Exercices de mathématiques - Exo7
de Gauss en inversant la matrice des coefficients
Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct
Solution : Dans l'exercice précédent on a vu que le déterminant de en utilisant les formules de Cramer puis la méthode de Gauss.
Systèmes linéaires
Méthode 3 – méthode de Gauss ou méthode du pivot . Méthode 4 – méthode de Cramer . ... Exercices corrigés .
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8 mars 2018 Exercice 2 – K = R. Nous consid`erons l'équation linéaire : 2x1 + x2 - x3 - 4x4 = 5. 1) Qu'est ce qu'une ...
1re et 2e années
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LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
4- Exercice . 7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants . ... 9- Méthode alternative pour calculer les déterminants .
Université des Sciences et de la Technologie dOran Mohamed
Exercice 4-13. 84. 4-5 Méthode de Cramer Ce document propose un recueil d'exercices corrigés d'analyse numérique adressé aux.
Chapitre 1: Calculs matriciels
la méthode de Cramer. Exercice 1.5 : On considère les matrices suivantes : ... Exercice 1.7 : a) Calculer si possible
CTU Master Enseignement des Mathématiques Statistique
Ce polycopié contient le cours les sujets d'exercice et leurs corrigés ainsi que les La ?-méthode ou l'étude asymptotique d'un estimateur obtenu par la.
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
Cependant la méthode de résolution elle-même n'est en aucun point modifiée. Page 11. Page 11 sur 11. Exercices. Résoudre les
Mathématiques appliquées à l'Économie et à la Gestion
Exercice 1 1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coef?cients par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a les systèmes suivants : ˆ
FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr
1) Donner la dØmonstration ØlØmentaire des formules de Cramer dans le cas d™un syst?me de trois Øquations à trois 2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site
Feuille 1 : Exercices sur les systèmes linéaires quelques
3 Sinon (m 6= 0 et m 6= 1 ) le système est de Cramer et S= n 2(m2?2m?2) m(m?1) (m+1)(m?4) m(m?1) 4m+2 m(m?1) o (point) Exercice 3 a) (S) = ax+by +z = 1 x+aby +z = b x+by +az = 1 On utilise la méthode du pivot de Gauss On commence par e?ectuer une permutation des lignes de manière à avoir un pivot égal à 1 (S) ? x
Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer
Contexte
Complément
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...
Comment appliquer la méthode de Cramer?
Résoudre le système suivant : On peut appliquer la méthode de Cramer du fait qu?on a 3 équations et 3 inconnues mais il faut vérifier que det A est non nul. La solution du système est donnée par (-2, 1, 2) Application : Résoudre le système suivant : Solution Résolution par la méthode du pivot de Gauss
Qui a conçu la méthode de Cramer ?
La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.
Comment prévenir les crampes lors des exercices ?
Une fois cet exercice réalisé, essayez de marcher sur les talons quelques minutes". N'oubliez pas de vous réhydrater en buvant de l’eau abondamment. Pour anticiper la survenue des crampes lors des exercices, il est conseillé de faire régulièrement des exercices d’étirement, de la marche ou du sport.
Qu'est-ce que le système de Cramer?
Le système AX=B (forme matricielle) est dit système de Cramer si A est une matrice carrée et det A est non nul. Dans ce cas le système de Cramer admet une solution unique vérifiant AX=B. 2- Résolution La résolution à l?aide de la méthode de Cramer n?est donc possible que dans le cas où le nombre d?équations est égal à celui des inconnues.
Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct
Exercice III.1Ch3-Exercice1
Calculer les déterminants suivants :
¯¯¯a c
b d¯¯¯¯,¯¯¯¯3a c
3b d¯
¯¯¯¯¯4 2 3
0 3 40 0 5¯
¯¯¯¯¯4 2 3
0 1 24 1 2¯
¯¯¯¯¯4 3 2
0 2 14 2 1¯
¯¯¯¯¯1 2 2
3 1 14 1 1¯
¯¯¯¯¯4 2 3¸
0 1 2¸
4 1 2¸¯
Solution:¯¯¯¯a c
b d¯¯¯¯AEad¡bc;
¯¯¯3a c
3b d¯
¯¯¯AE3(ad¡bc);
¯¯¯¯¯4 0 0
2 3 03 4 5¯
¯¯¯¯¯AE4£3£5;
¯¯¯¯¯4 2 3
0 1 24 1 2¯
¯¯¯¯¯AE¡¯
¯¯¯¯¯4 3 2
0 2 14 2 1¯
¯¯¯¯¯AE4;
¯¯¯¯¯1 2 2
3 1 14 1 1¯
¯¯¯¯¯AE0;
¯¯¯¯¯4 2 3¸
0 1 2¸
4 1 2¸¯
¯¯¯¯¯AE4¸.Exercice III.2Ch3-Exercice2 1.C onsidéronsunematriceA2Mn,ntriangulaireinférieure(ai jAE0pouriÇj),enutilisantladéfinition
du déterminant montrer que detAAEnY iAE1a ii.E ndédui req ue:
pou rles mat ricesdiag onales( ai jAE0 pouri6AEj) on a aussi detAAEnY iAE1a ii, l am atricei dentitéa pou rdét erminantd etIAE1. 2. S iAest la matrice dont les termes sont les conjugués de ceux deAalors detAAEdetA. Solution: Dans l"exercice précédent on a vu que le déterminant de¯¯¯¯¯¯4 0 0
2 3 03 4 5¯
se généralise très facilement à une matrice triangulaire inférieure quelconque (on peut faire un raisonnement
par récurrence). Evidemment on en déduit les résultats sur les matrices diagonales et sur la matrice identité.
Il est évident en utilisant la définition que detAAEdetA. On utilise en particulier les propriétés bien connues
sur les complexes conjugués à savoir, le conjugué d"une somme est la somme des conjugués, le conjugué
d"un produit est le produit des conjugués.Exercice III.3Ch3-Exercice3
Si { ~e1,~e2, ...,~en} sont les vecteurs de la baseEde référence, montrer que det ( ~e1,~e2,...,~en)AE1. Solution: det (~e1,~e2,...,~en)AEdetIAE1Exercice III.4Ch3-Exercice4 1.L "espacevectorieldespolynômesdedegréinférieurouégalà2estmunidelabasecanonique{p0,p1,p2}
considérée comme base de référence, on définit les polynômesp,q,rpar calculer det (p,q,r). 2.O nchoisitmaintenantcommebasederéférencelabase{p0,q1,p2},avecq1(t)AE2t¡1,calculerdet (p,q,r).
Solution:
1. det (p,q,r)AE¯¯¯¯¯¯4¡1 2
6 2 43 1¡1¯
¯¯¯¯¯AE¡42
2. A prèsident ificationon obt ientles comp osantesde p,q,rsur la base {p0,q1,p2}. det (p,q,r)AE¯¯¯¯¯¯7 0 4
3 1 23 1¡1¯
¯¯¯¯¯AE¡21Exercice III.5Ch3-Exercice5Démontrer, à partir de la définition du déterminant par récurrence, l"égalité suivante :
det (A1,...,Ak¡1,BÅC,AkÅ1,...,An)AEdet (A1,...,Ak¡1,B,AkÅ1,...,An)Å det (A1,...,Ak¡1,C,AkÅ1,...,An). Solution: La démonstration se fait par récurrence sur la dimension de la matrice : - pournAE1, c"est évident, - supposons la propriété vraie à l"ordren¡1, soitA1,A2,...,Ak¡1,AkÅ1,...,An,B,C2Mn,1; on noteBAE(A1,...,Ak¡1,B,AkÅ1,...,An),
CAE(A1,...,Ak¡1,C,AkÅ1,...,An)
La définition du déterminant donne :
det˜AAEX
En effet
Pourj6AEk, la matrice˜Aj1,jj2Mn¡1,n¡1donc, par hypothèse de récurrence, on a detDe plus
det˜BAEX
det˜CAEX
Il suffit maintenant de remarquer que les matrices ˜Aj1,kj,˜Bj1,kj,˜Cj1,kjsont identiques donc elles ont le même déterminant. On obtient alors le résultat : det ˜AAEdet˜BÅdet˜CExercice III.6Ch3-Exercice6 Montrer que siAa une colonne nulle, alors detAAE0. Solution: Si la colonneAkdeAest nulle, si on noteBla matrice dont les colonnes sont A1,A2,...,Ak¡1,¡Ak,AkÅ1,...,An, on a detBAE¡detAà cause de la linéarité, d"autre partAAEBdonc
detAAEdetBdonc detAAE¡detAdonc detAAE0.Exercice III.7Ch3-Exercice7 Démontrer la proposition suivante : SiA2Mn,n,¸2Kalors (det¸A)AE¸ndetASolution: det (¸A)AEdet (¸A1¸A2...¸An)AE¸det (A1¸A2...¸An)AE¸2det (A1A2¸A3...¸An)AE
ndet (A1A2A3...An)AE¸ndet (A)Exercice III.8Ch3-Exercice8Reprendre les exemples de l"exercice
III.1 et i llustrerles r ésultatsdu p aragraphe"Déterminant et colonnes
adjacentesExercice III.9Ch3-Exercice9
SoitCune matrice appartenant àM33, on notedAEdet (C). Exprimer à l"aide dedles déterminants suivants :
det (C1C3C2),det (C3C2C1),det (C2C1C3),det (C2C3C1),det (C3C1C2). Solution: det (C1C3C2)AEdet (C3C2C1)AEdet (C2C1C3)AE¡d( un échange ). det (C2C3C1)AE¡det (C2C1C3)AEd( 2 échanges) de même det (C3C1C2)AEdExercice III.10Ch3-Exercice10 SoientCetBdeux matrices appartenant àM33. On suppose que C 1AEP3 iAE1°i1Bi,C2AEP3 jAE1°j2Bj,C3AEP3 kAE1°k3Bk on notedAEdetB 1. Dé terminerdet ( B1B2C3) et det (B1B3C3) en fonction ded. 2.E ndéd uiredet ( B1C2C3) en fonction ded.
3. C alculerde f açonsimi lairedet ( B2C2C3) et det (B3C2C3).4.E nd éduirequ edet ( C1C2C3)AE¸det (B1B2B3) où¸est un coefficient à déterminer.
5.L orsqueBAEI, quels sont les termes de la matriceC? Vérifier que le résultat trouvé précédemment est
correct .Solution:
1. det (B1B2C3)AE3X kAE1° k3det (B1B2Bk)AE°33d, det (B1B3C3)AE°23det (B1,B3B2)AE¡°23d. 2. det ( B1C2C3)AE°22det (B1B2C3)Å°32det (B1B3C3)AE(°22°33¡°32°23)d 3. det ( B2C2C3)AE(°32°13¡°12°33)d, det (B3C2C3)AE(°12°23¡°22°13)d 4. det ( C1C2C3)AE°11det (B1C2C3)Å°21det (B2C2C3)Å°31det (B3C2C3)AE¸davec 5.S iBAEI,dAE1 on a donc detCAE¸.
dans ce cas les termes de la matriceCsont alors les°i j, on a donc detCAE¯11°12°13
21°22°23
31°32°33¯
On retrouve bien detCAE¸.Exercice III.11Ch3-Exercice11 Soit¿une transposition, montrer que¿¡1AE¿.Exercice III.12Ch3-Exercice12
1.M ontrerqu e3 des 6 per mutationsde S3sont des transpositions, on notera ces transpositions¾1,¾2,¾3.
2.O nnote ¾0,¾4,¾5les 3 autres permutations. Montrer pour chacune d"elles qu"elle peut s"écrire comme
composée de transpositions et ceci de plusieurs manières différentes : trouver à chaque fois au moins
deux décompositions. 3. Q uelleest l as ignaturede ch acunedes p ermutations? 4.S oitA2Mnn, on définit les matricesBetCpar
Exprimer detB,detCà l"aide de detA.
Solution:
1.¾1:(1,2,3)7!(1,3,2),¾2:(1,2,3)7!(3,2,1),¾3:(1,2,3)7!(2,1,3) sont des transpositions.
2.¾0:(1,2,3)7!(1,2,3),¾0AE¾2±¾2AE¾3±¾2±¾2±¾3, entre autres!
4:(1,2,3)7!(2,3,1),¾4AE¾2±¾3AE¾1±¾2AE¾1±¾3±¾3±¾2... etc.
5:(1,2,3)7!(3,1,2),¾5AE¾3±¾2AE¾2±¾1AE¾1±¾3... etc.
4.BAE(A3A2A1),CAE(A2A3A1)
detBAE¡det (A1A2A3)AE¡detA detCAE¡detBAEdetAExercice III.13Ch3-Exercice13
Dans le cas particuliernAE3, vérifier les propriétés suivantes : 1.S i¿est une transposition,²(¿)AE¡1.
3.²(¾¡1)AE²(¾),8¾2Sn.
4. det ¡A¾(1),...,A¾(n)¢AE²(¾)det(A1,...,An).Solution: Reprenez la table écrite dans le TD1, les résultats de l"exercice précédent et vérifiez que :
²(¿)AE¡1;
²(¾¡1)AE²(¾);
det (A¾i(1),A¾i(2),A¾i(3))AE²(¾i)detApouriAE2,4 .Exercice III.14Ch3-Exercice14SoitA2M33, vérifier que l"on a :
detAAEXSolution: Le déterminant deAest égal à :
a11a22a33|{z}
¡a11a32a23|{z}
Åa21a32a13|{z}
¡a21a12a33|{z}
Åa31a12a23|{z}
¡a31a22a13|{z}
a¾0(1)1a¾0(2)2a¾0(3)3¡a¾1(1)1a¾1(2)2a¾1(3)3Åa¾4(1)1...¡a¾3(1)1...Åa¾5(1)1...¡a¾2(1)1...Exercice III.15Ch3-Exercice15
Calculer les déterminants suivants :¯
¯¯¯¯¯1 0 3
2 4 33 0 1¯
¯¯¯¯¯1 2 3
4 5 70 3 0¯
Solution:¯¯¯¯¯¯1 0 3
2 4 33 0 1¯
¯¯¯¯¯AE4¯¯¯¯1 3
3 1¯
¯¯¯AE¡32;
¯¯¯¯¯1 2 3
4 5 70 3 0¯
¯¯¯¯¯AE¡3¯¯¯¯1 3
4 7¯
¯¯¯AE15.
Pour le premier déterminant on a développé suivant la 2e colonne, pour le deuxième déterminant on a
développé selon la 3e ligne.Exercice III.16Ch3-Exercice16
1.O npeut c alculerl edét erminant¯
¯¯¯¯¯1 2 3
3 2 12 1 3¯
¯¯¯¯¯en effectuant les étapes :
¯¯¯¯¯1 2 3
3 2 12 1 3¯
¯¯¯¯¯AE¯
¯¯¯¯¯6 2 3
6 2 16 1 3¯
¯¯¯¯¯AE6¯
¯¯¯¯¯1 2 3
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