Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires
4 + 2y. 3. + 7y = –2. On a obtenu une équation à une seule inconnue qu'on peut résoudre La résolution du système
Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
4. Un vecteur est une matrice dont l'une des dimensions est 1. Méthode de Cramer ... inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur absolue.
résolution des systèmes déquations à 2 inconnues par la méthode
PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER. Système étudié à titre d'exemple: S{3x+4y=5. 6x+7y=8}. Appelons A la colonne (3. 6) B la colonne (4.
CHAPITRE 1
Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux. ( )S équations de la forme : Résolution générale par la méthode de Cramer.
Systèmes déquations linéaires
de Gauss en inversant la matrice des coefficients
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
4. 7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants . 9- Méthode alternative pour calculer les déterminants .
METHODE DU PIVOT DE GAUSS
Le cas des systèmes de Cramer à deux ou trois inconnues a été traité dans le chapitre 4 page 45
Chapitre 1: Calculs matriciels
la méthode de Cramer. a) Donner le type des 4 premières matrices. ... nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et si la matrice des coeffi-.
III. Systèmes d équations du 1er degré
Nous allons le résoudre par la méthode des combinaisons : 4 y x. 2°. S = }. {)97(. -. -. ? On isole une des inconnues dans une des équations au choix.
Fiche explicative de la leçon : Règle de Cramer - Nagwa
1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coef?cients par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a les systèmes suivants : ˆ ax + y = 2
HAPITRE Systèmes d'équations
Résolution générale par la méthode de Cramer C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues
FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr
2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site touteslesmaths fr) 1 Syst?mes de trois Øquations à trois inconnues
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Chapitre 4 Systèmes linéaires L’objectif de ce court chapitre est d’introduire et de résoudre des systèmes de n équations à p inconnues La technique principale appelée méthode du Pivot de Gauss est très importante et on s’en servira beaucoup notamment dans le cadre de l’algèbre linéaire (et donc des matrices) 1 Vocabulaire
Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer
Contexte
Complément
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...
Qui a conçu la méthode de Cramer ?
La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.
Comment exprimer la valeur d'une inconnue ?
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : La valeur d'une inconnue s'exprime comme une fraction dont le dénominateur est le déterminant du système, et dont le numérateur est le déterminant qu'on en déduit en remplaçant la colonne des coefficients des termes constants avec le système
Quels sont les systèmes de deux équations à deux inconnues?
Tout étudiant a déjà rencontré par exemple des systèmes de deux équations à deux inconnues pour lesquelles deux méthodes de résolution ont été présentées: par substitution ou combinaisons linéaires. On verra dans la suite qu’on va généraliser la méthode de combinaisons linéaires.
METHODE DU PIVOT DE GAUSS
Laméthode du pivot de Gausspermet la résolution générale des systèmes d"équations linéaires ànéquations etp
inconnues. Elle s"utilise notamment pour leur résolution numérique à l"aide d"unprogramme informatique, et permet la
résolution de systèmes comptant un grand nombre d"inconnues et d"équations (plusieurs centaines, voire plusieurs milliers).
Dans tous les cas, la méthode du pivot de Gauss permet de déterminer si le système a des solutions ou non (et notamment
de savoir s"il est un système de Cramer lorsquen=p). Le cas des systèmes de Cramer à deux ou trois inconnues a été traité
dans le chapitre 4, page 45, de "Toutes les mathématiques" (TLM1).Lorque le système a des solutions, la méthode du pivot permet de les calculer. Notamment, sin=pet si le système a une
solution unique (système de Cramer), on peut la calculer de manière beaucoup plus économique (en nombre d"opérations)
que par les formules de Cramer. Lorsque la solution du système n"est pas unique, la méthode du pivot permet d"exprimer les
solutions à l"aide desinconnues principales.1 Etude d"un exemple
Reprenons le système de l"exemple 4.8 de TLM1 (page 47), qui est un système de Cramer : S)8 :x+y+2z= -1(1)2x-y+2z= -4(2)
4x+y+4z= -2(3)
On peut résoudre le système(S)enéliminantd"abord l"inconnuexdans les équations(2)et(3);ce qui peut se faire
en multipliant l"équation (1) par 2 et en la soustrayant à l"équation (2), et en la multipliant par 4 et en la soustrayant à
équivalent:
S1)8 :x+y+2z= -1(1) -3y-2z= -2(2) -3y-4z=2(3)On peut maintenant éliminerydans la troisième équation grâce à l"opération(3) (3) - (2):On obtient le système
équivalent :
S2)8 :x+y+2z= -1(1) -3y-2z= -2(2) -2z=4(3)3) -12
(3):Cela donnezet le système équivalent : S3)8 :x+y+2z= -1(1) -3y-2z= -2(2) z= -2(3) obtenir le système équivalent : S4)8 :x+y=3(1) -3y= -6(2) z= -2(3) (2);on obtientyet le système équivalent : S5)8 :x+y=3(1) y=2(2) z= -2(3) S6)8 :x=1(1) y=2(2) z= -2(3)Ainsi, par une suite d"opérations élémentaires sur les équations du système, on a montré que le système(S)avait une
solution uniquex=1; y=2; z= -2:On conçoit bien cependant que l"écriture du système sous forme d"équations n"est pas la mieux adaptée à cette suite
d"opérations. En fait, la seule chose qui compte vraiment, c"est de connaître lescoe¢ cients des inconnueset lesecond
membredu système.L"idée de la méthode du pivot de Gauss consiste donc à remplacer le système(S)par une matrice faisant intervenir à
la fois des coe¢ cients des inconnues et le second membre du système, exactement dans l"ordre dans lequel ils apparaissent.
Cette matrice s"appelle lamatrice augmentéeassociée à(S):Dans notre exemple, elle s"écrit
G=0 @1 1 2-12-1 2-4
4 1 4-21
A2 M3;4(R):
Les opérations sur leséquationsdu système reviennent alors à des opérations sur leslignesde la matrice augmentée :
G=0 @1 1 2-12-1 2-4
4 1 4-21
AL2 L2-2L1L3 L3-4L1G
1=0 @1 1 2-10-3-2-2
0-3-4 21
AL3 L3-L2G2=0
@1 1 2-10-3-2-2
0 0-2 41
A L 3 -12 L3G 3=0 @1 1 2-10-3-2-2
0 0 1-21
AL2 L2+2L3L1 L1-2L3G
4=0 @1 1 0 30-3 0-6
0 0 1-21
A L 2 -13 L2G 5=0 @1 1 0 30 1 0 2
0 0 1-21
AL1 L1-L2G6=0
@1 0 0 10 1 0 2
0 0 1-21
A La matriceG6exprime que(S)a une solution unique,x=1; y=2; z= -2:2 Méthode du pivot de Gauss
2.1 Démarrage
Dans le cas général, nous considérons un système linéaire(S)ànéquations etpinconnuesx1; x2;...,xp:
(S)8 >>:a11x1+a12x2++a1pxp=b1
a21x1+a22x2++a2pxp=b2...
a n1x1+an2x2++anpxp=bnOn note comme d"habitude (TLM1, page 544)
A=0 B @a11a12a1p......
a n1an2anp1 CA2 Mn;p(K); B=0
B @b 1... b n1 CA2 Mn;1(K); X=0
B @x 1... x 11 CA2 Mp;1(K)
TLM1Méthode du pivot de Gauss3respectivement la matrice associée au système , le vecteur colonne associé au second membre, et le vecteur colonne des
inconnues. Ainsi la résolution de(S)équivaut à trouverXtel que AX=B:En pratique, on dispose le système en matrice sans les inconnues. Lamatrice augmentéeassociée au système est
A 0=0 B @a11a12a1pb1.........
a n1an2anpbn1 CA2 Mn;p+1(K):
On opère alors uniquement sur les lignes deA0. La méthode du pivot consiste d"abord à amener le système à unsystème
triangulaire, ceci uniquement par opérations élémentaires sur les lignes.On suppose que la première colonne n"est pas identiquement nulle (sinon l"inconnuex1n"apparait pas!), ainsi quitte à
permuter les lignes, on suppose quea116=0. Ce coe¢ cienta11est ditpivot, l"inconnuex1est dite uneinconnue principale.
Par opérations élémentaires sur les lignes, on "met"des0sous le pivot : 0 B BB@a11a12a1pb1
a21a22a2pb2............
a n1an2anpbn1 C CCA! L2 L2-a21a
11L1 L n Ln-an1a 11L10 B BB@a 11a12a1pb1
0 a022a02pb02............
0 a0n2a0npb0n1
CCCA=F:
Deux cas peuvent alors se présenter, en fonction de la matrice A 0=0 B @a022a02p......
a0n2a0np1
C A:(1)2.2 Premier cas
la dernière ligne de la matriceFci-dessus représente les équations 8>< :0x2+0x3++0xp=b02...
0x2+0x3++0xp=b0n
principale) en fonction dex2;; xn(inconnues ditessecondaires). Chaque valeur des inconnues secondaires donne une
solution du système. Le rang du système est1: il est égal au nombre d"inconnues principales et au rang de la matriceAdu
système (TLM1, dé...nition 45.10, page 596).Les relationsb02==b0n=0sont ditesrelations de compatibilité. Si elles ne sont pas véri...ées, le système n"a pas de
solution. Exemple 1Soitaun paramètre. Considérons le système S)8 :x+2y-z=12x+4y-2z=2
-x-2y+z=aEn l"écrivant sous forme matricielle et en prenant le 1 qui ...gure en haut et à gauche comme pivot, il vient
TLM1Méthode du pivot de Gauss40
@12-1 12 4-2 2
-1-2 1 a1 AL2 L2-2L1L3 L3+L10
@1 2-1 10 0 0 0
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