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?Baccalauréat S Polynésie septembre 2000?

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

On dispose d"un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1à 6. On désigne par p kla probabilité d"obtenir, lors d"un lancer, la face numérotéek(kest un entier et

1?k?6).

Ce dé a été pipé de telle sorte que :

les six faces ne sont pas équiprobables,

lesnombresp1,p2,p3,p4,p5,p6,danscetordre,sont sixtermes consécutifs d"une suite arithmétique de raisonr, les nombresp1,p2,p4dans cet ordre, sont trois termes consécutifs d"une suite géométrique.

1.Démontrer que :pk=k

21pour tout entierktel que 1?k?6.

2.On lance ce dé une fois et on considère les évènements suivants :

A : "le nombre obtenu est pair»

B : "le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3»

C : "le nombre obtenu est 3 ou 4».

a.Calculer la probabilité de chacun de ces évènements. b.Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieurou égal à 3, sachant qu"il est pair. c.Les évènements A et B sont-ils indépendants? Les évènementsA et C sont-ils indépendants?

3.On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :

d"une urne U1contenant une boule blanche et trois boules noires, d"une urne U2contenant deux boules blanches et une boule noire.

Le joueur lance le dé :

s"il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule del"urne U1, s"il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boulede l"urne U2. On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est déclaré ga- gnant lorsqu"il tire une boule blanche, on note G cet évènement. a.Déterminer la probabilité de l"évènement G∩A, puis la probabilité de l"évènement G. pair lors du lancer du dé.

EXERCICE25 points

Enseignementobligatoire

On considère un cube ABCDEFGH d"arête 1.

1. a.Exprimer plus simplement le vecteur--→AB+--→AD+-→AE .

b.En déduire que le produit scalaire--→AG .--→BD est nul. c.Démontrer de même que le produit scalaire--→AG·-→BE est nul. d.Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).

2.Soit I le centre degravité dutriangle BDE.Déduirede1.a.que le point I est le

point d"intersection de la droite (AG) et du plan (BDE), et préciser la position du point I sur le segment [AG].

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.Dans cette question, l"espace est orienté par le repère orthonormal direct

(A;--→AB ,--→AD ,-→AE ). a.Écrire une équation du plan (BDE).

H et orthogonale au plan (BDE).

c.Déterminer les coordonnées du point d"intersection J de la droiteΔavec le plan (BDE). d.En déduire la distance du point H au plan (BDE). A B C DE F GH

EXERCICE25 points

Enseignementde spécialité

Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

1.Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC),(EG)

et (FH) sont concourantes. Pour cela on note I le point d"intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit : l"homothétieh1de centre I qui transforme G en E. l"homothétieh2de centre I qui transforme F en H. a.Déterminer l"image de la droite (CG) parl"homothétieh1puis par la composée h

2◦h1.

b.Déterminer l"image de la droite (CF) par lacomposéeh1◦h2. c.Justifier l"égalité : h

2◦h1=h1◦h2.

En déduire que la droite (AC) passe aussi

par le point I. GD C H A B EF

2.On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet Adu tri-

angle AEH est une hauteur du triangle ABD. On note O le milieu du segment [EH]. a.Exprimer le vecteur--→AO en fonction des vecteurs-→AE et--→AH . b.Exprimer le vecteur--→BD en fonction des vecteurs--→AB et--→AD .

Polynésie2septembre 2000

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

c.Calculer le produit scalaire--→AO·--→BD et conclure.

3.Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme A en B

et D en A.

On pose AB = 1 et AD =k(k>0).

a.Déterminer l"angle et le rapport de la similitude S. b.Déterminer l"image de la droite (BD), puis l"image de la droite (AO), par cette similitude S. c.En déduire que le point d"intersectionΩdes droites (BD) et (AO) est le centre de la similitude S.

PROBLÈME10points

Enseignementobligatoireet de spécialité

On considère la fonction numériquefdéfinie surRpar : f(x)=2x+1-xex-1. On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d"un repère orthonormal?

O,-→ı,-→??

A. Étude de la fonctionf

et constructionde la courbe (C)

1.Étudier la limite de la fonctionfen-∞puis en+∞(on pourra écrire

xex-1=1 exex).

2.Démontrer que la droiteΔd"équationy=2x+1 est asymptote à la courbe

3. a.Calculer la dérivéef?et la dérivée secondef??de la fonctionf.

b.Dresser le tableau de variation de la fonctionf?en précisant la limite de la fonctionf?en -∞. c.Calculerf?(1) et en déduire le signe def?pour tout réelx. d.Dresser le tableau de variation de la fonctionf.

4.Soit I l"intervalle [1,9; 2]. Démontrer que, sur I, l"équationf(x)=0 a une so-

lution unique,α.

5.Tracer la droiteΔet la courbe (C) (unité graphique : 2 cm).

B. Recherched"une approximationdeα

On considère la fonctiongdéfinie sur l"intervalle I par : g(x)=1+ln? 2+1 x?

1.Démontrer que, sur I, l"équationf(x)=0 équivaut à l"équationg(x)=x.

2.Étudier le sens de variation de la fonctiongsur I et démontrer que, pour tout

xappartenant à I,g(x) appartient à I.

3.Démontrer que, pour toutxde l"intervalle I,|g?(x)|?1

4.Soit (un) la suite de nombres réels définie par :

0=2 et, pour toutndeN,un+1=g(un).

On déduitde laquestionB2que tous les termes decette suite appartiennent à l"intervalle I. On ne demande pas de le démontrer.

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Baccalauréat SA. P. M. E. P.

a.Démontrer que, pour toutndeN,|un+1-α|?19|un-α|. b.En déduire, en raisonnant par récurrence, que : pour toutndeN,|un-α|??1 9? n

×110.

c.En déduire que la suite (un) converge et préciser sa limite.

C. Calculd"aire

1.En intégrant par parties, calculer l"intégrale I =?

1 xex-1dx.

2. a.Déterminer, en unités d"aire, l"aireAde la portion de plan limitée par

la courbe (C), l"axe des abscisses, la droite d"équationx=1 et la droite d"équationx=α. b.Démontrer qu"on peut écrireA=(α-1)?

α-1

Polynésie4septembre 2000

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EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

1?k?6).

Ce dé a été pipé de telle sorte que :

les six faces ne sont pas équiprobables,

1.Démontrer que :pk=k

21pour tout entierktel que 1?k?6.

2.On lance ce dé une fois et on considère les évènements suivants :

 A : "le nombre obtenu est pair»

 C : "le nombre obtenu est 3 ou 4».

3.On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :

Le joueur lance le dé :

EXERCICE25 points

Enseignementobligatoire

On considère un cube ABCDEFGH d"arête 1.

1. a.Exprimer plus simplement le vecteur--→AB+--→AD+-→AE .

2.Soit I le centre degravité dutriangle BDE.Déduirede1.a.que le point I est le

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3.Dans cette question, l"espace est orienté par le repère orthonormal direct

H et orthogonale au plan (BDE).

EXERCICE25 points

Enseignementde spécialité

1.Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC),(EG)

2◦h1.

2◦h1=h1◦h2.

En déduire que la droite (AC) passe aussi

2.On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet Adu tri-

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Baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme A en B

On pose AB = 1 et AD =k(k>0).

PROBLÈME10points

Enseignementobligatoireet de spécialité

O,-→ı,-→??

A. Étude de la fonctionf

1.Étudier la limite de la fonctionfen-∞puis en+∞(on pourra écrire

2.Démontrer que la droiteΔd"équationy=2x+1 est asymptote à la courbe

3. a.Calculer la dérivéef?et la dérivée secondef??de la fonctionf.

4.Soit I l"intervalle [1,9; 2]. Démontrer que, sur I, l"équationf(x)=0 a une so-

5.Tracer la droiteΔet la courbe (C) (unité graphique : 2 cm).

B. Recherched"une approximationdeα

1.Démontrer que, sur I, l"équationf(x)=0 équivaut à l"équationg(x)=x.

2.Étudier le sens de variation de la fonctiongsur I et démontrer que, pour tout

3.Démontrer que, pour toutxde l"intervalle I,|g?(x)|?1

4.Soit (un) la suite de nombres réels définie par :

0=2 et, pour toutndeN,un+1=g(un).

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Baccalauréat SA. P. M. E. P.

×110.

C. Calculd"aire

1.En intégrant par parties, calculer l"intégrale I =?

2. a.Déterminer, en unités d"aire, l"aireAde la portion de plan limitée par

α-1

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les six faces ne sont pas équiprobables,

A : "le nombre obtenu est pair»

C : "le nombre obtenu est 3 ou 4».