.3 Convexité et différentiabilité

1.3.1 Notions de convexité

1.3.2 Types des modèles

1.3.3 Types de minima

1.4 Distances minimales

1.4.1 Droites

1.4.2 Paraboles

1.4.3 Exercices géométriques

1.5 Sommes de distances minimales

1.5.1 Droite

1.5.2 Parabole

1.6 Ajustements de modèles aux données

1.7 Problèmes inverses

1.7.1 Problèmes inverses en traitement d"images

1.7.2 Problèmes inverses en contrôle

1.8 Problèmes issus de la physique

1.9 Tous les exercices du chapitres

2 Préliminaires 51

2.1 Optimisation

2.2 Types d"optima

2.2.1 Optima locaux et globaux

2.2.2 Optima stricts

2.2.3 Optima isolés

2.2.4 Remarques

2.3 Conditions d"optimalité

2.3.1 Conditions pour un point stationnaire

2.3.2 Conditions pour un optimum

2.4 Algorithmes de descente

2.4.1 Réduction d"intervalle avecf1.. . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4.2 Réduction d"intervalles sans utiliser la dérivée

2.5 Algorithmes d"approximation polynomiale

2.5.1 Approximation quadratique de la fonctionf.. . . . . . . . . . . 71

2.5.2 Approximation linéaire de la fonctionf1.. . . . . . . . . . . . . 72

2.5.3 Approximation cubique de la fonctionf.. . . . . . . . . . . . . 75

2.6 Analyse asymptotique

2.6.1 Notation "grand O" et "petit o"

2.6.2 Vitesse de convergence d"algorithmes itératifs

2.7 Convergence locale quadratique de l"itération de Newton

2.7.1 Analyse de l"itération de Newton

2.7.2 Preuve concise de la convergence quadratique

2.7.3 Preuve détaillée de la convergence quadratique

2.8.1 Ordre de convergence de la méthode de la sécante

2.8.2 Ordre de convergence de l"approximation cubique def.. . . . . . 85

2.9 Algorithme combiné

2.9.1 Algorithme de Newton modifié

TABLE DES MATIÈRESiii

2.10 Région de confiance

2.11 Organisation des chapitres

2.12 Tous les exercices du chapitres

3 Optimisation locale de fonctions différentiables sans contrainte 101

3.1 Formulation du problème

3.2 Conditions d"optimalité

3.2.1 Analyse du problème à une seule variable

3.2.2 Conditions d"optimalité pour un problème ànvariables. . . . . . . 106

3.3 Déduction d"une classe d"algorithmes itératifs

3.3.1 Recherche de points stationnaires