Cours et exercices corrigés
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Topologie pour la Licence - unicefr
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Comment télécharger le cours complet de topologie ?
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Qu'est-ce que la topologie ?
Ce texte repr´esente le cours de topologie dispens´e en Licence de Math´ematiques Pures a Nice, pendant quatre ann´ees cons´ecutives (de 2000/2001 a 2003/2004). La topologie est une th´eorie math´ematique relativement jeune : elle ´emerge (sous le nom d’analysis situs) au d´ebut du vingti`eme si`ecle dans les travaux de Hausdor? et de Tychono?.
Quelle est la topologie de l'ordre?
la topologie de l'ordre sur N[f+1gˆR : ses ouverts sont (exercice) les parties co nies ou ne contenant pas +1. Cette topologie permettra de considérer la notion de limite de suite comme un cas particulier de celle de limite de fonction.
Quel est le rôle de la topologie dans la recherche ?
Dans la recherche actuelle, la topologie joue un role fondamental aussi bien en Analyse Fonctionnelle qu’en G´eom´etrie Di?´erentielle ou encore en Topologie Alg´ebrique. Ce cours (de 13 s´eances d’une heure et demi) n’est cependant qu’une introduction aux notions de base.
Feuille d'exercices 5
Topologie generale et Compacts
Cours de Licence 3
Annee 10/11
1 Espaces topologiques generaux
Exercice 1.1.
Determiner toutes les topologies sur un ensemble a 2 elements (resp. a 3 elements) et dire si elles sont separees ou non.Exercice 1.2.
SoitEun ensemble etAun ensemble de parties deEqui contientEet SoitBl'ensemble des intersections nies d'elements deA.1)Montrer queBest stable par intersection nie.
2)Montrer queBest la base d'une topologie surEc'est a dire qu'il existe une topologie
OsurEtelle que tout element deOest reunion d'elements deB.On ditOest engendree parA.
3)Montrer que siO1est une topologie surEqui contientA, alorsO O1.
4)SoitE=RetA=f] 1;x[;x2Rg [ f;;Rg. Decrire la toplogie engendree parA.
Est-elle separee?
5)SoitE=RetA=f]x;y[;(x;y)2R2;x < yg [ f;;Rg. Decrire la toplogie engendree
parA.Exercice 1.3.
Exemple d'espace topologique non metrisable
SoitEl'espace vectoriel des applications de [0;1] dansR. Sif2E,N2N, (x1;:::;xN)2[0;1]Net (1;:::;N)2(R+)N, on denit V f;x1;:::;xN;1;:::;N=fg2E=8i= 1N;jf(xi)g(xi)j< ig On denit l'ensembleOcomme l'ensemble des reunions d'ensembles precedents. 1.Montrer queOdenit une topologie surE.
2. Montrer qu'une suite de fonctions deEest convergente pour cette topologie si et seulement si elle converge simplement. 3. SoitDl'ensemble des fonctions deEnulles sauf en un nombre ni de points.Montrer queDest dense dansE.
4. En utilisant une fonction deEnon nulle sur un ensemble non denombrable, montrer que la topologie precedente n'est pas metrisable. 12 Pres du cours
Exercice 2.1.
Soit (K;d) est un espace metrique compact. Montrer que son diametre est bien deni et est atteint.Exercice 2.2.
Q\[0;1] est-elle une partie compacte deR, deQ?
Exercice 2.3.
Soit (E;d) un espace metrique compact. Montrer queEpossede une partie denombrable dense. (On dit queEest separable).Exercice 2.4.
Soit (E;d) un espace metrique compact. Soit (U)2Lun recouvrement ouvert de E.Soit':E!R x7!sup2Ld(x;Uc).
a) Montrer que'est continue. b) Montrer qu'il existe >0 tel que toute boule ouverte de rayonsoit contenue dans au moins unU. c) Soit (Ui)i2Iun recouverment ouvert de [0;1]. Trouvernet une subdivision 0 =x0< x1<< xn= 1, tel que pour toutk, il existei2I, tel que [xk;xk+1]Ui. Montrer
qu'on peut choisirxk=k n , pournassez grand.Exercice 2.5.
Soit (E;d) un espace metrique compact. Soit (Fn)n2Nune suite decroissante de parties fermees non vides de (E;d). Montrer que\n2NFnest non vide et que tout ouvert contenant\n2NFncontient l'un des fermesFn.3 Compacite et distance entre parties
Exercice 3.1.
Soit (E;d) un espace metrique etAune partie compacte deE a) Montrer que pour toutx2E,d(x;A) est atteinte. b) SoitBun ferme tel queA\B=;, montrer qued(A;B)>0 oud(A;B) = inf(a;b)2ABd(a;b). Montrer qu'il existe deux ouverts disjointsUetVtels queAUetBV. (On pourra considererfx2Ejd(x;A)< g) Donner un contre-exemple lorsqueAest seulement suppose ferme. c) SoitBun compact, montrer qu'il existe (a;b)2ABtel qued(A;B) =d(a;b).Exercice 3.2.
SoitAune partie fermee et non bornee deRnmuni de la distance usuelle. Soitf:A!Rcontinue. On suppose quef(x)!+1quandkxk !+1, (x2A). a) Montrer que pour toutk2R+,fxjx2Aetf(x)kgest compact. b) Montrer quef(A) est minoree et qu'il existea2Atel que inff(A) =f(a). c) Utiliser ce resultat pour montrer que les questions a) et c) de l'exercice precedent restent vraies siAetBsont deux parties deRntelles queAsoit fermee etBcompacte. 24 Exemples d'espaces compacts
Exercice 4.1.
Les espaces suivants sont-ils compacts. Pour chaque exemple, on precisera la distance. 1. le disqueD=f(x;y)2R2jx2+y2<1g, distance usuelle. 2. la sphereSn=fx2Rn+1j kxk2= 1g, distance usuelle. 3. l'ensemblef(x;y)2R2jx0;1 x+1y0g, distance usuelle. 4. l'ensemblef(x;y)2R2jx0;1 x+1y >0g, distance usuelle. 5. l'ensemblef(x;sin(1=x));x2]0;1]g [ f(0;x);x2[1;1]g, distance usuelle. 6. GL n(R), distance usuelle. 7. O n(R) le groupe des matrices orthogonales en dimensionn, distance usuelle. 8. l'ensemble des matrices symetriques d'ordrendont toutes les valeurs propres sont dans [1;1], distance usuelle.Exercice 4.2.
Soit (E;d) un espace metrique, et (un)n2Nune suite d'elements deE convergente. On notelsa limite. Montrer quefun2Ejn2Ng [ flgest une partie compacte deE.Exercice 4.3.
Soitl1(R) =f(un)2RN;P
n0junj<1g, muni de la normejjujj=P n0junj. a) Soit A=Y n0[0;2n]:Montrer queAest une partie compacte del1(R).
b) SoitB=f(un)2l1(N);jjujj= 1g. Montrer queBn'est pas compact. (On pourra considerer la suite del1(N);(en) ouen(k) =1 sik=n0 sinon)
5 Compacite et applications
Exercice 5.1.
Un theoreme de point xe
Soit (K;d) un espace metrique compact, etf:K!Ktelle qued(f(x);f(y))< d(x;y) pour tousx;y2K,x6=y. Montrer quefa un unique point xe. (indication: considerer x7!d(x;f(x))).Exercice 5.2.
Dilatations et isometries
Soit (K;d) un espace metrique compact, etT:K!Ktelle que :8x;y2K; d(Tx;Ty) d(x;y): a) Montrer qu'il existe une extractiontelle que (T(n)x)net (T(n)y)nconvergent. b) Quelle est la limite de (T(n+1)(n)x)n? c) Montrer que8(x;y)2K; d(T(x);T(y)) =d(x;y) (Indication:(n+ 1)(n)1). d) Montrer queTest surjective (indication:(n+ 1)(n)1 et question 2. ). 3Exercice 5.3.
Soit (K;d) un espace metrique compact, et (fn)n2Nune suite d'applica- tions continues deKdansR. On suppose que pour toutx2K, la suitefn(x) decroit et converge vers 0. Montrer quefnconverge uniformement vers 0. (Indication: pour tout " >0, on pourra considerer la suite de fermesFn=fx2Kjfn(x)"g).Exercice 5.4.
Utilisation de l'uniforme continuite
SoitEl'ensemble des fonctions continues de [0;1] dansR, muni de la norme uniforme. Montrer que le sous-ensemble deEdes fonctions anes par morceaux est dense dansE.6 Ensemble triadique de Cantor
SiAest une partie deR, on notex+A
3 l'image deApar l'homothetie de centrexet de rapport 1 3 L'ensemble triadique de CantorK[0;1] est deni par recurrence de la facon suivante : K0= [0;1],Kn+1=Kn
3 [2+Kn 3 etK=\n0Kn. Ainsi, on decoupe [0;1] en trois intervalles egaux et on retire celui du milieu en gardant les bornes.DoncK1= [0;1
3 ][[2 3 ;1]. On reitere le procede precedent sur chaque segment, chaque segment est coupe en 3 parties egales et la partie centrale est retiree en gardant les bornes. K2= [0;1
9 ][[2 9 ;1 3 ][[2 3 ;7 9 ][[8 9 ;1].1)Soitn1, montrer queKnest la reunion de 2nsegments disjoints de la forme
[xn;xn+1 3 n] ou lesxndecrivent l'ensemblefnX i=1a i 3 i;ai2 f0;2gg.2)Montrer queKest compact non vide, d'interieur vide.
2)Montrer que tout elementxdeKs'ecrit de maniere uniquex=+1X
i=1a i 3 iavec lesai egaux a 0 ou 2.Reciproquement, montrer que six=+1X
i=1a i 3 iavec lesaiegaux a 0 ou 2, alorsx2K.3)Montrer queKest sans point isole , c'est a dire que pour toutx2K, pour tout
>0, ]x;x+[\Krfxg 6=;. (On dit queKest parfait). Montrer que six2Kety2Ketx6=y, alors il existe un ouvert deKcontenant xet un ouvert deKcontenantydisjoints. (On verra plus tard que ceci signie que les composantes connexes deKsont les singletons, on dit queKest completementquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] topologie exercices corrigés l2
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