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?Baccalauréat S Polynésie juin 2000?

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct?

O,-→u,-→v?

, unité graphique 4 cm. Dans l"ensemble des nombres complexesC, i désigne le nombre de module 1, et d"argumentπ 2. On appellefl"application, qui, à tout nombre complexezdifférent de-2, associe

Z=f(z)=z-2+i

z+2i.

1.Siz=x+iy,xetyétant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie ima-

ginaire deZen fonction dexet dey.

On vérifiera que?(Z)=x2+y2-2x+3y+2

x2+(y+2)2.

En déduire la nature de :

a.l"ensembleEdes pointsMd"affixez, tels queZsoit un réel; pur éventuellement nul. c.Représenter ces deux ensembles.

2.On appelleAetBles points d"affixes respectiveszA=2-i etzB=-2i.

En remarquant queZ=z-zA

z-zB, retrouver les ensemblesEetFpar une mé- thode géométrique.

3.Calculer|f(z)-1|×|z+2i|, et en déduireque les pointsM?d"affixeZ,lorsque

le pointMd"affixezparcourt le cercle de centreBet de rayon?

5, sont tous

sur un même cercle dont on précisera le rayon et l"affixe du centre.

EXERCICE25 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :

4 jetons blancs marqués 0;

3 jetons rouges marqués 7;

2 jetons blancs marqués 2;

1 jeton rouge marqué 5.

1.On tire simultanément 4 jetons du sac.Quel est le nombre de tirages possibles?

2.On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les évè-

nements suivants :

A: "Les quatre numéros sont identiques».

B: "Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000».

C: "Tous les jetons sont blancs».

D: "Tous les jetons sont de la même couleur». E: "Au moins un jeton porte un numéro différent des autres». a.Montrer que la probabilité de l"évènementB, est4 105.
b.Calculer la probabilité des évènementsA,C,D,E. c.On suppose que l"évènementCest réalisé, calculer alors la probabilité de l"évènementB.

On établit la règle de jeu suivante :

Baccalauréat SA. P.M. E. P.

Si le joueur peut former 5000, il gagne 75 F. Si le joueur peut former le nombre 7000, il gagne 50 F. Si le joueur peut former le nombre 2000, il gagne 20 F. Si le joueur peut former le nombre 0000, il perd 25 F.

Pour tous les autres tirages, il perd 5 F.

Gest la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Établir la loi de probabilité deGet calculer l"espérance mathématique de G.

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.On cherche deux entiers relatifsxetysolutions de l"équation

(1)ax+by=60 (aetbentiers naturels donnés tels queab?=0). On noterad le plus grand commun diviseur deaetb. a.On suppose que l"équation (1) a au moins une solution (x0;y0). Montrer queddivise 60. b.On suppose queddivise 60. Prouver qu"il existe alors au moins une solu- tion (x0;y0) à l"équation (1).

2.On considère l"équation : (2) 24x+36y=60. (xetyentiers relatifs).

(2). b.Trouver une solution évidente pour l"équation (2) et résoudre cette équa- tion. On appelleraSl"ensemble des couples (x;y) solutions. c.Énumérer tous les couples (x;y) solutions de (2) et tels que : -10?x?10. Donner parmi eux, ceux pour lesquelsxetysont multiples de 5. d.Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l"ensembleEdes pointsMde coordonnées (x;y) telles que : ?x=1+3t y=1-2tt?R. e.Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions(x;y) de l"équation (2) appartiennent àE.

Comment peut-on caractériserS?

PROBLÈME10points

PartieA

On considère la fonction numériquef, de la variable réellex, définie surRpar : f(x)=e-xsinx. On appelle (Cf) la courbe d"équationy=f(x) dans le plan rapporté à un repère orthogonal?

O,-→ı,-→??

Onprendra2cmpour 1unité sur l"axedesordonnées,et6cmpourπunités sur l"axe des abscisses.

1.Montrer que, pour tout réelx,-e-x?f(x)?e-x.

En déduire lim

x→+ ∞f(x) et l"existence d"une asymptote pour la courbe (Cf).

Polynésie2juin 2000

Baccalauréat SA. P.M. E. P.

2.Montrer que la fonction dérivée defvérifie :

f ?(x)=-?

2e-xcos?

x+π4? , pourxélément deR.

3.On étudie la fonctionfsur l"intervalle?

2;π?

Recopier et compléter le tableau suivant :

x-π2π x+π4 2

Signe de cos?

x+π4? En déduire le tableau de variations de la fonctionfsur l"intervalle? -π2;π?

4.Représenter la fonctionfsur l"intervalle?

2;π?

ainsi que les courbes (C1) et (C2) d"équationsy=-e-xety=e-x.

5.Déterminer algébriquement surR, puis sur?

2;π?

, les coordonnées des points communs à : a.(Cf) et l"axe des abscisses. b.(Cf) et (C1). c.(Cf) et (C2).

6.Déterminer un réelαtel que, pourx?α, on ait|f(x)|?10-2.

PartieB

Le but de cette partie est de déterminer une primitiveFde la fonctionfsurR.

1.En calculant les dérivées successives de la fonctionfjusqu"à l"ordre 4 (on

rappelle quef(x)=e-xsinx), trouver une relation entre la fonctionfet sa dérivée d"ordre 4 notéef(4).

2.En déduire qu"on peut choisirF(x)=-1

4f(3)(x).

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Commun à tous les candidats

O,-→u,-→v?

Z=f(z)=z-2+i

1.Siz=x+iy,xetyétant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie ima-

On vérifiera que?(Z)=x2+y2-2x+3y+2

En déduire la nature de :

2.On appelleAetBles points d"affixes respectiveszA=2-i etzB=-2i.

En remarquant queZ=z-zA

3.Calculer|f(z)-1|×|z+2i|, et en déduireque les pointsM?d"affixeZ,lorsque

5, sont tous

EXERCICE25 points

4 jetons blancs marqués 0;

3 jetons rouges marqués 7;

2 jetons blancs marqués 2;

1 jeton rouge marqué 5.

1.On tire simultanément 4 jetons du sac.Quel est le nombre de tirages possibles?

2.On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les évè-

A: "Les quatre numéros sont identiques».

C: "Tous les jetons sont blancs».

On établit la règle de jeu suivante :

Baccalauréat SA. P.M. E. P.

Pour tous les autres tirages, il perd 5 F.

EXERCICE25 points

1.On cherche deux entiers relatifsxetysolutions de l"équation

2.On considère l"équation : (2) 24x+36y=60. (xetyentiers relatifs).

Comment peut-on caractériserS?

PROBLÈME10points

PartieA

O,-→ı,-→??

1.Montrer que, pour tout réelx,-e-x?f(x)?e-x.

En déduire lim

Polynésie2juin 2000

Baccalauréat SA. P.M. E. P.

2.Montrer que la fonction dérivée defvérifie :

2e-xcos?

3.On étudie la fonctionfsur l"intervalle?

2;π?

Recopier et compléter le tableau suivant :

Signe de cos?

4.Représenter la fonctionfsur l"intervalle?

2;π?

5.Déterminer algébriquement surR, puis sur?

2;π?

6.Déterminer un réelαtel que, pourx?α, on ait|f(x)|?10-2.

PartieB

1.En calculant les dérivées successives de la fonctionfjusqu"à l"ordre 4 (on

2.En déduire qu"on peut choisirF(x)=-1

4f(3)(x).