[PDF] Exercices de licence





Previous PDF Next PDF



Cours et exercices corrigés

Produit d'espaces topologiques. 46. Exercices. 53. Corrigés Définition générale ; premiers exemples ... avec la topologie générale.



Exercices de licence

[Exercice corrigé]. 2.2 Topologie induite topologie produit. Exercice 37 Soit (X



Exercices de mathématiques - Exo7

Topologie générale. Exercice 1. 1. Rappeler les définitions d'une borne supérieure (inférieure) d'un ensemble de nombres réels. Si A et.



Université Paul Sabatier L3 MAF 2015-2016 Topologie et analyse

13/6/2016 : énoncé et corrigé de l'examen de janvier 2016 Exercice 2.13 Dans R muni de la topologie de l'ordre donner des exemples de parties qui sont ...



Polycopié de Topologie générale FARHI Bakir

17 sept. 2018 Les exercices non étoilés sont -par contre- laissés aux soins de l'étudiant; on ne les résout que s'il reste du temps après avoir fait tout ce ...



Topologie Générale Elémentaire Semestre 3

8 Exercices avec corrigés On a introduit le sujet de topologie générale via les espaces métriques. Malgré que ces espaces sont un cas particulier des ...



Feuille dexercices 5 Topologie générale et Compacts

Topologie générale et Compacts. Cours de Licence 3. Année 10/11. 1 Espaces topologiques généraux. Exercice 1.1. Déterminer toutes les topologies sur un 



Filière SMA Module de topologie Cours exercices et anciens

Cependant il constitue une introduction à la topologie générale. A la fin de ce polycopié



3M360 : Topologie et Calcul Différentiel Livret dexercices

XI Elements de corrigés de l'examen 2017-2018 Corrigé de l'exercice 1.— ... la propriété générale analogue de (*) valable pour toute partie Y de X ...



Corrigé de lexamen final (durée 2 h) (le 16/12/2016)

16 déc. 2016 Topologie générale. Corrigé de l'examen final (durée 2 h). (le 16/12/2016). Questions de cours (répondre sans donner de ... Exercice II.



Topologie pour la Licence - unicefr

Le dernier chapitre contient une collection d’exercices Ces exercices servent a la fois a mieux familiariser l’´etudiant avec les notions apprises en cours et a compl´eter le cours



Corrigédel’examenfinal(durée2h) (le16/12/2016)

Topologie générale Corrigédel’examenfinal(durée2h) (le16/12/2016) Questions de cours (répondresansdonnerdedémonstration) 1) (3pts)Donnerlesnomsetlesénoncésdetroiscritèresdifférentsdecompacitéqui sontvalablesrespectivementdansuncadregénéraldansuncadremétriqueetdansle cadred’unR-espacevectorielnormédedimensionfinie Ils



Images

corrigés du DM du DS et des examens de janvier 2015 et janvier 2014; améliorations dans la partie II : gnolages exemples à la n des sections 6 3 et 6 6 tout hyperplan est soit fermé soit dense preuve du th de récFhet-von Neumann-Jordan (section 7 2) appendices 2 et 3 (Hahn-Banach et Riesz)



Examen de Topologie - corrigé - univ-toulousefr

Examen de Topologie - corrigé I - Exercice (4 points) 1 i) ? iii) On a A ? B(xr) avec x ? X et r > 0 Soient aa0 ? A on a d(aa0) ? d(ax)+d(xa0) ? 2r on en déduit que diam(A) ? 2r iii) ? ii) Soit x ? X on cherche r > 0 tel que A ? B(xr) Choisissons a ? A et montrons que r = diam(A)+d(ax) convient



Searches related to topologie générale exercices corrigés PDF

Le contenu du module de topologie enseigné en semestre 5 ne peut con-stituer un exposé complet étant donné le nombre d’heures de cours alloué Cependant il constitue une introduction à la topologie générale Avant de dé?nirlesespacestopologiquesonseplacedansuncadreparticulierimpor-

Comment télécharger le cours complet de topologie ?

Pour télécharger le cours complet de Topologie, Cliquez sur le/les liens ci-dessous. NOTE: N’oubliez pas de voir les autres Unités d’enseignements (matières/modules) de Mathématiques et Applications. Liens dans la section ci-dessous.

Qu'est-ce que la topologie ?

Ce texte repr´esente le cours de topologie dispens´e en Licence de Math´ematiques Pures a Nice, pendant quatre ann´ees cons´ecutives (de 2000/2001 a 2003/2004). La topologie est une th´eorie math´ematique relativement jeune : elle ´emerge (sous le nom d’analysis situs) au d´ebut du vingti`eme si`ecle dans les travaux de Hausdor? et de Tychono?.

Quelle est la topologie de l'ordre?

la topologie de l'ordre sur N[f+1gˆR : ses ouverts sont (exercice) les parties conies ou ne contenant pas +1. Cette topologie permettra de considérer la notion de limite de suite comme un cas particulier de celle de limite de fonction.

Quel est le rôle de la topologie dans la recherche ?

Dans la recherche actuelle, la topologie joue un role fondamental aussi bien en Analyse Fonctionnelle qu’en G´eom´etrie Di?´erentielle ou encore en Topologie Alg´ebrique. Ce cours (de 13 s´eances d’une heure et demi) n’est cependant qu’une introduction aux notions de base.

Exercices de licence

Les exercices sont de :

Corn´elia Drutu (alg`ebre et th´eorie des nombres)

Volker Mayer (topologie, analyse r´eelle)

Leonid Potyagailo (alg`ebre et g´eom´etrie)

Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe)

Les sujets d"examens sont de :

Anne-Marie Chollet (variable complexe : VC)

Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)

Table des mati`eres2Table des mati`eres

I Topologie4

1 Notions de topologie I4

1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Topologie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Notions de topologie II8

2.1 Topologie s´epar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Fonctions continues surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Suites, limites et valeurs d"adh´erence, points d"accumulation et points isol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Notions de topologie III15

3.1 Hom´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Dualit´e, isom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Prolongement de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 M´etrique de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5 Th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Connexit´e18

4.1 Connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Compacit´e21

5.1 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II Analyse r´eelle 27

6 Applications lin´eaires born´ees27

6.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2 Formes lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7 Espaces m´etriques complets, Banach29

7.1 Espaces m´etriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.2 Espaces norm´es, Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 Th´eor`eme du point fixe32

9 Applications uniform´ement continues34

9.1 Applications uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.2´Equicontinuit´e, th´eor`eme d"Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10 Applications diff´erentiables37

10.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

11 Th´eor`eme d"inversion locale et des fonctions implicites 41

11.1 Th´eor`emes d"inversion; diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11.3 Sous-vari´et´es deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

12 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur, formule de Taylor, extremums 46

12.1 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

12.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13 Equations diff´erentielles48

13.1 Equations diff´erentielles : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13.2 Solutions maximales d"´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

13.4 Syst`emes `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

13.5 R´esolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

13.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III Alg`ebre et g´eom´etrie 57

Table des mati`eres314 G´en´eralit´es sur les groupes57

15 Groupes et actions59

16 Isom´etries euclidiennes60

17 G´eom´etrie diff´erentielle ´el´ementaire deRn62

18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique62

19 Le groupe orthogonal et les quaternions63

20 G´eom´etrie projective I64

21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP164

21.1 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

21.2 Propri´et´es des homographies deCP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

22 G´eom´etrie et trigonom´etrie hyperbolique66

IV Analyse complexe 67

23 S´eries enti`eres67

24 Fonctions holomorphes69

25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances71

26 Formule de Cauchy73

27 Cons´equences de la formule de Cauchy76

28 Singularit´es80

29 Int´egrales curvilignes82

30 Th´eor`eme des r´esidus84

31 Fonctions Zeta et autres...86

31.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

31.2 Transformations deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

V Alg`ebre et th´eorie des nombres 89

32 Groupes89

33 Sous-groupes, morphismes91

34 Groupes finis93

35 Anneaux, corps95

36 Polynˆomes97

37 Extension de corps99

38 Extension d"anneau100

VI Sujets d"examens 101

39 Examen AR janvier 1994101

40 Examen AR juin 1994102

41 Examen AR septembre 1994103

42 Examen AR janvier 1995104

43 Examen AR juin 1995105

44 Examen AR septembre 1995106

45 Examen AR juin 1996107

46 Examen ARC d´ecembre 1998108

1 Notions de topologie I447 Examen ARC janvier 1999110

48 Examen ARC septembre 1999111

49 Examen ARC novembre 1999112

50 Examen ARC janvier 2000114

51 Examen ARC septembre 2000115

52 Examen ARC d´ecembre 2000116

53 Examen ARC janvier 2001117

54 Examen ARC septembre 2001118

55 Examen VC janvier 96119

56 Examen VC avril 96120

57 Examen VC juin 96121

58 Examen VC septembre 96123

59 Examen VC janvier 98125

VII Corrections 127

Premi`ere partie

Topologie

1 Notions de topologie I

1.1 Rappels

Exercice 11. Rappeler les d´efinitions d"une borne sup´erieure (inf´erieure) d"un ensemble de nombres r´eels.

SiAetBsont deux ensembles born´es deR, comparer avec supA, infA, supBet infBles nombres suivants : (i) sup(A+B), (ii) sup(A?B), (iii) sup(A∩B), (iv) inf(A?B), (v) inf(A∩B).

2. Pourx?RnetA?Rnon d´efinitd(x,A) = infa?A||x-a||. Trouverd(0,R-Q),d(⎷2,Q),d(M,D) o`u

M= (x,y,z)?R3etDest la droite de vecteur unitaire (a,b,c).

3. PourA,B?Rnon d´efinitd(A,B) = infa?A,b?B||a-b||. Trouverd(A,B) lorsqueAest une branche de

l"hyperbole{(x,y)?R2;xy= 1}etBune asymptote.

4. On d´efinit diamA= supa,b?A||a-b||. Quel est diam([0,1]∩Q)? diam([0,1]∩R-Q)?

Exercice 2Montrer que tout ouvert deRest union d´enombrable d"intervalles ouverts deux `a deux disjoints.

(Indication :six?Oouvert, consid´ererJx=?des intervalles ouverts,?Oet?x). D´ecrire de mˆeme les

ouverts deRn.

Exercice 3On va montrer que l"ensembleDdes r´eels de la formep+q⎷2 o`upetqd´ecriventZ, est dense

dansR.

1. Remarquer queDest stable par addition et multiplication.

2. Posonsu=⎷2-1; montrer que pour tousa < b, on peut trouvern?1 tel que 0< un< b-a, puism

v´erifianta < mun< b.

En d´eduire le r´esultat.

1.2 Topologie g´en´erale

Exercice 41. SoitX={0,1}muni de la famille d"ouverts{∅,{0},X}. Cette topologie est-elle s´epar´ee?

2. SoitXun ensemble non vide. D´ecrire la topologie dont les singletons forment une base d"ouverts.

1 Notions de topologie I53. D´ecrire la topologie surRdont la famille des intervalles ferm´es forme une base d"ouverts; mˆeme question

avec les intervalles ouverts sym´etriques.

4. SoitXun ensemble infini. Montrer que la famille d"ensembles constitu´ee de l"ensemble vide et des parties

deXde compl´ementaire fini d´efinit une topologie surX. Exercice 5SoitXun espace topologique, etfune application quelconque deXdans un ensembleY. On dit

qu"une partieAdeYest ouverte, sif-1(A) est un ouvert deX. V´erifier qu"on a d´efini ainsi une topologie sur

Y.

Exercice 6Montrer qu"on peut construire surR? {∞}une topologie s´epar´ee en prenant comme ouverts, les

ouverts deRet les ensembles de la forme{x/|x|> a} ? {∞}o`uaest r´eel. Comment construire une topologie

s´epar´ee surR? {+∞} ? {-∞}?

Exercice 7SoitXun ensemble non vide et Σ une famille de parties deXstable par intersection finie et

contenantX. Montrer que la plus petite topologieTcontenant Σ (la topologie engendr´ee par Σ) est constitu´ee

des unions d"ensembles de Σ, ou, de fa¸con ´equivalente,

A? T ?? ?x?A?S?Σ ;x?S?A.

Montrer que l"on peut affaiblir l"hypoth`ese de stabilit´e par intersection finie en : (?)?S1,S2?Σ,?x?S1∩S2,?S3?Σ ;x?S3?S1∩S2.

Exercice 8SoitCl"ensemble des fonctions continues r´eelles sur [0,1]. Pour toutef?Cetε >0 on d´efinit

M(f,ε) ={g/?

1 0 |f-g|< ε}.

Montrer que la famille M des ensemblesM(f,ε) lorsquef?Cetε >0 est une base de topologie. Mˆeme

question avec la famille

U(f,ε) ={g/sup

x|f(x)-g(x)|< ε}.

Exercice 9UdansNest dit ouvert s"il est stable par divisibilit´e, c.a.d. tout diviseur den?Uest encore dans

U. Montrer qu"on a d´efini ainsi une topologie surNqui n"est pas la topologie discr`ete. Exercice 10On consid`ere dansN?, la famille de progressions arithm´etiques P a,b={a+bn/n?N?}, o`uaetbsont deux entiers premiers entre eux.

1. Montrer que l"intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithm´etique de

mˆeme nature, plus pr´ecis´ement, P a,b∩Pa?,b?=Pα,β o`uαest le minimum de l"ensemblePa,b∩Pa?,b?, etβ= ppcm (b,b?).

2. En d´eduire que cette famille d"ensembles (en y adjoignant∅) forme une base de topologie surN?dont on

d´ecrira les ouverts.

3. Montrer que cette topologie est s´epar´ee.

1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere

Exercice 111. Montrer que siBest un ouvert de l"espace topologiqueXetA∩B=∅, alorsA∩B=∅,

mais queA∩Bn"est pas n´ecessairement vide.

2. Montrer `a l"aide d"exemples que l"´egalit´e?iAi=?iAin"a pas lieu en g´en´eral pour une infinit´e d"indices.

Exercice 12D´eterminer l"adh´erence et l"int´erieur des ensembles suivants : Q;R\Q;{(x,y)?R2/0< x <1,y= 0};{(x,y,z)?R3/ x= 0} {1n,n?1}; le cercle unit´e deR2. Exercice 13SiAest une partie de l"espace topologiqueX, on poseα(A) =◦Aetβ(A) =◦A.

1. Montrer queαetβsont des applications croissantes pour l"inclusion deP(X) dansP(X).

2. Montrer que siAest ouvert,A?α(A) et siAest ferm´e,β(A)?A. En d´eduire queα2=αetβ2=β.

1 Notions de topologie I63. ConstruireA?Rtel que les cinq ensembles :

A,A,◦A,α(A),β(A) soient tous distincts. Exercice 14D´eterminer l"adh´erence dansR2du graphe

G={(x,y)/y= sin1x,0< x?1}.

Exercice 15Dans un espace topologique, on d´efinit la fronti`ere d"une partieAcomme ´etant∂A=A\◦A.

1. Montrer que∂A=∂(Ac) et queA=∂A??Aferm´e d"int´erieur vide.

2. Montrer que∂(A) et∂(◦A) sont toutes deux incluses dans∂A, et donner un exemple o`u ces inclusions sont

strictes.

3. Montrer que∂(A?B)?∂A?∂B, et que l"inclusion peut ˆetre stricte; montrer qu"il y a ´egalit´e lorsqueA∩B=∅(´etablir◦A?B?◦A?◦B).

Montrer que

◦A?B=◦A?◦Breste vrai lorsque∂A∩∂B=∅(raisonner par l"absurde). Exercice 161. SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble (partout) dense dansX. Montrer qu"il est aussi ´equivalent de dire (i) Le compl´ementaire deDest d"int´erieur vide. (ii) SiFest un ferm´e contenantD, alorsF=X. (iii)Drencontre tout ouvert non vide deX. Montrer qu"un ensembleA?Xrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est d"int´erieur non vide.

2. SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dansX. En d´eduire que

toute intersection d´enombrable d"ouverts denses est une intersection d´ecroissante d"ouverts denses.

Exercice 17Etablir les propri´et´es suivantes de l"adh´erence d"un ensemble dans un espace topologique :

1.A=A

2. SiA?BalorsA?B.

3.A?B=A?B

Montrer que la formuleA∩B=A∩Bn"est pas vraie en g´en´eral; montrer que 3. n"est pas vrai en g´en´eral pour

une infinit´e d"ensembles. Exercice 18Etablir l"´equivalence entre les propri´et´es suivantes : 1. ◦Aest le plus grand ouvert contenu dansA.

2.a?◦Asi et seulement si il existe un voisinage deaenti`erement contenu dansA.

Etablir pour l"int´erieur d"un ensemble des propri´et´es analogues `a celles de l"exercice 17.

Exercice 19On rappelle la construction de l"ensemble triadique de Cantor : on part du segment [0,1] dont on

supprime l"intervalle m´edian ]

13,23[; `a la deuxi`eme ´etape, on supprime les intervalles ]19,29[ et ]79,89[ etc. On note

K

nla r´eunion des intervalles restants `a lan-i`eme ´etape, etK=?Kn.Quelle est l"adh´erence et l"int´erieur de

K? Exercice 20SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble dense dansX. Montrer qu"il est aussi

´equivalent de dire

1. Le compl´ementaire deDest d"int´erieur vide.

2. SiFest un ferm´e contenantD, alorsF=X.

3.Drencontre tout ouvert deX.

Montrer qu"un ensembleA?Xrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est d"int´erieur non

vide. Exercice 21SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dansX.

Exercice 22Soitfune application deRdansRtelle que pour touta >0, l"ensemble desxv´erifiant|f(x)|> a

est fini. Montrer que{x/f(x) = 0}est dense dansR. Le v´erifier sur l"exemple suivant : on ´enum`ere les rationnels

r

1,r2,r3,···,rn,···et on posef(rn) =1nsin?1,f(x) = 0 ailleurs.

Exercice 23Montrer que{⎷n-E(⎷n),n?1}est dense dans [0,1], o`uE(x) d´esigne la partie enti`ere dex.

1 Notions de topologie I71.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es

Exercice 241. Montrer que dans tout espace m´etrique (E,d) une boule ferm´ee est un ferm´e, mais que

l"adh´erence d"une boule ouverteB(a,r) ne coincide pas n´ecessairement avec la boule ferm´eeB?(a,r) (on

pourra consid´erer dans (R2,||.||∞),E= [0,1]× {0} ? {0} ×[0,1] et la boule centr´ee en (12,0) de rayon

1/2).

2. Montrer que la famille des boules ouvertes de (E,d) v´erifie la condition (?) de l"exercice 7.

Exercice 25(E,||.||) un evn.

1. Montrer que dans ce cas la boule ferm´eeB?(a,r) est l"adh´erence de la boule ouverteB(a,r).

2. Montrer queB(a,r)?B(b,R)??r?Ret||a-b||?R-r.

Exercice 261. Si (x,y)?R2, on pose||(x,y)||= max(|x+y|,|x-2y|). Montrer qu"il s"agit d"une norme surR2et dessiner sa boule unit´e ferm´ee.

2. Soitp,qdeux normes surRn,BpetBqleurs boules unit´es ferm´ees. Montrer que

B q?Bp??p?q.

Que signifie

12Bp?Bq?2Bp? Exemples.

Exercice 27SoitEun ensemble non vide, etX=ENl"ensemble des suitesx= (xn) d"´el´ements deE. Pour

x,y?X, on posep(x,y) = min{n/xn?=yn}six?=y, et∞six=y.

1. Montrer qued(x,y) =1p(x,y)(avec1∞= 0) est une distance surXqui v´erifie l"in´egalit´e ultram´etrique

d(x,z)?max(d(x,y),d(y,z)).

2. Quelles sont les boules ouvertes et les boules ferm´ees pour cette m´etrique?

Exercice 281. Soit||.||une norme surRnetKsa boule unit´e ferm´ee. Montrer que (i)Kest sym´etrique, (ii)Kest convexe, ferm´e, born´e, (iii) 0 est un point int´erieur `aK.

2. R´eciproquement, montrer que siKposs`ede les trois propri´et´es ci-dessus, il existe une norme dontKsoit

la boule unit´e ferm´ee, en consid´erant p(x) = inf{a >0 ;xa?K}. [Exercice corrig´e]

Exercice 29On noteX=l∞l"espace des suites r´eelles born´ees, etY=c0l"espace des suites r´eelles tendant

vers 0, tous deux munis de la m´etrique (`a v´erifier)d(x,y) = supn|x(n)-y(n)|. Montrer queYest ferm´e dans

X. Montrer que l"ensemble des suites nulles `a partir d"un certain rang est dense dansYmais pas dansX.

Exercice 30SoitE={f?C1([0,1],R) ;f(0) = 0}. On pose ||f||= sup

0?x?1|f(x) +f?(x)|,etN(f) = sup

0?x?1|f(x)|+ sup

0?x?1|f?(x)|.

Montrer que ce sont deux normes ´equivalentes surE. Exercice 31Montrer que dans un espace norm´e, la boule unit´e est convexe.

R´eciproquement, supposons que l"espace vectoriel soit muni d"une applicationNdeEdansR+telle queN(λx) =

|λ|N(x), et telle que{y/N(y)?1}soit convexe. Montrer que

N(x+y)?2sup(N(x),N(y)), x,y?E.

Exercice 32On consid`ere dansR2, les deux applications n((x,y)) = sup t?[0,1]|x+ty|, m((x,y)) =? 1 0 |x+ty|dt.

2 Notions de topologie II81. Montrer quenetmd´efinissent deux normes surR2.

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
[PDF] topologie mathématique

[PDF] topologie exercices corrigés l2

[PDF] texte arabe traduit en francais

[PDF] cours traitement de signal analogique pdf

[PDF] traitement de signal cours ppt

[PDF] traitement de signal matlab pdf

[PDF] exercices corrigés traitement de signal pdf

[PDF] cour sur les etude des signaux(pdf)

[PDF] livre audit comptable et financier pdf

[PDF] mission daudit comptable et financier

[PDF] exercices corrigés audit comptable et financier pdf

[PDF] audit général cours pdf

[PDF] livre zootechnie gratuit

[PDF] mémento de zootechnie pdf

[PDF] cours zootechnie alimentation