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?Baccalauréat L spécialité?

L"intégrale de 2000

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bleus

Amérique du Nord juin 2000

.............................3 Antilles-Guyanejuin 2000............................... 5 Asie juin 2000............................................ 8 Centres étrangers juin 2000.............................10 Métropole juin 2000.................................... 13 Polynésie juin 2000..................................... 15 Métropole septembre 2000............................. 17

Baccalauréat L spécialitéA. P. M. E. P.

2 ?Baccalauréat TL Amérique duNord juin 2000?

EXERCICE15 points

Dans tout l"exercice, on donnera les résultats sous forme defractions irréductibles. Un disque compact comprenant 8 morceaux est introduit dans le tiroir CD d"une chaîne hi-fi. La touche RANDOM de la chaîne hi-fi permet d"écouter, lorsqu"on sélectionne cette option, les 8 morceaux du disque compact dans un ordre aléatoire.

1.Combien d"enchaînements distincts la chaîne peut-elle présenter?

2.Quelle est la probabilitép1que la chaîne propose l"enchaînement que vous

souhaitiez entendre?

3.On note A l"évènement : "la chaîne propose le morceau no8 en première po-

sition».

Calculerp(A).

4.On note B l"évènement : " la chaîne propose le morceau no7 en deuxième

position». Les événements A et B sont-ils indépendants?

5.Le disque compact comprend 3 morceaux du groupe Zebra, 4 de Pierjanjak

et 1 du groupe Interphone. On écoute 3 morceaux choisis aléatoirement grâce à la toucheRANDOM de la chaîne hi-fi.

écoutée.

Quelles sont les valeurs prises parX?

b.Montrer quep(X=2)=15 56.
c.Donner la loi de probabilité deX.

EXERCICE25 points

Une balle élastique est lâchée d"une hauteur de 100 centimètres au- dessus du sol. À chaque rebond, la balle remonte aux 9

10de la hauteur atteinte précédemment.

0=100. Pournentier supérieur ou égal à 1, on désigne parhnla hauteur en centi-

mètres atteinte à l"issue dun-ième rebond.

1.Calculerh1,h2.

2.Exprimerhn+1en fonction dehnet en déduire la nature de la suite(hn).

3.En déduire la valeur dehnen fonction den.

4. a.Résoudre dansRl"inéquation 100×0,9x?30.

b.À partir de combien de rebonds la balle demeurera-t-elle à moins de 30 centimètres du sol?

5.La balle rebondit trois fois sur le sol.Calculer la distance parcouruepar la balle depuis le lâcherjusqu"au moment

où elle touche pour la troisième fois le sol.

Baccalauréat TLA. P. M. E. P.

PROBLÈME10 points

PartieA. Étude d"une fonctionauxiliaire

On considère la fonction g définie sur ]0 ;+∞[ par g(x)=x2+lnx.

1. a.Montrer que g est strictement croissante sur ]0 ;+∞[.

b.Calculerg(1).

2. a.Déduire du 1. les résultats suivants :six?1 alorsx2+lnx?1.

si 0PartieB. Étude d"une fonction On considère la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=x+1-lnx x et on appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal?

O,-→ı,-→??

d"unité 2 cm.

1.Étudier les limites defen 0 et en+∞(on rappelle que limx→+∞lnx

x=0).

2.Montrer quef?(x)=x2+lnx-1

x2.

3.En utilisant la partie A,donner le signe def?(x) et dresser le tableau de varia-

tions defsur ]0 ;+∞[.

4. a.Montrer que la droite (Δ) d"équationy=x+1 est asymptote à la courbe

(C) en+∞. b.Étudier la position relative de (C) par rapport à (Δ) et préciser les coor- données de leur point d"intersection I.

5.Déterminer les coordonnées du point J de la courbe (C) où la tangente (T)

est parallèle à la droite (Δ).

6.Tracer (Δ), (T) et (C).

PartieC. Calculd"aire

a.CalculerK?(x). b.En déduire une primitive sur ]0 ;+∞[ de la fonctionhdéfinie parh(x)=1 xlnx.

2.λest un réel strictement supérieur à 1.

a.Calculer, en unités d"aire, puis en cm2, l"aireA(λ) de la partie du plan délimitée par la courbe (C), la droite (Δ), et les droites d"équationsx=1 etx=λ. b.Pour quelle valeur deλl"aireA(λ) est-elle égale à 8 cm2?

Amérique du Nord4juin 2000

?Baccalauréat TL Antilles-Guyanejuin 2000?

EXERCICE15 points

Un gisement de pétrole a produit 200000 barils en 1987. On note Pnla production de pétrole, exprimée en barils, l"année 1987+navecnentier positif.

PartieA

Jusqu"en 1999 inclus, c"est-à-dire pourn?12, la productionPna diminué réguliè- rement de 2000 barils par an.

1.Calculer P1et P2.

2.Calculer Pnen fonction denpournentier compris entre 0 et 12.

3.Quelle est la production de ce gisement en 1999?

PartieB

À partir de l"an 2000 (année 2000 incluse), on prévoit une reprise avec une augmen- tation de la production de 1,5 % par an.

1.Vérifier que la production Q0du gisement en l"an 2000 est égaleà 178640 ba-

rils.

2.Soit Qn, avecnentier positif, la production l"année 2000+n. Le nombre Qn

n"est pas obligatoirement un nombre entier. a.Quelle est la nature de la suite?Qn?? b.Exprimer le terme général Qnen fonction den. c.À partir de quelle année la production annuelle sera-t-ellesupérieure à celle de 1987?

EXERCICE25 points

20 personnes se rendent à une représentation théâtrale :

10 personnes ont payé chacune leur billet 75 francs et sont placées au pou- lailler; 6 ont payé chacune leur billet 150 francs et sont placées au balcon; 4 ont payé chacune leur billet 200 francs et ont un fauteuil d"orchestre.

1.À la sortie ondemande à une personne choisie au hasard le prixde son billet.

Chaque personne a la même probabilité d"être interrogée. Soit X la variable aléatoire associant à chaque personne interrogée le prix de son billet. a.Déterminer la loi de probabilité de X. b.Calculer l"espérance mathématique E(X).

2.Dans cette question on interroge trois personnes choisies au hasard et on

leur demande le prix de leur billet. a.Calculer la probabilité pour qu"elles aient payé la représentation à trois prix différents. b.Calculer la probabilité pour qu"une au moins ait vu le spectacle assise dans un fauteuil d"orchestre.

Baccalauréat TLA. P. M. E. P.

PROBLÈME10 points

Partie1

Soitgla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par : g(x)=x2-8lnx-1. Letableau devariations delafonctionget sareprésentation graphique sont donnés ci-dessous.

1. a.Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions del"équation

g(x)=0. b.Une des solutions est entière. Le vérifier par le calcul. c.Une autre solutionα, est comprise entre 2 et 4. Déterminer à l"aide de la calculatrice un encadrement d"amplitude 10-2 de la solutionα.

2.Déterminer graphiquement selon les valeurs dexle signe deg(x) sur l"inter-

valle ]0 ;+∞[.

Partie2

Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x)=x-5+8lnx x+9x. et (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormal d"unité graphique

1 centimètre.

1. a.Déterminer la limite defen+∞.

b.Déterminer la limite defen 0. c.Démontrerqueladroite(Δ)d"équationy=x-5 estasymptote àlacourbe (C) au voisinage de+∞. (C). Étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (Δ).

2. a.La fonction dérivée defest notéef?. Montrer que, pour toutxde l"inter-

valle ]0 ;+∞[, on a : f ?(x)=g(x) x2. b.Étudier le sens de variation de la fonctionf. c.En utilisant la relationg(α)=0, montrer quef(α)=2α+8

α-5.

En déduire, en utilisant l"encadrement deαde la question 1. 1. c. et cette formule, un encadrement def(α). (Toutes les étapes de calcul doivent être détaillées sur la copie).

3.Représenter graphiquement la courbe (C) et la droite (Δ).

Partie3

1.Déterminer une primitive de la fonctionfsur l"intervalle ]0 ;+∞[.

2.Calculer l"aire en centimètres carrés de la partie du plan limitée par l"axe des

abscisses, la courbe (C) et les droites d"équationsx=1 etx=9. On justifiera le signe def(x) pourxdans l"intervalle [1 ; 9].

Antilles-Guyane6juin 2000

Baccalauréat TLA. P. M. E. P.

246810

-2 -42 4 x0 2+∞ g

Antilles-Guyane7juin 2000

?Baccalauréat TL Asie juin 2000?

EXERCICE15 points

Anastase, jardinier amateur, avait une magnifique pelouse de gazon autour de sa maison. Il habite à la campagne et tous les ans 20 % du gazon estdétruit pendant l"été et remplacé par du chiendent.

Chaque année, à l"automne, il arrache 50 m

2de chiendent et le remplace par du

gazon. Dans tout l"exercice les surfaces seront exprimées en mètres carrés.

1.La surface initiale de la pelouse est exprimée par U0et la surface de gazon

sans chiendent restant au bout denannées est exprimée par Un.

Montrer que pour tout entiernon a Un+1=0,8Un+50.

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L"intégrale de 2000

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Amérique du Nord juin 2000

Baccalauréat L spécialitéA. P. M. E. P.

EXERCICE15 points

1.Combien d"enchaînements distincts la chaîne peut-elle présenter?

2.Quelle est la probabilitép1que la chaîne propose l"enchaînement que vous

3.On note A l"évènement : "la chaîne propose le morceau no8 en première po-

Calculerp(A).

4.On note B l"évènement : " la chaîne propose le morceau no7 en deuxième

5.Le disque compact comprend 3 morceaux du groupe Zebra, 4 de Pierjanjak

écoutée.

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10de la hauteur atteinte précédemment.

0=100. Pournentier supérieur ou égal à 1, on désigne parhnla hauteur en centi-

1.Calculerh1,h2.

2.Exprimerhn+1en fonction dehnet en déduire la nature de la suite(hn).

3.En déduire la valeur dehnen fonction den.

4. a.Résoudre dansRl"inéquation 100×0,9x?30.

5.La balle rebondit trois fois sur le sol.Calculer la distance parcouruepar la balle depuis le lâcherjusqu"au moment

Baccalauréat TLA. P. M. E. P.

PROBLÈME10 points

PartieA. Étude d"une fonctionauxiliaire

1. a.Montrer que g est strictement croissante sur ]0 ;+∞[.

2. a.Déduire du 1. les résultats suivants :six?1 alorsx2+lnx?1.

O,-→ı,-→??

1.Étudier les limites defen 0 et en+∞(on rappelle que limx→+∞lnx

2.Montrer quef?(x)=x2+lnx-1

3.En utilisant la partie A,donner le signe def?(x) et dresser le tableau de varia-

4. a.Montrer que la droite (Δ) d"équationy=x+1 est asymptote à la courbe

5.Déterminer les coordonnées du point J de la courbe (C) où la tangente (T)

6.Tracer (Δ), (T) et (C).

PartieC. Calculd"aire

2.λest un réel strictement supérieur à 1.

Amérique du Nord4juin 2000

EXERCICE15 points

PartieA

1.Calculer P1et P2.

2.Calculer Pnen fonction denpournentier compris entre 0 et 12.

3.Quelle est la production de ce gisement en 1999?

PartieB

1.Vérifier que la production Q0du gisement en l"an 2000 est égaleà 178640 ba-

2.Soit Qn, avecnentier positif, la production l"année 2000+n. Le nombre Qn

EXERCICE25 points

20 personnes se rendent à une représentation théâtrale :

1.À la sortie ondemande à une personne choisie au hasard le prixde son billet.

2.Dans cette question on interroge trois personnes choisies au hasard et on

Baccalauréat TLA. P. M. E. P.

PROBLÈME10 points

Partie1

1. a.Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions del"équation

2.Déterminer graphiquement selon les valeurs dexle signe deg(x) sur l"inter-

Partie2

1 centimètre.

1. a.Déterminer la limite defen+∞.

2. a.La fonction dérivée defest notéef?. Montrer que, pour toutxde l"inter-

α-5.

3.Représenter graphiquement la courbe (C) et la droite (Δ).

Partie3

1.Déterminer une primitive de la fonctionfsur l"intervalle ]0 ;+∞[.

2.Calculer l"aire en centimètres carrés de la partie du plan limitée par l"axe des

Antilles-Guyane6juin 2000

Baccalauréat TLA. P. M. E. P.

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Antilles-Guyane7juin 2000

EXERCICE15 points

Chaque année, à l"automne, il arrache 50 m

2de chiendent et le remplace par du

1.La surface initiale de la pelouse est exprimée par U0et la surface de gazon

Montrer que pour tout entiernon a Un+1=0,8Un+50.