Cours et exercices corrigés
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Comment télécharger le cours complet de topologie ?
Pour télécharger le cours complet de Topologie, Cliquez sur le/les liens ci-dessous. NOTE: N’oubliez pas de voir les autres Unités d’enseignements (matières/modules) de Mathématiques et Applications. Liens dans la section ci-dessous.
Qu'est-ce que la topologie ?
Ce texte repr´esente le cours de topologie dispens´e en Licence de Math´ematiques Pures a Nice, pendant quatre ann´ees cons´ecutives (de 2000/2001 a 2003/2004). La topologie est une th´eorie math´ematique relativement jeune : elle ´emerge (sous le nom d’analysis situs) au d´ebut du vingti`eme si`ecle dans les travaux de Hausdor? et de Tychono?.
Quelle est la topologie de l'ordre?
la topologie de l'ordre sur N[f+1gˆR : ses ouverts sont (exercice) les parties co nies ou ne contenant pas +1. Cette topologie permettra de considérer la notion de limite de suite comme un cas particulier de celle de limite de fonction.
Quel est le rôle de la topologie dans la recherche ?
Dans la recherche actuelle, la topologie joue un role fondamental aussi bien en Analyse Fonctionnelle qu’en G´eom´etrie Di?´erentielle ou encore en Topologie Alg´ebrique. Ce cours (de 13 s´eances d’une heure et demi) n’est cependant qu’une introduction aux notions de base.
Enoncés : M. Quéffelec
Corrections : A. BodinExo7
Topologie générale
Exercice 1
1.Rappeler les définitions d"une borne supérieure (inférieure) d"un ensemble de nombres réels. Si Aet
Bsont deux ensembles bornés non vides deR, comparer avec supA, infA, supBet infBles nombres suivants : (i) sup(A+B), (ii) sup(A[B), (iii) sup(A\B), (iv) inf(A[B), (v) inf(A\B). 2. Pour x2RnetARnon définitd(x;A) =infa2Ajjxajj. Trouverd(0;RQ),d(p2;Q),d(M;D)où M= (x;y;z)2R3etDest la droite de vecteur unitaire(a;b;c). 3. Pour A;BRnon définitd(A;B) =infa2A;b2Bjjabjj. Trouverd(A;B)lorsqueAest une branche de l"hyperbolef(x;y)2R2;xy=1getBune asymptote. 4. On définit diam A=supa;b2Ajjabjj. Quel est diam(]0;1[\Q)? diam([0;1]\RQ)?Montrer que tout ouvert deRest union dénombrable d"intervalles ouverts deux à deux disjoints. (Indication :
six2Oouvert, considérerJxqui est l"union des intervalles ouverts inclus dansOet contenantx). Énoncer un
résultat similaire pour les ouverts deRn. On va montrer que l"ensembleDdes réels de la formep+qp2 oùpetqdécriventZ, est dense dansR. 1. Remarquer que Dest stable par addition et multiplication. 2. Posons u=p21; montrer que pour tousaMontrer que dans tout espace métrique(E;d)une boule fermée est un fermé, mais que l"adhérence d"une
boule ouverteB(a;r)ne coincide pas nécessairement avec la boule ferméeB0(a;r)(on pourra considérer dans
(R2;jj:jj¥),E= [0;1]f0g[f0g[0;1]et la boule centrée en(12 ;0)de rayon 1=2). (E;jj:jj)un espace vectoriel normé. 1. Montrer que dans ce cas la boule fermée B0(a;r)est l"adhérence de la boule ouverteB(a;r). 2.Montrer que B(a;r)B(b;R)()r6Retjjabjj6Rr.
1 1. Si (x;y)2R2, on posejj(x;y)jj=max(jx+yj;jx2yj). Montrer qu"il s"agit d"une norme surR2et dessiner sa boule unité fermée. 2. Soit p;qdeux normes surRn,BpetBqleurs boules unités fermées. Montrer que B qBp()p6q:Que signifie
12BpBq2Bp? Exemples.
On noteX=l¥l"espace des suites réelles bornées, etY=c0l"espace des suites réelles tendant vers 0, tous
deux munis de la métrique (à vérifier)d(x;y) =supnjx(n)y(n)j. Montrer queYest fermé dansX. Montrer
que l"ensemble des suites nulles à partir d"un certain rang est dense dansYmais pas dansX.SoitE=ff2C1([0;1];R);f(0) =0g. On pose
jjfjj=sup06x61jf(x)+f0(x)j;etN(f) =sup
06x61jf(x)j+sup
06x61jf0(x)j:
Montrer que ce sont deux normes équivalentes surE. On désigne pard(a;b)la distance euclidienne usuelle dea;b2R2et on pose d(a;b) =d(a;b)sia;bsont alignés avec l"origineO d(0;a)+d(0;b)sinon 1. Montrer que dest une distance surR2("distance SNCF") plus fine que la distance usuelle. Dans la suite, on supposeR2muni de la topologie associée àd. 2. Soit Hle demi-planf(x;y);y>0g; montrer queHest un ouvert ; déterminerH. 3. Quelle est la topologie induite sur une droite v ectorielle;sur le cercle unité G? 4.Lesquelles des transformations sui vantessont continues : homothéti esde centre O; rotations de centre
O; translations ?
1.Montrer que jjfjj¥=sup06x61jf(x)jetjjfjj1=R1
0jf(t)jdtsont deux normes surC([0;1];R). Sont-elles
équivalentes ?
2. Les deux métriques associées sont-elles topologiquement équi valentes? 2SoitE=C1([0;1];R). ComparerlesnormesN1(f)=jjfjj¥;N2(f)=jjfjj¥+jjfjj1;N3(f)=jjf0jj¥+jjfjj¥;N4(f)=
jjf0jj1+jjfjj¥: Soit(xn)une suite d"un espace topologiqueXséparé; on noteAl"ensemblefx1;x2;:::g. 1.T outev aleurd"adhérence ade la suite est un point deA: donner un exemple oùaest un point isolé deA;
un exemple oùaest un point d"accumulation dansA; un exemple oùaest un point d"accumulation dansAnA.
2. Montrer que tout point d"accumulation de Aest valeur d"adhérence de la suite. SoitRnconsidéré comme groupe additif muni de sa topologie usuelle. SoitGun sous-groupe deRn. 1.On suppose que 0 est isolé dans G. Montrer que tout point est isolé, queGest discret et fermé dansRn.
On se restreint maintenant au casn=1.
2. Montrer qu"alors, Gest soitf0g, soit de la formeaZ,a>0. 3.Montrer que si 0 est point d"accumulation, Gest partout dense dansR. En déduire ainsi les sous-groupes
fermés deR. 4. On considère a=2Q; montrer queZ+aZest un sous-groupe dense deR. En déduire les valeurs d"adhérence de la suite(e2ipna)n2Z.Indication pourl"exer cice1 NVérifier que :
1. sup (A+B) =supA+supB; 2. sup (A[B) =max(supA;supB); 3. max (infA;infB)6sup(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?; 4. inf (A[B) =min(infA;infB); 5.max (infA;infB)6inf(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?;Indication pourl"exer cice2 NMontrer queJxest un intervalle ouvert ; queJx=JyouJx\Jy=?. Et penser queQest dénombrable.Indication pourl"exer cice3 NPour trouverm, que prendriez-vous si on voulait seulementm2R?Indication pourl"exer cice4 NRevenir à la définition de ce qu"est un "ensemble fermé" et de ce qu"est une "boule fermée".
Indication pour
l"exer cice7 NUne suite del¥est notée(xp)p2N, pour chaquep>0,xpest elle même une suitexp= (xp(0);xp(1);xp(2);:::).Indication pourl"exer cice8 NMontrer
•kfk6N(f); •kf0k¥6kfk¥+kfk; •kfk¥6kfk.Indication pourl"exer cice10 N•Montrer kfk16kfk¥. P arun contre-e xemple,montrer qu"il n"e xisteaucune constante C>0 tel quekfk¥6Ckfk1pour tout f.Indication pourl"exer cice11 NLes seules relations sont : N16N262N162N462N3:4
Correction del"exer cice1 N1.Aune partie non vide deR, unmajorantdeAest un réelM2Rtel que8x2A x6M:
SiAest un partie non vide et majorée, alors par définition supAest le plus petit des majorants. On a les
propriétés suivantes : (a) sup (A+B) =supA+supB; (b) sup (A[B) =max(supA;supB); (c) max (infA;infB)6sup(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?; (d) inf (A[B) =min(infA;infB); (e) max (infA;infB)6inf(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?;Prouvons les deux premières égalités,
(a) sup (A+B) =supA+supB: pour touta2Aetb2Bon aa6supAetb6supBdonca+b6 supA+supB, donc supA+supBest un majorant deA+Bet comme sup(A+B)est le plus petit des majorants deA+Balors sup(A+B)6supA+supB. Réciproquement, il existe une suite (an)d"éléments deAtel que cette suite converge vers supA, de même il existe une suite(bn) d"éléments deBqui converge vers supB, la suite(an+bn)est une suite d"éléments deA+Bqui converge vers supA+supB, donc la borne supérieure deA+Best plus grande que supA+supB, soit sup(A+B)>supA+supB. D"où l"égalité. (b) sup (A[B) =max(supA;supB): Remarquons d"abord que siPQalors supP6supQ: en effet supQest un majorant deQdonc deP(par l"inclusionPQ), donc le plus petit des majorants, supP, pourPest plus petit que le majorant particulier supQ. Appliquons ceci àAA[Bdonc supA6sup(A[B)et pourBA[Bon obtient supB6sup(A[B). On vient de prouver sup(A[ B)>max(supA;supB). Pour l"autre inégalité : soitM=max(supA;supB). Pourx2A[Balors soitx2Aet alorsx6supA6M, ou soitx2Bet alorsx6supB6M; donc quelque soitx2A[B, x6MdoncMest un majorant deA[B, donc sup(A[B)6M=max(supA;supB). 2. (a) d(0;RnQ) =0, regarder des éléments du typep2 n , pourn2N. (b)d(p2;Q) =0, c"est la densité deQdansRou alors regarder la suite définie paru0=1;un+1= 12 (un+2u n);n2N, qui est une suite de rationnels convergeant versp2. (c) On suppose que Dpasse par l"origine, alorsd(M;D) =x2+y2+z2(ax+by+cz)2.3.d(A;B) =0.
4. diam (]0;1[\Q) =1=mathrmdiam([0;1]\(RnQ)).Correction del"exer cice2 N1.Jxest un ouvert non vide car c"est une union d"ouverts contenantx. De plusJxest un intervalle car c"est
une union d"intervalles contenant tous le pointx. DoncJxest un intervalle ouvert. On peut donc écrire
O=[x2OJx. Mais cette union n"est pas nécessairement dénombrable. Tout d"abord siz2JxalorsJx=Jz. En effet soitIun intervalle inclus dansOcontenantxetz. Six02Jx, soitJun intervalle inclus dansOcontenantxetx0. AlorsI[Jest un intervalle (carxest dans les deux intervallesIetJ),I[Jest inclus dansOet contientx0etz. Doncx02Jz. DoncJxJz. Enfin comme z2Jxon a aussix2Jz, donc on montrerait de mêmeJzJx. DoncJx=Jz. Pourx;y2OalorsJx=JyouJx\Jy=?. En effet supposons queJx\Jy6=?et soitz2Jx\Jy. Comme z2JxalorsJx=Jz, commez2JyalorsJy=Jz. DoncJx=Jy. 5 Pour chaque intervalle ouvertJxil existeq2Q\Jx, avec bien sûrJx=Jq. CommeQest dénombrableO\Ql"est aussi. On a ainsi écrit
O=[ q2O\QJ q; ce qui était demandé. 2.Pour Rnon peut montrer le résultat suivant : tout ouvertOdeRns"écrit comme l"union dénombrable de
boules ouverte. On considéreJxl"union des boules ouvertes de rayon rationnel centrées enx, ensuite on
regarde seulement lesxappartenant àO\Qn. Par contrer on autorise deux boules à s"intersecter.Correction del"exer cice3 N1.Soient d=p+qp2 etd0=p0+q0p2 deux éléments deD. Alorsd+d0= (p+p0)+(q+q0)p2 est un
élément deDetdd0= (pp0+2qq0)+(pq0+p0q)p2 aussi. 2. On a u<1 doncuktend vers 0 quandktend vers+¥. Donc poure=ba, il existen2Ntel que sik>n on aukboule fermée est un ensemble ouvert. Il est vivement conseillé de faire un dessin. SoitC=EnB0(a;r).
Soitx2C, on cherche une boule ouverteB(x;e)contenue dansC. Commex2C,x=2B0(a;r)donc d(a;x)>r. Soitetel que 0Et doncCest un ouvert.
2.Pour a=(12
;0)etr=12 on aB0(a;r)=[0;1]f0g[f0g[0;12 ],B(a;r)=]0;1[f0getB(a;r)=[0;1]f0g.Correction del"exer cice5 N1.On note B=B(a;r),B0=B0(a;r),¯B=B(a;r). Il faut montrerB0=¯B.B0est une boule fermée, donc un
fermé contenantB, alors que¯Best le plus petit fermé contenantB, donc¯BB0.Étudions l"inclusion inverse: soitx2B0, il faut montrerx2¯B. Six2Balorsx2¯B, supposons donc que
x=2B, alorskxak=r. SoitB(x;e)un boule centrée enx.xest adhérent àBsiB(x;e)\Best non vide quelque soite>0. Fixonse>0 et soit le point y=xe2 xakxak: Faire un dessin et placerysur ce dessin. D"une party2B(x;e)carkyxk=e=2Pour le sens). Soit
x=a+rabkabk; alorskxak=rdoncx2¯B(a;r), doncx2¯B(b;R), donckxbk6Rorkxbk=kabk+r(c"est le même calcul que pour la question précédente). Donckabk+r6R, soit 06kabk6Rret enparticulierr6R.Correction del"exer cice6 N1.(a) Si jj(x;y)jj=0 alors max(jx+yj;jx2yj) =0 doncx+y=0 etx2y=0 doncx=0 ety=0.
Réciproquementk(0;0)k=0.
(b)jjl:(x;y)jj=jj(lx;ly)jj=max(jlx+lyj;jlx2lyj) =jljmax(jx+yj;jx2yj) =jlj:jj(x;y)jj. yLa boule unité fermée centrée à l"origine est la région du plan comprise entre les droites d"équations
x+y= +1,x+y=1,x2y= +1,x2y=1. 2. Sens (: Six2Bqalorsq(x)61 doncp(x)61 doncx2Bp. Sens): Soitx2Rnnf0galorsq(xq(x))=1 donc xq(x)2Bqdoncxq(x)2Bpdoncp(xq(x))61 soirp(x)6q(x). Ceci étant aussi valable pourx=0. B q2Bpest équivalent àp(x)62q(x)pour toutx2Rn(attention au sens !). Et12BpBqest équivalent
12 q(x)6p(x). Si les deux inclusions sont vraies alors12 p6q62pet en particulier les normespetq sont équivalentes. Par exemple dansR2pour les normesk:k1,k:k2,k:k¥On a B1B2B¥2B12B2 Correction del"exer cice7 N1.Une suitedel¥estnotée(xp)p2N, pourchaquep>0,xpestellemêmeunesuitexp=(xp(0);xp(1);xp(2);:::).
(Il convient de garder la tête froide : on regarde des suites de suites !) Il faut montrer queYest fermé dans
X. Soit donc(xp)une suite deYqui converge versx2X. Il faut donc montrer qu"en faitx2Y, c"est-à- dire quex=(x(0);x(1);:::)est une suite tendant vers 0. Soite>0 commexp!xalors il existePtel que sip>Pon aitd(xp;x)[PDF] topologie exercices corrigés l2
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