HAPITRE Systèmes d'équations PDF

4 + 2y. 3. + 7y = –2. On a obtenu une équation à une seule inconnue qu'on peut résoudre La résolution du système

Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires

4. Un vecteur est une matrice dont l'une des dimensions est 1. Méthode de Cramer ... inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur absolue.

résolution des systèmes déquations à 2 inconnues par la méthode

PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER. Système étudié à titre d'exemple: S{3x+4y=5. 6x+7y=8}. Appelons A la colonne (3. 6) B la colonne (4.

CHAPITRE 1

Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux. ( )S équations de la forme : Résolution générale par la méthode de Cramer.

Systèmes déquations linéaires

de Gauss en inversant la matrice des coefficients

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

4. 7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants . 9- Méthode alternative pour calculer les déterminants .

METHODE DU PIVOT DE GAUSS

Le cas des systèmes de Cramer à deux ou trois inconnues a été traité dans le chapitre 4 page 45

Chapitre 1: Calculs matriciels

la méthode de Cramer. a) Donner le type des 4 premières matrices. ... nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et si la matrice des coeffi-.

III. Systèmes d équations du 1er degré

Nous allons le résoudre par la méthode des combinaisons : 4 y x. 2°. S = }. {)97(. -. -. ? On isole une des inconnues dans une des équations au choix.

Fiche explicative de la leçon : Règle de Cramer - Nagwa

1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coef?cients par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a les systèmes suivants : ˆ ax + y = 2

HAPITRE Systèmes d'équations

Résolution générale par la méthode de Cramer C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues

FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr

2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site touteslesmaths fr) 1 Syst?mes de trois Øquations à trois inconnues

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Chapitre 4 Systèmes linéaires L’objectif de ce court chapitre est d’introduire et de résoudre des systèmes de n équations à p inconnues La technique principale appelée méthode du Pivot de Gauss est très importante et on s’en servira beaucoup notamment dans le cadre de l’algèbre linéaire (et donc des matrices) 1 Vocabulaire

Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer
Contexte
Complément
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...

Qui a conçu la méthode de Cramer ?

La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.

Comment exprimer la valeur d'une inconnue ?

On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : La valeur d'une inconnue s'exprime comme une fraction dont le dénominateur est le déterminant du système, et dont le numérateur est le déterminant qu'on en déduit en remplaçant la colonne des coefficients des termes constants avec le système

Quels sont les systèmes de deux équations à deux inconnues?

Tout étudiant a déjà rencontré par exemple des systèmes de deux équations à deux inconnues pour lesquelles deux méthodes de résolution ont été présentées: par substitution ou combinaisons linéaires. On verra dans la suite qu’on va généraliser la méthode de combinaisons linéaires.

CHAPITRE 1

Systèmes d'équations

1. Définition et exemple

Définition. Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux ()p

équations de la forme :

p axbyc axbyc HZ HZ R S T 1 2)

où est le couple d'inconnues ett ntes appelées coefficients du xy,bg a, b, c, a', b' ec' sont des consta

système et vérifiant les conditions bg et . Résoudre le système revient à ab,,bÖ00ggab',',bgbÖ00

trouver le ou les couples (),xy?×oo qui satisfont simultanément les deux équations (1) et (2).

Ces couples sont les solutions du système.

Exemple. Considérons le système linéaire de deux équations à deux inconnues : p 2381
7412
xy xy HZ JZJ R S T Intéressons-nous d'abord aux solutions de l'équation (1). Le couple best une solution de cette

équation, car . Mais c'est loin d'être l'unique solution ! En effet il est facile de vérifier

que 12,g 21328

ôHôZ

(,),(24,),(,),...JJ561 5 2 sont d'autres couples de solution de cette équation. En fait l'équation

(1) admet une infinité de solutions. La forme générale de ces solutions peut s'obtenir en calculant y

en fonction de x :

238382

82
3 xyyxy x

HZøZJøZ

J Le s solutions de (1) sont donc les couples de la forme x x 82
3 J FI K J H G où x est un réel quelconque.

Par exemple : si xZJ2 alors yZ

JôJ

ZZ 822
3 12 3 4 , d'où la solution bg. J24,

De même, l'équation (2) admet une infinité de solutions. On trouve facilement que ce sont les

couples de la forme x x 71
4H F H G I K J , où x est un réel quelconque. Par exemple : 12235 15 4 ,,,,,,...bgbgJbg Remarquons que le couple b est à la fois solution de (1) et de (2). C'est donc une solution du

système . Le système admet-il d'autres solutions ? Les méthodes de résolutions exposées

ci-dessous vont prouver que best l'unique solution de . 12, ()p 12,g g ()p ()p

2. Méthodes de résolution

Reprenons le système de l'exemple précédent. ()p a) Résolution par substitution (Z remplacement) On calcule y en fonction de x à l'aide de l'équation (1) :

238382

82
3

3xyyxy

HZøZJøZ

On substitue l'équation (3) dans l'équation (2) : On substitue l'équation (3) dans l'équation (2) :

74
82
3 13

214823

213283

2929
14 x x xx xx x x J J F H G I K J

ZJô

øJJZJ

øJHZJ

øZ øZ bg

Finalement on substitue (4) dans (3) :

yZ Jô ZZ 821
3 6 3 2 Le système admet donc une solution unique : . SZ12,bgmr b) Résolution par combinaison linéaire Combinons d'abord les équations (1) et (2) pour éliminer y :

41ô() : 81232xyHZ (1')

32ô() : 21123xyJZJ (2')

(1') + (2') : 29291xxZøZ Combinons maintenant les équations (1) et (2) pour éliminer x :

71ô() : 142156xyHZ (1'')

Jô22() : JHZ1482xy (2'')

(1'') + (2'') : 29582yyZøZ

On retrouve que . SZ12,bgmr

c) Méthode graphique

Si l'on rapporte le plan à un repère Oij,,

ch 81
, les équations (1) et (2) sont en fait les équations cartésiennes de deux droites, que nous notons d et d. Résoudre le système revient à

déterminer le point d'intersection de ces deux droites. Représentons graphiquement les deux droites.

12 pbg dxy 1

23:HZ dxy

74:JZJ

I12,bg

ddI 12 d 1 d 2 x -3 1 5 y -5 2 9 x -2 1 4 y 4 2 0 1..22

3. Résolution générale par la méthode de Cramer

C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la

solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues. Voici sa méthode dans le cas . nZ2

1.3 p axbyc axbyc HZ HZ R S T 1 2

Ô=Eliminons d'abord y :

b'()ô1 : (1') abxbbycb''HZ

Jôb()2 : (2') JJZJabxbbycb''

(1') + (2') : ababxcbcb''''JZJbg On peut en déduire l'expression de x, à condition que . Alors : abab''JÖ0 x cbcb abab Z J J (1.1)

Ô=Eliminons de la même façon x :

a'()ô1 : (1'') aaxabyac'''HZ

Jôa()2 : (2'') JJZJaaxabyac'''

(1'') + (2'') : ' / ôJ ababyacac'''JZJbg1bg ababyacac''''JZJbg

Nous avons multiplié la dernière équation par -1 afin de faire précéder l'inconnue y du même

coefficient que x (cf. ligne (1') + (2')). Donc si ab, on a : ab''JÖ0 y acac abab Z J J (1.2) Le système admet donc une solution uniqà condition que l'expression soit non nulle. est appelé déterminant du système b, pour la simple raison que : pbgue, aZJabab'' apg aZJZabab ab ab (1.3)

Remarquons maintenant que les numérateurs de x et de y peuvent aussi être écrits sous forme d'un

déterminant. En effet : a x cbcb cb cb ZJZ'' (1.4)

Et de même :

a y acac ac ac ZJZ'' (1.5)

Les déterminants aa sont appelés déterminants de Cramer. En résumé, si le déterminant

du système a est non nul, alors (p) admet la solution unique : a, x et y xy cb cb ab ab ac ac ab ab x y ,bgZ F H G G G G I K J J J J Z F H G I K J a a a a (1.6) Règles mnémotechniques : Règles mnémotechniques :

Ô=a=est formé des colonnes

H G et H G des coefficients de x et de y du système (p). Ô=a=est formé des colonnes H G et H G des coefficients de x et de y du système (p). a a' FI K J a a' FI K J b b' FI K J b b' FI K J

Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . a

x a x a a' F H G I K J a a' F H G I K J c c' F H G I K J c c' F H G I K J

Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . Ô= est obtenu en remplaçant dans a la colonne par la colonne . a

y a y b b' F H G I K J b b' F H G I K J c c' F H G I K J c c' F H G I K J

Exemple. Reprenons notre système du paragraphe 1. Exemple. Reprenons notre système du paragraphe 1.

p 2381
7412
xy xy HZ JZJ R S T p 2381
7412
xy xy HZ JZJ R S T a a a Z J ZJJZJ Z JJ ZJHZJ Z J ZJJZJ U V W ûZ J J ZZ J J Z 23
74
82129
83
14 32329
28
71
25658
29
29
1 58
29
2 x yquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer

Complément

Qui a conçu la méthode de Cramer ?

Comment exprimer la valeur d'une inconnue ?

Quels sont les systèmes de deux équations à deux inconnues?

CHAPITRE 1

Systèmes d'équations

1. Définition et exemple

équations de la forme :

Ces couples sont les solutions du système.

ôHôZ

238382

HZøZJøZ

Par exemple : si xZJ2 alors yZ

JôJ

2. Méthodes de résolution

238382

3xyyxy

HZøZJøZ

214823

213283

ZJô

øJJZJ

øJHZJ

Finalement on substitue (4) dans (3) :

41ô() : 81232xyHZ (1')

32ô() : 21123xyJZJ (2')

71ô() : 142156xyHZ (1'')

Jô22() : JHZ1482xy (2'')

On retrouve que . SZ12,bgmr

Si l'on rapporte le plan à un repère Oij,,

23:HZ dxy

74:JZJ

I12,bg

3. Résolution générale par la méthode de Cramer

Ô=Eliminons d'abord y :

Jôb()2 : (2') JJZJabxbbycb''

Ô=Eliminons de la même façon x :

Jôa()2 : (2'') JJZJaaxabyac'''

Et de même :

Ô=a=est formé des colonnes