[PDF] 1re et 2e années Fiches méthode. ? Exercices d'





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Exercices de mathématiques - Exo7

de Gauss en inversant la matrice des coefficients



Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct

Solution : Dans l'exercice précédent on a vu que le déterminant de en utilisant les formules de Cramer puis la méthode de Gauss.



Systèmes linéaires

Méthode 3 – méthode de Gauss ou méthode du pivot . Méthode 4 – méthode de Cramer . ... Exercices corrigés .



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8 mars 2018 Exercice 2 – K = R. Nous consid`erons l'équation linéaire : 2x1 + x2 - x3 - 4x4 = 5. 1) Qu'est ce qu'une ...



1re et 2e années

Fiches méthode. ? Exercices d'entraînement. ? Sujets de concours. ? Tous les corrigés détaillés. ? Simulations avec Scilab.



LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

4- Exercice . 7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants . ... 9- Méthode alternative pour calculer les déterminants .



Université des Sciences et de la Technologie dOran Mohamed

Exercice 4-13. 84. 4-5 Méthode de Cramer Ce document propose un recueil d'exercices corrigés d'analyse numérique adressé aux.



Chapitre 1: Calculs matriciels

la méthode de Cramer. Exercice 1.5 : On considère les matrices suivantes : ... Exercice 1.7 : a) Calculer si possible



CTU Master Enseignement des Mathématiques Statistique

Ce polycopié contient le cours les sujets d'exercice et leurs corrigés ainsi que les La ?-méthode ou l'étude asymptotique d'un estimateur obtenu par la.



RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

Cependant la méthode de résolution elle-même n'est en aucun point modifiée. Page 11. Page 11 sur 11. Exercices. Résoudre les 



Mathématiques appliquées à l'Économie et à la Gestion

Exercice 1 1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coef?cients par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a les systèmes suivants : ˆ



FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr

1) Donner la dØmonstration ØlØmentaire des formules de Cramer dans le cas d™un syst?me de trois Øquations à trois 2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site



Feuille 1 : Exercices sur les systèmes linéaires quelques

3 Sinon (m 6= 0 et m 6= 1 ) le système est de Cramer et S= n 2(m2?2m?2) m(m?1) (m+1)(m?4) m(m?1) 4m+2 m(m?1) o (point) Exercice 3 a) (S) = ax+by +z = 1 x+aby +z = b x+by +az = 1 On utilise la méthode du pivot de Gauss On commence par e?ectuer une permutation des lignes de manière à avoir un pivot égal à 1 (S) ? x

  • Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer

    Contexte

  • Complément

    On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...

Comment appliquer la méthode de Cramer?

Résoudre le système suivant : On peut appliquer la méthode de Cramer du fait qu?on a 3 équations et 3 inconnues mais il faut vérifier que det A est non nul. La solution du système est donnée par (-2, 1, 2) Application : Résoudre le système suivant : Solution Résolution par la méthode du pivot de Gauss

Qui a conçu la méthode de Cramer ?

La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.

Comment prévenir les crampes lors des exercices ?

Une fois cet exercice réalisé, essayez de marcher sur les talons quelques minutes". N'oubliez pas de vous réhydrater en buvant de l’eau abondamment. Pour anticiper la survenue des crampes lors des exercices, il est conseillé de faire régulièrement des exercices d’étirement, de la marche ou du sport.

Qu'est-ce que le système de Cramer?

Le système AX=B (forme matricielle) est dit système de Cramer si A est une matrice carrée et det A est non nul. Dans ce cas le système de Cramer admet une solution unique vérifiant AX=B. 2- Résolution La résolution à l?aide de la méthode de Cramer n?est donc possible que dans le cas où le nombre d?équations est égal à celui des inconnues.

1re et 2e années

VUIBERTSOMMAIRE

Première année : Premier semestre

1. Nombre - Topologie de ℝ et géométrie dans ℝ

2 - 2. Calcul algébrique et représentation graphique

de fonctions usuelles - 3. Éléments de logique - 4. Ensembles et cardinaux - 5. Calcul matriciel

- 6. Systèmes d"équations linéaires - 7. Suites de référence et convergence - 8. Polynômes à une

indéterminée - 9. Limites et continuité - Étude locale - 10. Fonctions numériques - Étude globale

- 11. Fonctions usuelles - 12. Probabilités nies

Première année : Deuxième semestre

13. Dérivabilité, convexité et fonctions réciproques - 14. Intégration - 15. Séries numériques - 16. Espace

vectoriel ? n,1

(ℝ) - 17. Espaces probabilisés - 18. Variables aléatoires discrètes - 19. Variables à densité (1)

Deuxième année : Troisième semestre

20. Espaces vectoriels - 21. Applications linéaires - 22. Réduction des endomorphismes et des matrices

carrées - 23. Suites et séries - Compléments - 24. Comparaison des fonctions et développements

limités - 25. Intégrales impropres - 26. Couples aléatoires discrets - Suites de variables aléatoires

Deuxième année : Quatrième semestre

27. Fonctions de deux variables (1) - 28. Fonctions de deux variables (2) - 29. Variables à densité (2) -

30. Convergence - 31. Estimateurs et estimations.

Sujets incontournables aux concours : A. Fonctions génératrices - B. Processus de Poisson

Annexe : Scilab

Les auteurs :

Bénédicte Bourgeois est professeur en classe préparatoire économique et commerciale au lycée Notre-Dame du

GrandChamp à Versailles.

François Delaplace est professeur en classe préparatoire économique et commerciale au lycée Notre-Dame du

GrandChamp à Versailles.

Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classe préparatoire économique et commerciale au lycée Notre-Dame du

GrandChamp à Versailles.

Émily Tournesac est professeur en classe préparatoire économique et commerciale au lycée Antonin Artaud à Marseille.ISBN : 978-2-311-40056-4

, des ouvrages pour faire la différence : - l"essentiel du cours et des applications pour acquérir les connaissances indispensables, - de nombreux exercices d"entraînement et sujets de concours intégralement corrigés pour se mettre en situation d"épreuve, - des ches méthode pour acquérir les bons ré exes, - des annexes pour maîtriser les simulations avec Scilab.

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Sicogif Certified PDF LES PAOISTES

“hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page iii — #1

Avant-propos

Pour aborder sereinement les concours à l"issue de ses deux années de classe préparatoire, l"étu-diant doit maîtriser le calcul algébrique sous toutes ses formes : les deux premiers chapitres sont

consacrés à la révision de cette notion, exploitée dans le reste de l"ouvrage. À partir du chapitre 3, il ne s"agit plus de réviser mais bien d"entamer les notions fondamen- tales du programme, caractérisé par un enseignement en spirale et une ouverture aux notions

annexes, tout en respectant la division semestrielle. On trouvera dans l"ouvrage :-L"essentiel du cours, résumant, dans chaque chapitre, les connaissances indispensables et

complété par de nombreux exemples et exercicesd"application corrigés. Ils sont destinés

à démontrer une propriété ou à présenter son utilisation. Le programme n"étant pas uni-

quement constitué de dénitions ou de théorèmes directement applicables en exercices, cer-

taines propriétésprochessont àdémontrer parl"étudiantou préciséesdansles énoncés pourpermettre la résolution de problèmes. Le cours a donc été conçu en prenant en compte ces

propriétés "adhérentes au programme»; -Desexercices corrigés variésqui recouvrent de nombreuses situations. Pour un travail pro-

table, l"étudiant doit repérer les connaissances et les méthodes qui lui manquent; de façon

fréquente, les corrigés sont volontairement sommaires, conçus tels pour permettre à l"étu-diant de fournir le travail nécessaire à sa progression par la rédaction des calculs et des

raisonnements;

-Desfiches méthode, regroupées à la fin de chaque semestre, sont destinées à aider l"étu-

diant à rédigerses propresches. Ces ches recouvrentprincipalement les thèmes d"algèbre linéaire, qui posent généralement des difcultés de synthèse; -Dessujets incontournables aux concoursqui regroupent deux des grands thèmes princi- paux à connaître.

-Dessimulations sur Scilab, présentes dans les chapitres où le logiciel peut être utilisé mais

surtout dans un chapitre annexe à la n de l"ouvrage. Elles permettent de recouvrir les situa-

tions les plus diverses. Ces simulations ont pour but de présenter des séquences d"instruc-tions répondant aux problèmes simplement, sans chercher à écrire des programmes com-

plexes qui mettent davantage en avant le côté technique, au détriment du côté pratique.

Nous tenons à remercier toutes les personnes qui ont largement contribué à la réalisation de cet

ouvrage : Danièle Peret-Gentil pour ses idées d"exercices et de méthodes, notamment en proba-

bilités, Claire Delaplace pour sa relecture et ses conseils sur la uidité de la lecture, et tous lesétudiants qui, par leur participation en cours et leurs questions, nous ont aidé dans notre rédac-

tion.

Merci également à l"équipe des éditions Vuibert;c"est grâce à son écoute, ses conseils et sa grande

disponibilité que cet ouvrage a vu le jour. “hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page iv — #2 “hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page v — #3

Table des matières

Avant-proposiii

Première année - Premier Semestre 1

1 Nombres - Topologie deRet géométrie dansR

2 3

1.1 Nombresréels............................................... 3

1.2 Topologie deR.............................................. 8

1.3 Géométrie deR

2 ............................................. 12 Énoncés..................................................... 16 Corrigés..................................................... 19

2 Calcul algébrique et représentation graphique de fonctions usuelles 27

2.1 Expressionsalgébriques ......................................... 27

2.2 Équationsetinéquations......................................... 30

2.3 Courbesdesfonctions .......................................... 40

Énoncés..................................................... 49 Corrigés..................................................... 51

3 Éléments de logique59

3.1 Propositionsetconnecteurslogiques.................................. 59

3.2 Démonstrations.............................................. 63

Énoncés..................................................... 69 Corrigés..................................................... 72

4 Ensembles et cardinaux81

4.1 Référentielsetpartiesd"unensemble.................................. 81

4.2 Opérationsdansl"ensembledespartiesd"unensemble ....................... 83

4.3 Applications................................................ 86

4.4 Cardinaux ................................................. 90

Énoncés..................................................... 93 Corrigés..................................................... 97

5 Calcul matriciel107

5.1 Définitionsetgénéralités.........................................107

5.2 Matricesparticulières...........................................112

5.3 Opérationssurlesmatrices .......................................115

6 Systèmes d"équations linéaires 141

6.1 Systèmesd"équationslinéairesetmatrices...............................141

6.2 Systèmeséquivalents...........................................143

6.3 Résolutiond"unsystèmed"équationslinéaires ............................146

6.4 Systèmehomogène............................................150

7 Suites de référence et convergence 163

7.1 Suitesdéfiniesrécursivement ......................................163

7.2 Dénitions.................................................171

7.3 Suitesconvergentes............................................172

7.4 Variationsetnaturesdessuitesderéférence..............................174

7.5 Théorèmes.................................................175

“hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page vi — #4 viTable des matières

8 Polynômes à une indéterminée 187

8.1 Ensembledespolynômes ........................................187

8.2 Espace vectorielR[X]...........................................190

8.3 Algèbredespolynômes..........................................192

8.4 Arithmétiquedespolynômes ......................................194

8.5 Factorisation dansR[X].........................................198

9 Limites et continuité - Étude locale 213

9.1 Continuitéetlimite............................................213

9.2 Extensiondelanotiondelimite.....................................215

9.3 Asymptotesàlacourbed"unefonction.................................217

9.4 Opérationssurleslimites ........................................219

9.5 Théorèmes.................................................220

9.6 Calculdeslimites.............................................221

10 Fonctions numériques - Étude globale 237

11 Fonctions usuelles267

11.1Fonctionspolynomiales .........................................267

11.2Fonctionsrationnelles ..........................................269

11.3Fonctionslogarithmes ..........................................273

11.6Fonctionpartieentière,fonctionpartiedécimale ...........................286

12 Probabilités finies299

12.1Événements ................................................299

12.3 Loi de probabilité et probabilités....................................303

Fiches méthode - Semestre 1 325

Première année - Deuxième Semestre 347

13 Dérivabilité, convexité et fonctions réciproques 349

13.1 Dérivabilité en un point.........................................349

13.3Applicationsducalculdifférentiel ...................................359

“hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page vii — #5

Table des matièresvii

13.4Dérivéessuccessives ...........................................364

14 Intégration379

14.1Primitivesd"unefonctioncontinue-Fonctionsd"aireetintégrale .................379

14.2Fonctionscontinuesparmorceaux ...................................382

14.4Calculdesintégrales ...........................................388

15 Séries numériques413

15.2Sériesderéférence ............................................415

16 Espace vectorielM

n,1 (R)433

16.1 Espace vectorielM

n,1

16.2 Sous-espace vectoriel deM

n,1

17 Espaces probabilisés457

17.1Tribu-Systèmecompletd"événements ................................457

17.2 Probabilité - Espace probabilisé.....................................459

18 Variables aléatoires discrètes 479

18.4Loisdiscrètesusuelles ..........................................484

19 Variables à densité (1)505

19.2Espérance .................................................510

“hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page viii — #6 viiiTable des matières

Fiches méthode - Semestre 2 537

Deuxième année - Troisième Semestre 561

20 Espaces vectoriels563

20.3 Familles génératrices et bases......................................565

20.4 Matrice d"une famille de vecteurs deR

n et deR n [X].........................567

20.5 Familles libres et familles liées......................................568

20.6Basesetdimension ............................................571

21 Applications linéaires589

21.6 Isomorphisme entreL(E,F)etM

n,m (R)................................598

22 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 623

22.1Réductiondesendomorphismes ....................................623

22.2Réductiondesmatricescarrées .....................................627

23 Suites et séries - Compléments 657

23.2Suitesdéniesparrécurrence-Compléments ............................661

23.3Séries-Compléments ..........................................669

24 Comparaison des fonctions et développements limités 687

24.1 Négligeabilité...............................................687

24.2Équivalents ................................................689

24.3Développementslimités .........................................693

25 Intégrales impropres713

25.1Intégralesimpropresdesfonctionspositives .............................713

“hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page ix — #7

Table des matièresix

26 Couples aléatoires discrets - Suites de variables aléatoires 741

26.2Suitesdevariablesaléatoires-Vecteursaléatoires ..........................749

Fiches méthode - Semestre 3 765

Deuxième année - Quatrième Semestre 809

27 Fonctions de deux variables (1) 811

27.1 Topologie deR

2

27.4Continuitéglobale ............................................821

28 Fonctions de deux variables (2) 841

28.2 Développement limité d"ordre 2 d"une fonction de classeC

2 ....................844

28.3Extremasurunouvert ..........................................847

29 Variables à densité (2)867

29.5Suitesdevariablesaléatoires-Vecteursaléatoires ..........................877

30 Convergence891

30.1 Convergence en probabilité.......................................891

30.2Convergenceenloi ............................................892

31 Estimateurs et estimations915

31.1 Échantillons d"une loi de probabilité . . ................................915

31.2Estimateurs ................................................918

“hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page x — #8 xTable des matières

Fiches méthode - Semestre 4 951

Sujets incontournables aux concours 959

A Fonctions génératrices, suites et probabilités 961 A.1 Fonctionsgénératricesetsuites.....................................961 A.2 Fonctions génératrices et probabilités . . ................................968

B Processus de Poisson985

Annexe 1011

Scilab1013

Environnement ................................................1013 Éditeur-Programmation ..........................................1021 Représentations graphiques.........................................1022 “hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page 141 — #147

CHAPITRE 6

Systèmes déquations linéaires

L'objectif de ce chapitre est de donner une méthode de résolution des systèmes linéaires vériant les deuxconditions suivantes :

?elle doit être universelle en ce sens qu'elle doit s'appliquer à tous les systèmes; ?elle doit donner exactement l'ensemble des solutions et non un ensemble de solutions possibles.

La méthode qui sera décrite ici est la méthode de Gauss qui répond à ces deux exigences.

6.1 Systèmes déquations linéaires et matrices

6.1.1Système d"équations linéaires

On appelleéquation linéaire,uneéquationdelaforme: a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n =b oùa 1 ,a 2 ,...,a n ,bsont des réels donnés etx 1 ,x 2 ,...,x n des inconnues.

Unsystème d"équations linéaires(S) est la donnée simultanée de plusieurs équations linéaires.Exemple

2xŠy+3z=Š1

xŠ3y=2

ŠxŠ2y+z

=0

est un système de trois équations linéaires.Résoudrele système, c"est déterminer les valeurs dex,

yetzqui vérifient les trois égalités.

Le système est dithomogènesi le second membre est nul, c"est-à-dire si le système est constitué

d"équations de la forme :a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n =0

6.1.2Matrice d"un système d"équations linéaires

Tout système d"équations linéaires(S)estéquivalentà une équation matricielle de la formeA.X=

B, qu"on écrit aussiAX=B,où:

?Aest la matrice des coefficients des inconnues; “hh" — 2014/6/19 — 15:40 — page 142 — #148

142 Chapitre 6. Systèmes déquations linéaires

?X= x 1 x 2 x n est la matrice des inconnues,B= b 1 b 2 b m est la matrice du second membre.

La matriceAest appeléematrice du système.

AX=Best parfois appeléeécriture matricielledu système(S)(ou écriturematricielleassociée

ausystème (S))eton ditaussique lesystème d"équations (S)estéquivalentàl"équation matricielle

AX=B.

Exemple

Le système suivant :

2xŠy+3z=Š1

xŠ3y=2

ŠxŠ2y+z=0

est équivalent à l"équation matricielleAX=Bavec : A=

2Š13

1Š30

Š1Š21

X= x y z B= Š1 2 0

6.1.3Ensemble des solutions d"un système

Soit un système d"équations linéaires (S) à coefficients dansRdont les inconnues sont notéesx

1 x 2 ,...,x n . On appelleensemble de solutionsSde (S), le sous-ensemble deR n constitué de toutes lesn-listes solutions du système. On notera queSn"est pas vide, car lan-liste(0,0,...,0)estunesolutiondeS. Par la suite,

on confondra le système d"équations et son écriture matricielle, les solutions du système et les

matrices colonnes, solutions de l"équation matricielle du système.

Propriété 1

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