Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires
4 + 2y. 3. + 7y = –2. On a obtenu une équation à une seule inconnue qu'on peut résoudre La résolution du système
Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
4. Un vecteur est une matrice dont l'une des dimensions est 1. Méthode de Cramer ... inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur absolue.
résolution des systèmes déquations à 2 inconnues par la méthode
PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER. Système étudié à titre d'exemple: S{3x+4y=5. 6x+7y=8}. Appelons A la colonne (3. 6) B la colonne (4.
CHAPITRE 1
Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux. ( )S équations de la forme : Résolution générale par la méthode de Cramer.
Systèmes déquations linéaires
de Gauss en inversant la matrice des coefficients
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
4. 7- Expansion par cofacteurs - méthode de calcul des déterminants . 9- Méthode alternative pour calculer les déterminants .
METHODE DU PIVOT DE GAUSS
Le cas des systèmes de Cramer à deux ou trois inconnues a été traité dans le chapitre 4 page 45
Chapitre 1: Calculs matriciels
la méthode de Cramer. a) Donner le type des 4 premières matrices. ... nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et si la matrice des coeffi-.
III. Systèmes d équations du 1er degré
Nous allons le résoudre par la méthode des combinaisons : 4 y x. 2°. S = }. {)97(. -. -. ? On isole une des inconnues dans une des équations au choix.
Fiche explicative de la leçon : Règle de Cramer - Nagwa
1 Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss en inversant la matrice des coef?cients par la formule de Cramer) : ˆ 2x + y = 1 3x + 7y = 2 2 Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre selon les valeurs de a les systèmes suivants : ˆ ax + y = 2
HAPITRE Systèmes d'équations
Résolution générale par la méthode de Cramer C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues
FORMULES DE CRAMER - touteslesmathsfr
2) Enoncer et dØmontrer les formules de Cramer dans le cas gØnØral d™un syst?me de nØquations à ninconnues à partir de la thØorie gØnØrale des dØterminants (voir le document "DØterminants" sur le site touteslesmaths fr) 1 Syst?mes de trois Øquations à trois inconnues
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Chapitre 4 Systèmes linéaires L’objectif de ce court chapitre est d’introduire et de résoudre des systèmes de n équations à p inconnues La technique principale appelée méthode du Pivot de Gauss est très importante et on s’en servira beaucoup notamment dans le cadre de l’algèbre linéaire (et donc des matrices) 1 Vocabulaire
Méthode de Résolution d'un Système Par Les Formules de Cramer
Contexte
Complément
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : (1)(1)(1) {ax+by=ca?x+b?y=c?begin{cases} ax+by=c a'x+b'y=c'end{cases}{ax+by=ca?x+b?y=c?? On forme par exemple : x=x=x=?cbc?b???aba?b??frac{begin{vmatrix} c & b c'& b'end{vmatrix}}{begin{vmatrix} a & b a' & b'end{vmatrix}}????aa??bb??????????cc??bb???????=cb??...
Qui a conçu la méthode de Cramer ?
La méthode de Cramer a été conçue par Gabriel Cramer, un mathématicien genévois, en 1750, il a conçu un moyen pour résoudre un système d’équations linéaires en utilisant une équation matricielle et les déterminants des matrices qui en découlent. Nous allons maintenant étudier la méthode de Cramer et son utilisation.
Comment exprimer la valeur d'une inconnue ?
On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer : La valeur d'une inconnue s'exprime comme une fraction dont le dénominateur est le déterminant du système, et dont le numérateur est le déterminant qu'on en déduit en remplaçant la colonne des coefficients des termes constants avec le système
Quels sont les systèmes de deux équations à deux inconnues?
Tout étudiant a déjà rencontré par exemple des systèmes de deux équations à deux inconnues pour lesquelles deux méthodes de résolution ont été présentées: par substitution ou combinaisons linéaires. On verra dans la suite qu’on va généraliser la méthode de combinaisons linéaires.
Ift24211 Chapitre 3Ift 2421
Chapitre 3
Résolution des systèmes
d'équations linéairesIft24212 Chapitre 3Introduction
Description:
U = R . I
Loi de Kirchhoff:Le voltage sur une boucle fermée est nul.Intensité entrante = intensité sortante.
donc 5 i1 + 5 i2 = V
i3 - i4 - i5 = 0
2 i4 - 3 i5 = 0
i1 - i2 - i3 = 0
5 i2 - 7 i3 - 2 i4 = 0
Ift24213 Chapitre 3Exemples de situations nécessitant la résolution d'un système d'équations linéaires.· Potentiel dans un circuit électrique
· Tension dans une structure
· Flot dans un réseau hydraulique
· Mélange de produits chimiques
· Vibration d'un système mécanique
· Élasticité
· Transfert de chaleur
· Réduction d'équation différentiellesIft 2450
Ift24214 Chapitre 3Notation :Considérons le système suivant :axaxb axaxb11112212112222+=
+=ìíîCe système sera noté par :(en notation matricielle) aa aax xb b1112 2122121
2é
ûúou aussi
A . x = b10 Rappels sur les matrices :
1. Multiplications entre matrices
conformes seulement : si A estKxL et B est MxN alors A.B
existe ssi L=M.2. On a l'associativité du produit :
A.(B.C)=(A.B).C
3. On n'a pas de façon générale de
commutativité : A.B ¹ B.A4. Un vecteur est une matrice dont
l'une des dimensions est 1.5. Une matrice 1x1 est associée de
façon bijective à un nombre réel.6. La transposée AT d'une matrice
A est obtenue en interchangeant
les lignes et les colonnes.7. Une matrice carrée NxN est dite
d'ordre N.8. La matrice Zéro (notée 0) est
entièrement composée de zéros.9. La matrice identité (notée I) a des
1 sur la diagonale et des zéros
ailleurs.10. La trace d'une matrice est la
somme des éléments de sa diagonale.Ift24215 Chapitre 3Méthode de Cramer
Si A . x = b est un système de n équations
avec n inconnues tel que det (A) ¹ 0 alors le système a une solution unique qui estx A AxA AxA Ann 1122===det()
det(),det() det(),,det() det()K avec Aj la matrice obtenue en remplaçant la jème colonne de A par le vecteur b.Ordre de la méthode:
O(n!) n > 205 fois la vie de l'univers.
Ift24216 Chapitre 3Système triangulaire :
· Inférieur
0éúúúúúSubstitution Avant
· Supérieur
0éúúúúúSubstitution Arrière
0Résoudre le système :
312077
002112
21421
2 3- úx x x et le système : 300
170
27213
22
191
2 3- úx x xMatrice augmentée :300 170
27213
22
19-
Ift24217 Chapitre 3Systèmes équivalents
2 systèmes sont équivalents
Ils peuvent être obtenus l'un
à partir de l'autre avec
uniquement des opérationsélémentaires.
Deux systèmes équivalents
ont la même solution.Opérations élémentaires surles lignes d'une matrice1. Multiplication d'unerangée par une constante
2. Les équations peuvent êtrepermutées.
3. Combinaison linéaire desrangées.
Exemple de système
Rxxx RxxxRxxx1123
212331233212
2311222:
312
123
22112
11 21
2 3- úx x xet de systèmes équivalents
262424
22232131123
31232313Rxxx
Rxxx RRxx: 624221
30224
2 131
2 3- úx x x
Ift24218 Chapitre 3Élimination de Gauss2 étapes :1. Transformation du système original en un système triangulaire supérieur.
2. Résolution du système triangulairepar substitution arrière.Exemple de système :
Rxxx RxxxRxxx1123
212331233212
2311222:
Premier pivot (a
11 = 3) :Rxxx
RRxxRRxx1123
212331233212
1 3737
37
2 34
37
36:
---=-Second pivot (a
22 = 7/3) :
Rxxx RxxRRx1123
2233233212
7373743732:
Substitution arrière :
x xx xxx3 231232
37773
3777321
1312213121223=
Ift24219 Chapitre 3Remarques sur la méthode de Gauss1. Un pivot est une valeur par laquelle on doit diviser pour résoudre le système linéaire.
2. On n'a pas utilisé la seconde opération élémentaire.
3. On peut aussi travailler avec la matrice augmentée.Coût :Ordre O(n
3/3) flops
(Floting point operations)Notes :Substitution arrière
Ordre O(n2/2) flops
négligeable lorsque n tend vers infini.Méthode de Gauss Jordan· fait disparaître les
coefficients en haut et en bas de la diagonale.· Pas de substitution arrière.
Coût :Ordre O(n
3/2) flops
déconseilléeIft242110 Chapitre 3PivotageTechnique de pivotage partiel :Permute 2 lignes pour avoir le pivot maximum en valeur
absolue.Technique de pivotage complet :Permute 2 lignes de la matrice augmentée, puis interchange 2inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur
absolue.Raisons du pivotage
Division par un très petit pivotvaleurerreurPivotvaleurerreurvaleurerreur+=+=+-101010151515Exemple :043
41326371
3
2-é
úPivotage partiel (R
1 " R3)637
41320432
3
1-é
Suffisant pour éviter les
divisions par 0.Peut aussi améliorer la
précision des calculs.Ift242111 Chapitre 3Pivotage Complet
Étape 1 : (R1 " R2)4132
0436373
1 2-
Étape 2 : (C1 " C3)-
ú3214
3407363
1 2
Attention :Garder l'ordre des inconnues.
O = ( 3, 2, 1)
4132043
6374
0 61
4 332
3 73
1 2 32
3 71
4 34
0 63214
31
2 3123
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