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2)a)On a 2= 2(n+ 3)(2n+ 1) = 5.
2)b)d= PGCD(;) diviseetdonc divise aussi 2= 5.
2)c)Supposons que 5j; 5j(2n+ 1)5 = 2n4 = 2(n2) donc d'apres le theoreme
de Gauss, 5jn2 vu que 2 et 5 sont premiers entre eux.Si on suppose que 5j, alors 5j(n+ 3)5 =n2.
Reciproquement supposons que 5jn2; alors 5j2(n2) + 5 =et 5j(n2) + 5 =. (*) Remarque : - Sin2 [5], 5jn2 donc 5jet 5jd'ou 5jd. Cela impliqued= 5 puisqued2 f1;5gd'apres 2)b). - Sin62 [5], 5 ne divise pasn2;dqui diviseet, ne peut donc pas ^etre egal a 5, ce qui prouve qued= 1.3)Siu= 1 etv=2,u(2n+1)+vn= 1 est une relation de Bezout.net 2n+1 sont
donc premiers entre eux.4)a)PGCD(a;b) = PGCD(n(n4)(n+3);(n4)(2n+1)) = (n4)PGCD[n(n+3);2n+1]
par homogeneite du PGCD en tenant compte du fait quen4>0 vu quen>5.Soit= PGCD[n(n+ 3);2n+ 1]; prouvons qued=:
D'une part PGCD(;n) divisen. D'autre part PGCD(;n) divisedonc divise egalement2n+ 1. Ainsi PGCD(;n) est un diviseur positif commun anet 2n+ 1 qui sont premiers
entre eux (voir question precedente). Donc PGCD(;n) = 1 :etnsont premiers entre eux. Commejn(n+3), on a doncjn+3, d'apres le theoreme de Gauss. Cela prouve queest un diviseur commun an+ 3 et 2n+ 1 et donc quedivised(leur PGCD). Enn,djn+ 3 etdj2n+ 1 doncdest aussi un diviseur commun an(n+ 3) et 2n+ 1 : cela demontre quedj. d >0, >0,djetjddoncd=.Consequence : PGCD(a;b) = (n4)d=(
5(n4) sin2 [5]
n4 sinon ( voir (*) a la n du 2)c) )4)b)Sin= 11,a= 1078 = 7154 etb= 161 = 723. PGCD(154;23) = 1 donc
PGCD(a;b) = 7. Le resultat fourni par la question precedente quandn62 [5] est bien indentique :n4 = 114 = 7. Sin= 12,a= 1440 = 4036 etb= 200 = 405. PGCD(36;5) = 1 donc PGCD(a;b) =40. Le resultat fourni par la question precedente quandn2 [5] est bien indentique :
5(n4) = 58 = 40.
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