Exercices de mathématiques - Exo7
de Gauss en inversant la matrice des coefficients
Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct
Solution : Dans l'exercice précédent on a vu que le déterminant de en utilisant les formules de Cramer puis la méthode de Gauss.
Systèmes linéaires
Méthode 3 – méthode de Gauss ou méthode du pivot . Méthode 4 – méthode de Cramer . ... Exercices corrigés .
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8 mars 2018 Exercice 2 – K = R. Nous consid`erons l'équation linéaire : 2x1 + x2 - x3 - 4x4 = 5. 1) Qu'est ce qu'une ...
1re et 2e années
Fiches méthode. ? Exercices d'entraînement. ? Sujets de concours. ? Tous les corrigés détaillés. ? Simulations avec Scilab.
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
4- Exercice . 7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants . ... 9- Méthode alternative pour calculer les déterminants .
Université des Sciences et de la Technologie dOran Mohamed
Exercice 4-13. 84. 4-5 Méthode de Cramer Ce document propose un recueil d'exercices corrigés d'analyse numérique adressé aux.
Chapitre 1: Calculs matriciels
la méthode de Cramer. Exercice 1.5 : On considère les matrices suivantes : ... Exercice 1.7 : a) Calculer si possible
CTU Master Enseignement des Mathématiques Statistique
Ce polycopié contient le cours les sujets d'exercice et leurs corrigés ainsi que les La ?-méthode ou l'étude asymptotique d'un estimateur obtenu par la.
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
Cependant la méthode de résolution elle-même n'est en aucun point modifiée. Page 11. Page 11 sur 11. Exercices. Résoudre les
Mathématiques appliquées à l'Économie et à la Gestion
Exercice 1 1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coef?cients par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a les systèmes suivants : ˆ
FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr
1) Donner la dØmonstration ØlØmentaire des formules de Cramer dans le cas d™un syst?me de trois Øquations à trois 2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site
Feuille 1 : Exercices sur les systèmes linéaires quelques
3 Sinon (m 6= 0 et m 6= 1 ) le système est de Cramer et S= n 2(m2?2m?2) m(m?1) (m+1)(m?4) m(m?1) 4m+2 m(m?1) o (point) Exercice 3 a) (S) = ax+by +z = 1 x+aby +z = b x+by +az = 1 On utilise la méthode du pivot de Gauss On commence par e?ectuer une permutation des lignes de manière à avoir un pivot égal à 1 (S) ? x
Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer
Contexte
Complément
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...
Comment appliquer la méthode de Cramer?
Résoudre le système suivant : On peut appliquer la méthode de Cramer du fait qu?on a 3 équations et 3 inconnues mais il faut vérifier que det A est non nul. La solution du système est donnée par (-2, 1, 2) Application : Résoudre le système suivant : Solution Résolution par la méthode du pivot de Gauss
Qui a conçu la méthode de Cramer ?
La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.
Comment prévenir les crampes lors des exercices ?
Une fois cet exercice réalisé, essayez de marcher sur les talons quelques minutes". N'oubliez pas de vous réhydrater en buvant de l’eau abondamment. Pour anticiper la survenue des crampes lors des exercices, il est conseillé de faire régulièrement des exercices d’étirement, de la marche ou du sport.
Qu'est-ce que le système de Cramer?
Le système AX=B (forme matricielle) est dit système de Cramer si A est une matrice carrée et det A est non nul. Dans ce cas le système de Cramer admet une solution unique vérifiant AX=B. 2- Résolution La résolution à l?aide de la méthode de Cramer n?est donc possible que dans le cas où le nombre d?équations est égal à celui des inconnues.
![1re et 2e années 1re et 2e années](https://pdfprof.com/Listes/18/5223-189782311400564.pdf.pdf.jpg)
VUIBERTSOMMAIRE
Première année : Premier semestre
1. Nombre - Topologie de ℝ et géométrie dans ℝ
2 - 2. Calcul algébrique et représentation graphiquede fonctions usuelles - 3. Éléments de logique - 4. Ensembles et cardinaux - 5. Calcul matriciel
- 6. Systèmes d"équations linéaires - 7. Suites de référence et convergence - 8. Polynômes à une
indéterminée - 9. Limites et continuité - Étude locale - 10. Fonctions numériques - Étude globale
- 11. Fonctions usuelles - 12. Probabilités niesPremière année : Deuxième semestre
13. Dérivabilité, convexité et fonctions réciproques - 14. Intégration - 15. Séries numériques - 16. Espace
vectoriel ? n,1(ℝ) - 17. Espaces probabilisés - 18. Variables aléatoires discrètes - 19. Variables à densité (1)
Deuxième année : Troisième semestre
20. Espaces vectoriels - 21. Applications linéaires - 22. Réduction des endomorphismes et des matrices
carrées - 23. Suites et séries - Compléments - 24. Comparaison des fonctions et développements
limités - 25. Intégrales impropres - 26. Couples aléatoires discrets - Suites de variables aléatoires
Deuxième année : Quatrième semestre
27. Fonctions de deux variables (1) - 28. Fonctions de deux variables (2) - 29. Variables à densité (2) -
30. Convergence - 31. Estimateurs et estimations.
Sujets incontournables aux concours : A. Fonctions génératrices - B. Processus de PoissonAnnexe : Scilab
Les auteurs :
Bénédicte Bourgeois est professeur en classe préparatoire économique et commerciale au lycée Notre-Dame du
GrandChamp à Versailles.
François Delaplace est professeur en classe préparatoire économique et commerciale au lycée Notre-Dame du
GrandChamp à Versailles.
Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classe préparatoire économique et commerciale au lycée Notre-Dame du
GrandChamp à Versailles.
Émily Tournesac est professeur en classe préparatoire économique et commerciale au lycée Antonin Artaud à Marseille.ISBN : 978-2-311-40056-4
, des ouvrages pour faire la différence : - l"essentiel du cours et des applications pour acquérir les connaissances indispensables, - de nombreux exercices d"entraînement et sujets de concours intégralement corrigés pour se mettre en situation d"épreuve, - des ches méthode pour acquérir les bons ré exes, - des annexes pour maîtriser les simulations avec Scilab.MATHS ECE
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Sicogif Certified PDF LES PAOISTES
hh" 2014/6/19 15:40 page iii #1Avant-propos
Pour aborder sereinement les concours à l"issue de ses deux années de classe préparatoire, l"étu-diant doit maîtriser le calcul algébrique sous toutes ses formes : les deux premiers chapitres sont
consacrés à la révision de cette notion, exploitée dans le reste de l"ouvrage. À partir du chapitre 3, il ne s"agit plus de réviser mais bien d"entamer les notions fondamen- tales du programme, caractérisé par un enseignement en spirale et une ouverture aux notionsannexes, tout en respectant la division semestrielle. On trouvera dans l"ouvrage :-L"essentiel du cours, résumant, dans chaque chapitre, les connaissances indispensables et
complété par de nombreux exemples et exercicesd"application corrigés. Ils sont destinésà démontrer une propriété ou à présenter son utilisation. Le programme n"étant pas uni-
quement constitué de dénitions ou de théorèmes directement applicables en exercices, cer-
taines propriétésprochessont àdémontrer parl"étudiantou préciséesdansles énoncés pourpermettre la résolution de problèmes. Le cours a donc été conçu en prenant en compte ces
propriétés "adhérentes au programme»; -Desexercices corrigés variésqui recouvrent de nombreuses situations. Pour un travail pro-table, l"étudiant doit repérer les connaissances et les méthodes qui lui manquent; de façon
fréquente, les corrigés sont volontairement sommaires, conçus tels pour permettre à l"étu-diant de fournir le travail nécessaire à sa progression par la rédaction des calculs et des
raisonnements;-Desfiches méthode, regroupées à la fin de chaque semestre, sont destinées à aider l"étu-
diant à rédigerses propresches. Ces ches recouvrentprincipalement les thèmes d"algèbre linéaire, qui posent généralement des difcultés de synthèse; -Dessujets incontournables aux concoursqui regroupent deux des grands thèmes princi- paux à connaître.-Dessimulations sur Scilab, présentes dans les chapitres où le logiciel peut être utilisé mais
surtout dans un chapitre annexe à la n de l"ouvrage. Elles permettent de recouvrir les situa-tions les plus diverses. Ces simulations ont pour but de présenter des séquences d"instruc-tions répondant aux problèmes simplement, sans chercher à écrire des programmes com-
plexes qui mettent davantage en avant le côté technique, au détriment du côté pratique.
Nous tenons à remercier toutes les personnes qui ont largement contribué à la réalisation de cet
ouvrage : Danièle Peret-Gentil pour ses idées d"exercices et de méthodes, notamment en proba-
bilités, Claire Delaplace pour sa relecture et ses conseils sur la uidité de la lecture, et tous lesétudiants qui, par leur participation en cours et leurs questions, nous ont aidé dans notre rédac-
tion.Merci également à l"équipe des éditions Vuibert;c"est grâce à son écoute, ses conseils et sa grande
disponibilité que cet ouvrage a vu le jour. hh" 2014/6/19 15:40 page iv #2 hh" 2014/6/19 15:40 page v #3Table des matières
Avant-proposiii
Première année - Premier Semestre 1
1 Nombres - Topologie deRet géométrie dansR
2 31.1 Nombresréels............................................... 3
1.2 Topologie deR.............................................. 8
1.3 Géométrie deR
2 ............................................. 12 Énoncés..................................................... 16 Corrigés..................................................... 192 Calcul algébrique et représentation graphique de fonctions usuelles 27
2.1 Expressionsalgébriques ......................................... 27
2.2 Équationsetinéquations......................................... 30
2.3 Courbesdesfonctions .......................................... 40
Énoncés..................................................... 49 Corrigés..................................................... 513 Éléments de logique59
3.1 Propositionsetconnecteurslogiques.................................. 59
3.2 Démonstrations.............................................. 63
Énoncés..................................................... 69 Corrigés..................................................... 724 Ensembles et cardinaux81
4.1 Référentielsetpartiesd"unensemble.................................. 81
4.2 Opérationsdansl"ensembledespartiesd"unensemble ....................... 83
4.3 Applications................................................ 86
4.4 Cardinaux ................................................. 90
Énoncés..................................................... 93 Corrigés..................................................... 975 Calcul matriciel107
5.1 Définitionsetgénéralités.........................................107
5.2 Matricesparticulières...........................................112
5.3 Opérationssurlesmatrices .......................................115
6 Systèmes d"équations linéaires 141
6.1 Systèmesd"équationslinéairesetmatrices...............................141
6.2 Systèmeséquivalents...........................................143
6.3 Résolutiond"unsystèmed"équationslinéaires ............................146
6.4 Systèmehomogène............................................150
7 Suites de référence et convergence 163
7.1 Suitesdéfiniesrécursivement ......................................163
7.2 Dénitions.................................................171
7.3 Suitesconvergentes............................................172
7.4 Variationsetnaturesdessuitesderéférence..............................174
7.5 Théorèmes.................................................175
hh" 2014/6/19 15:40 page vi #4 viTable des matières8 Polynômes à une indéterminée 187
8.1 Ensembledespolynômes ........................................187
8.2 Espace vectorielR[X]...........................................190
8.3 Algèbredespolynômes..........................................192
8.4 Arithmétiquedespolynômes ......................................194
8.5 Factorisation dansR[X].........................................198
9 Limites et continuité - Étude locale 213
9.1 Continuitéetlimite............................................213
9.2 Extensiondelanotiondelimite.....................................215
9.3 Asymptotesàlacourbed"unefonction.................................217
9.4 Opérationssurleslimites ........................................219
9.5 Théorèmes.................................................220
9.6 Calculdeslimites.............................................221
10 Fonctions numériques - Étude globale 237
11 Fonctions usuelles267
11.1Fonctionspolynomiales .........................................267
11.2Fonctionsrationnelles ..........................................269
11.3Fonctionslogarithmes ..........................................273
11.6Fonctionpartieentière,fonctionpartiedécimale ...........................286
12 Probabilités finies299
12.1Événements ................................................299
12.3 Loi de probabilité et probabilités....................................303
Fiches méthode - Semestre 1 325
Première année - Deuxième Semestre 347
13 Dérivabilité, convexité et fonctions réciproques 349
13.1 Dérivabilité en un point.........................................349
13.3Applicationsducalculdifférentiel ...................................359
hh" 2014/6/19 15:40 page vii #5Table des matièresvii
13.4Dérivéessuccessives ...........................................364
14 Intégration379
14.1Primitivesd"unefonctioncontinue-Fonctionsd"aireetintégrale .................379
14.2Fonctionscontinuesparmorceaux ...................................382
14.4Calculdesintégrales ...........................................388
15 Séries numériques413
15.2Sériesderéférence ............................................415
16 Espace vectorielM
n,1 (R)43316.1 Espace vectorielM
n,116.2 Sous-espace vectoriel deM
n,117 Espaces probabilisés457
17.1Tribu-Systèmecompletd"événements ................................457
17.2 Probabilité - Espace probabilisé.....................................459
18 Variables aléatoires discrètes 479
18.4Loisdiscrètesusuelles ..........................................484
19 Variables à densité (1)505
19.2Espérance .................................................510
hh" 2014/6/19 15:40 page viii #6 viiiTable des matièresFiches méthode - Semestre 2 537
Deuxième année - Troisième Semestre 561
20 Espaces vectoriels563
20.3 Familles génératrices et bases......................................565
20.4 Matrice d"une famille de vecteurs deR
n et deR n [X].........................56720.5 Familles libres et familles liées......................................568
20.6Basesetdimension ............................................571
21 Applications linéaires589
21.6 Isomorphisme entreL(E,F)etM
n,m (R)................................59822 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 623
22.1Réductiondesendomorphismes ....................................623
22.2Réductiondesmatricescarrées .....................................627
23 Suites et séries - Compléments 657
23.2Suitesdéniesparrécurrence-Compléments ............................661
23.3Séries-Compléments ..........................................669
24 Comparaison des fonctions et développements limités 687
24.1 Négligeabilité...............................................687
24.2Équivalents ................................................689
24.3Développementslimités .........................................693
25 Intégrales impropres713
25.1Intégralesimpropresdesfonctionspositives .............................713
hh" 2014/6/19 15:40 page ix #7Table des matièresix
26 Couples aléatoires discrets - Suites de variables aléatoires 741
26.2Suitesdevariablesaléatoires-Vecteursaléatoires ..........................749
Fiches méthode - Semestre 3 765
Deuxième année - Quatrième Semestre 809
27 Fonctions de deux variables (1) 811
27.1 Topologie deR
227.4Continuitéglobale ............................................821
28 Fonctions de deux variables (2) 841
28.2 Développement limité d"ordre 2 d"une fonction de classeC
2 ....................84428.3Extremasurunouvert ..........................................847
29 Variables à densité (2)867
29.5Suitesdevariablesaléatoires-Vecteursaléatoires ..........................877
30 Convergence891
30.1 Convergence en probabilité.......................................891
30.2Convergenceenloi ............................................892
31 Estimateurs et estimations915
31.1 Échantillons d"une loi de probabilité . . ................................915
31.2Estimateurs ................................................918
hh" 2014/6/19 15:40 page x #8 xTable des matièresFiches méthode - Semestre 4 951
Sujets incontournables aux concours 959
A Fonctions génératrices, suites et probabilités 961 A.1 Fonctionsgénératricesetsuites.....................................961 A.2 Fonctions génératrices et probabilités . . ................................968B Processus de Poisson985
Annexe 1011
Scilab1013
Environnement ................................................1013 Éditeur-Programmation ..........................................1021 Représentations graphiques.........................................1022 hh" 2014/6/19 15:40 page 141 #147CHAPITRE 6
Systèmes déquations linéaires
L'objectif de ce chapitre est de donner une méthode de résolution des systèmes linéaires vériant les deuxconditions suivantes :
?elle doit être universelle en ce sens qu'elle doit s'appliquer à tous les systèmes; ?elle doit donner exactement l'ensemble des solutions et non un ensemble de solutions possibles.La méthode qui sera décrite ici est la méthode de Gauss qui répond à ces deux exigences.
6.1 Systèmes déquations linéaires et matrices
6.1.1Système d"équations linéaires
On appelleéquation linéaire,uneéquationdelaforme: a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n =b oùa 1 ,a 2 ,...,a n ,bsont des réels donnés etx 1 ,x 2 ,...,x n des inconnues.Unsystème d"équations linéaires(S) est la donnée simultanée de plusieurs équations linéaires.Exemple
2xy+3z=1
x3y=2x2y+z
=0est un système de trois équations linéaires.Résoudrele système, c"est déterminer les valeurs dex,
yetzqui vérifient les trois égalités.Le système est dithomogènesi le second membre est nul, c"est-à-dire si le système est constitué
d"équations de la forme :a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n =06.1.2Matrice d"un système d"équations linéaires
Tout système d"équations linéaires(S)estéquivalentà une équation matricielle de la formeA.X=
B, qu"on écrit aussiAX=B,où:
?Aest la matrice des coefficients des inconnues; hh" 2014/6/19 15:40 page 142 #148142 Chapitre 6. Systèmes déquations linéaires
?X= x 1 x 2 x n est la matrice des inconnues,B= b 1 b 2 b m est la matrice du second membre.La matriceAest appeléematrice du système.
AX=Best parfois appeléeécriture matricielledu système(S)(ou écriturematricielleassociée
ausystème (S))eton ditaussique lesystème d"équations (S)estéquivalentàl"équation matricielle
AX=B.Exemple
Le système suivant :
2xy+3z=1
x3y=2x2y+z=0
est équivalent à l"équation matricielleAX=Bavec : A=213
130
121
X= x y z B= 1 2 06.1.3Ensemble des solutions d"un système
Soit un système d"équations linéaires (S) à coefficients dansRdont les inconnues sont notéesx
1 x 2 ,...,x n . On appelleensemble de solutionsSde (S), le sous-ensemble deR n constitué de toutes lesn-listes solutions du système. On notera queSn"est pas vide, car lan-liste(0,0,...,0)estunesolutiondeS. Par la suite,on confondra le système d"équations et son écriture matricielle, les solutions du système et les
matrices colonnes, solutions de l"équation matricielle du système.Propriété 1
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