[PDF] Mathématiques appliquées à l'Économie et à la Gestion





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Exercices de mathématiques - Exo7

de Gauss en inversant la matrice des coefficients



Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct

Solution : Dans l'exercice précédent on a vu que le déterminant de en utilisant les formules de Cramer puis la méthode de Gauss.



Systèmes linéaires

Méthode 3 – méthode de Gauss ou méthode du pivot . Méthode 4 – méthode de Cramer . ... Exercices corrigés .



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8 mars 2018 Exercice 2 – K = R. Nous consid`erons l'équation linéaire : 2x1 + x2 - x3 - 4x4 = 5. 1) Qu'est ce qu'une ...



1re et 2e années

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LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

4- Exercice . 7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants . ... 9- Méthode alternative pour calculer les déterminants .



Université des Sciences et de la Technologie dOran Mohamed

Exercice 4-13. 84. 4-5 Méthode de Cramer Ce document propose un recueil d'exercices corrigés d'analyse numérique adressé aux.



Chapitre 1: Calculs matriciels

la méthode de Cramer. Exercice 1.5 : On considère les matrices suivantes : ... Exercice 1.7 : a) Calculer si possible



CTU Master Enseignement des Mathématiques Statistique

Ce polycopié contient le cours les sujets d'exercice et leurs corrigés ainsi que les La ?-méthode ou l'étude asymptotique d'un estimateur obtenu par la.



RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

Cependant la méthode de résolution elle-même n'est en aucun point modifiée. Page 11. Page 11 sur 11. Exercices. Résoudre les 



Mathématiques appliquées à l'Économie et à la Gestion

Exercice 1 1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coef?cients par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a les systèmes suivants : ˆ



FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr

1) Donner la dØmonstration ØlØmentaire des formules de Cramer dans le cas d™un syst?me de trois Øquations à trois 2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site



Feuille 1 : Exercices sur les systèmes linéaires quelques

3 Sinon (m 6= 0 et m 6= 1 ) le système est de Cramer et S= n 2(m2?2m?2) m(m?1) (m+1)(m?4) m(m?1) 4m+2 m(m?1) o (point) Exercice 3 a) (S) = ax+by +z = 1 x+aby +z = b x+by +az = 1 On utilise la méthode du pivot de Gauss On commence par e?ectuer une permutation des lignes de manière à avoir un pivot égal à 1 (S) ? x

  • Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer

    Contexte

  • Complément

    On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...

Comment appliquer la méthode de Cramer?

Résoudre le système suivant : On peut appliquer la méthode de Cramer du fait qu?on a 3 équations et 3 inconnues mais il faut vérifier que det A est non nul. La solution du système est donnée par (-2, 1, 2) Application : Résoudre le système suivant : Solution Résolution par la méthode du pivot de Gauss

Qui a conçu la méthode de Cramer ?

La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.

Comment prévenir les crampes lors des exercices ?

Une fois cet exercice réalisé, essayez de marcher sur les talons quelques minutes". N'oubliez pas de vous réhydrater en buvant de l’eau abondamment. Pour anticiper la survenue des crampes lors des exercices, il est conseillé de faire régulièrement des exercices d’étirement, de la marche ou du sport.

Qu'est-ce que le système de Cramer?

Le système AX=B (forme matricielle) est dit système de Cramer si A est une matrice carrée et det A est non nul. Dans ce cas le système de Cramer admet une solution unique vérifiant AX=B. 2- Résolution La résolution à l?aide de la méthode de Cramer n?est donc possible que dans le cas où le nombre d?équations est égal à celui des inconnues.

Exo7

Systèmes d"équations linéaires

Corrections d"Arnaud Bodin

Exercice 11.Résoudre de quatre manières dif férentesle système sui vant(par substitution, par la méthode du pi votde

Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) :

2x+y=1

3x+7y=2

2.

Choisir la méthode qui v ousparaît la plus rapide pour résoudre, selon les v aleursde a, les systèmes

suivants : ax+y=2 (a2+1)x+2ay=1 (a+1)x+ (a1)y=1 (a1)x+ (a+1)y=1

Résoudre les systèmes suivants

8< :x+yz=0 xy=0 x+4y+z=08 :x+y+2z=5 xyz=1 x+z=38 :3xy+2z=a x+2y3z=b x+2y+z=c

Trouver les solutions de

8>>< >:3x+2z=0

3y+z+3t=0

x+y+z+t=0

2xy+zt=0

Étudier l"existence de solutions du système : 8< :ax+by+z=1 x+aby+z=b x+by+az=1: 1 Discuter et résoudre suivant les valeurs des réelsl,a,b,c,dle système : (S)8 >:(1+l)x+y+z+t=a x+(1+l)y+z+t=b x+y+(1+l)z+t=c x+y+z+(1+l)t=d Z 4

2P(x)dx=aP(2)+bP(3)+gP(4):

Indication pourl"exer cice6 NÉcrire les polynômes sous la formeP(x) =ax3+bx2+cx+d. CalculerR4

2P(x)dxd"une part etaP(2)+

bP(3)+gP(4)d"autre part. L"identification conduit à un système linéaire à quatre équations, d"inconnues

a;b;g.3

Correction del"exer cice1 N1.(a) Par substitution.La première équation s"écrit aussiy=12x. On remplace maintenantydans la

deuxième équation

3x+7y=2=)3x+7(12x) =2=)11x=9=)x=911

Onendéduity:y=12x=12911

=711 . Lasolutiondecesystèmeestdonclecouple(911 ;711 N"oubliez pas de vérifier que votre solution fonctionne ! (b)Par le pivot de Gauss.On garde la ligneL1et on remplace la ligneL2par 2L23L1:

2x+y=1

3x+7y=2()2x+y=1

11y=7 Onobtientunsystèmetriangulaire: onendéduity=711 etalorslapremièrelignepermetd"obtenir x=911 (c)Par les matrices.En terme matriciel le système s"écrit

AX=YavecA=2 1

3 7 X=x y Y=1 2 On trouve la solution du système en inversant la matrice :

X=A1Y:

L"inverse d"une matrice 22 se calcule ainsi

siA=a b c d alorsA1=1adbc db c a Il faut bien sûr que le déterminant detA=a b c d =adbcsoit différent de 0.

Ici on trouve

A 1=111 71
3 2 etX=A11 2 =111 9 7

(d)Par les formules de Cramer.Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les

suivantes si le déterminant vérifieadbc6=0 : ax+by=e cx+dy=f=)x= e b f d a b c d ety= a e c f a b c d

Ce qui donne ici :

x= 1 1 2 7 2 1 3 7 911
ety= 2 1 32
2 1 3 7 =711 2. (a)

A vanttout on re gardes"il e xisteune solution unique, c"est le cas si et seulement si le déterminant

est non nul. Pour le premier système le déterminant esta1 a

2+1 2a

=a21 donc il y a une unique solution si et seulement sia6=1.

Biensûrtouteslesméthodesconduisentaumêmerésultat! Parexempleparsubstitution, enécrivant

la première ligney=2ax, la deuxième ligne devient(a2+1)x+2a(2ax) =1. On en déduit que sia6=1 alorsx=4a1a

21puisy=2a2+a2a

21.
4 Traitons maintenant les cas particuliers. Sia=1 alors le système devient :x+y=2

2x+2y=1

Mais on ne peut avoir en même tempsx+y=2 etx+y=12 . Donc il n"y a pas de solution.

Sia=1 alors le système devient :x+y=2

2x2y=1et il n"y a pas de solution.

(b)

Ici le déterminant est

a+1a1 a1a+1 = (a+1)2(a1)2=4a. Sia6=0 alors on trouve la solution unique(x;y). Par exemple avec la formule de Cramer x= 1a1 1a+1

4a=12aety=

a+1 1 a1 1

4a=12a:

Sia=0 il n"y a pas de solution.Correction del"exer cice2 N1.Remarquons que comme le système est homogène (c"est-à-dire les coef ficientsdu second membre sont

nuls) alors(0;0;0)est une solution du système. Voyons s"il y en a d"autres. Nous faisons semblant

de ne pas voir que la seconde ligne impliquex=yet que le système est en fait très simple à résoudre.

Nous allons appliquer le pivot de Gauss en faisant les opérations suivantes sur les lignesL2 L2L1et

L

3 L3L1:

8< :x+yz=0 xy=0 x+4y+z=0()8 :x+yz=0

2y+z=0

3y+2z=0

On fait maintenantL3 2L3+3L2pour obtenir :

8< :x+yz=0

2y+z=0

7z=0 En partant de la dernière ligne on trouvez=0, puis en remontanty=0, puisx=0. Conclusion l"unique solution de ce système est(0;0;0). 2.

On applique le pi votde Gauss L2 L2L1etL3 L3L1:

8< :x+y+2z=5 xyz=1 x+z=3()8 :x+y+2z=5

2y3z=4

yz=2

PuisL3 2L3L2pour obtenir un système équivalent qui est triangulaire donc facile à résoudre :

8< :x+y+2z=5

2y3z=4

z=0()8 :x=3 y=2 z=0 On n"oublie pas de vérifier que c"est une solution du système initial. 3. On f aitles opérations L2 3L2+L1etL3 3L3L1pour obtenir : 8< :3xy+2z=a x+2y3z=b x+2y+z=c()8 :3xy+2z=a

5y7z=3b+a

7y+z=3ca

5 Puis on faitL3 5L37L2, ce qui donne un système triangulaire : 8< :3xy+2z=a

5y7z=3b+a

54z=5(3ca)7(3b+a)

En partant de la fin on en déduit :z=154

(12a21b+15c)puis en remontant cela donne 8< :x=118 (8a+5bc) y=118 (2a+b+7c) z=118 (4a7b+5c)Correction del"exer cice3 NOn commence par simplifier le système : on place la ligne L3en première position pour le pivot de Gauss ; on réordonne les v ariablesdans l"ordre : y;t;x;zpour profiter des lignes déjà simples. 8>>< >:y+t+x+z=0

3y+3t+z=0

yt+2x+z=0

3x+2z=0

On commence le pivot de Gauss avec les opérationL2 L23L1etL3 L3+L1pour obtenir : 8>>< >:y+t+x+z=0

3x2z=0

3x+2z=0

3x+2z=0

Les 3 dernières lignes sont identiques, on se ramène donc à un système avec 2 équations et 4 inconnues :

y+t+x+z=0

3x+2z=0

Nous choisissonsxetycomme paramètres, alorsz=32 xett=xyz=12 xy. Les solutions du système sont donc les x;y;z=32 x;t=12

xyjx;y2RCorrection del"exer cice4 N1.Pour éviter d"a voirà di viserpar aon réordonne nos lignes puis on applique la méthode du pivot :

8< :x+by+az=1L1x+aby+z=bL2ax+by+z=1L3()8 :x+by+az=1L1b(a1)y+ (1a)z=b1L2 L2L1b(1a)y+ (1a2)z=1aL3 L3aL1 On fait ensuiteL3 L3+L2pour obtenir un système triangulaire équivalent au système initial : 8