Le rang
31 janv. 2006 Le rang d'une matrice A est le nombre de lignes non nulles dans sa forme ... les pivots (les premiers coefficients non nuls des lignes non ...
La méthode du pivot. La méthode du pivot (ou méthode d
La méthode du pivot (ou méthode d'élimination de Gauss) fournit un Sinon dans la matrice échélonnée tous les pivots sont sur la diagonale.
`A propos des matrices échelonnées
`a utiliser le pivot de Gauß pour mettre par manipulations élémentaires sur les lignes
MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire
On appelle élément directeur (ou pivot) d'une ligne d'une matrice sa première entrée non nulle. Exemple : Déterminer les éléments directeurs de la matrice.
Notes de cours L1 — MATH120
5 oct. 2004 contient la matrice des coefficients avec une colonne ... Dans une matrice échelonnée réduite on appelle colonnes de pivot les co-.
5. Noyau dune matrice - Section 3.2
Le noyau d'une matrice A est l'ensemble des vecteurs qui sont solutions au SÉL Ax = 0. Les composantes libres correspondent aux colonnes sans pivot.
Calcul matriciel
Une matrice à n lignes et m colonnes à coefficients dans K est un tableau de La méthode du pivot de Gauss appliquée à un système
Méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice
Méthode du pivot de Gauss Elles « marchent » pour des matrices rectangulaires ou carrées. ... Exemples d'inversion d'une matrice carrée d'ordre 3.
Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss
Dans le cas général on utilise la méthode du pivot de Gauss. Pour montrer qu'une matrice M est inversible : On applique les opérations élémentaires : •
Résolution numérique dun système linéaire
pleinement leur usage pour manipuler des matrices de grandes tailles. La méthode du pivot conduit à passer de la matrice A à la matrice In par une ...
METHODE DU PIVOT DE GAUSS - Toutes les Maths
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METHODE DU PIVOT DE GAUSS - {toutes les Maths}
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Méthode du pivot de gauss et formes échelonnées (réduites)
Nous sommes ainsi conduits à conceptualiser d’une manière générale ce type de matrices-modèles Dé?nition 2 2 Une matrice rectangulaire est dite sous forme échelonnée (en lignes) si elle véri?e les trois propriétés suivantes (1) Toutes les lignes non nulles sont situées au-dessus de toutes les lignes nulles1
Cours 1: Autour des systèmes linéaires Algorithme du pivot
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Analyse Num´erique Corrig´e du TD 6 - unicefr
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Chapitre 10informatique commune
Résolution numérique d"un
système linéaire1.Pythonet le calcul matricielLe modulenumpycontient les éléments indispensables à la modélisation des vecteurs, matrices et plus généra-
lement des tableaux multidimensionnels. Pour cela,numpyfournit le typendarray, qui, bien que très proche sur
le plan syntaxique du typelist, diffère de ce dernier sur plusieurs points importants :la taille des tableauxnumpyest fixée au moment de la création et ne peut plus être modifiée par la suite1;
les tablea uxnumpysonthomogènes, c"est-à-dire constitués d"éléments de même type.En contrepartie, l"accès aux éléments d"un tableaunumpyest incomparablement plus rapide, ce qui justifie
pleinement leur usage pour manipuler des matrices de grandes tailles.Par la suite, nous supposerons avoir écrit au début de chacun des scripts de ce chapitre l"instruction :importnumpy as npce qui nous permettra de visualiser aisément les functions de ce module : elles seront préfixées par.np.
1.1Cr éationde tableaux
On utilise en général la fonctionarraypour former un tableau à partir de la liste de ses éléments (ou de la
liste des listes pour une matrice bi-dimensionnelle). Par exemple, pour créer une matrice34à partir de ses
éléments on écrira :>>>a = np.array([[3, 6, 2, 0], [2,3, 5,1], [0, 6, 1,1]]) >>>a array([[ 3, 6, 2, 0], [ 2,3, 5,1], [ 0, 6, 1,1]])La matrice que nous venons de créer est une matrice à coefficients entiers car tous ses éléments sont des
entiers; si on change l"un des coefficients, le nouveau coefficient sera au préalable converti en entier, ce qui peut
provoquer une confusion :>>>a[0, 0] = 1.25 >>>a array([[ 1, 6, 2, 0], [ 2,3, 5,1], [ 0, 6, 1,1]])Si la liste des éléments est hétérogène, certains seront automatiquement convertis. Par exemple, si la liste des
coefficients contient des éléments de typefloatet de typeint, ces derniers seront convertis en flottants :>>>a = np.array([[3., 6, 2, 0], [2,3, 5,1], [0, 6, 1,1]])
>>>a array([[ 3., 6., 2., 0.], [ 2.,3., 5.,1.], [ 0., 6., 1.,1.]])Aussi, pour éviter toute ambiguïté il est préférable de préciser lors de la création le type des éléments souhaités
avec le paramètre optionneldtype(pourdata type) :>>>b = np.array([1, 7,1, 0,2], dtype=float) >>>barray([ 1., 7.,1., 0.,2.])1. On peut tout au plus lesredimensionner, comme cela sera expliqué plus loin.
http://info-llg.fr10.2informatique commune
Les types autorisés sont les suivants :
bool(booléens),int(entiers),float(flottants),complex(complexes)plus un certain nombre de types dont nous n"auront que peu ou pas d"usage : entiers signés sur 8-16-32-64 bits,
entiers non signés sur 8-16-32-64 bits, flottants sur 8-16-32-64 bits, ...Remarque
. Attention, en réalité le data typeintutilisé parnumpyne correspond pas au typeintdePython; il
s"agit du typeint64des entiers signés sur 64 bits (codés par complémentation à deux). Autrement dit, les entiers
numpysont restreints à l"intervalle~263;2631.Pourquoi tant de types différents?
Prenons le cas de la représentation matricielle d"une image non compressée16001200, chaque pixel étant
représenté par un triplet RGB permettant de reconstituer une couleur par synthèse additive. Autrement dit,
avecnumpyune image est modélisée par un tableau tri-dimensionnel 160012003.Chaque composante primaire est décrite par un entier non signé codé sur 8 bits (= 1octet), autrement dit un
entier de l"intervalle~0;281=~0;255. Avec le data typeuint8(entier non signé codé sur 8 bits) l"espace
mémoire utilisé pour représenter cette image vaut160012003 = 5760000octets soit5;5Mio. Si on utilisait
pour chacune des composantes des entiers codés sur 64 bits (= 8octets) l"espace mémoire nécessaire serait huit
fois plus important, soit 44 Mio.Dorénavant, et sauf mention explicite du contraire, nous supposerons les tableauxnumpyremplis à l"aide du
typefloat(correspondant sur les machines actuelles au data typefloat64des nombres flottants représentés sur
64 bits).
1.2C oupes
On accède à un élément d"un tableaunumpyexactement de la même façon que pour une liste : à partir de son
indice.>>>b[0] 1.0Pour les tableaux multidimensionnels, outre la syntaxe usuellea[i][j]il est aussi possible d"utiliser la syntaxe
a[i, j]:>>>a[0, 0] 3.0Le slicing suit la même syntaxe que pour les listesPython. On retiendra surtout la syntaxe pour obtenir une
vue d"une colonne ou d"une ligne d"une matrice :>>>a[2]#3 el igned el amat ricea array([ 0., 6., 1.,1.]) >>>a[:, 2]#3 ecol onned el amat ricea array([ 2., 5., 1.])Attention cependant, à la différence des listesPython,une coupe d"un tableaunumpyne crée pas un nouveau
tableau(la terminologie officielle parle dans ce cas de " vue » plutôt que de coupe). Pour copier un tableau
numpyil est donc indispensable d"utiliser la méthodecopy.>>>a1 = a[2]#a1 es tu nevu ed el a3 el ignede a
>>>a2 = a[2].copy()#a 2es tu nec opied el a3 elig nede a >>>a[2, 0] = 7 >>>a1#l amodif icationd ea se r épercutesu ra 1 array([ 7., 6., 1.,1.]) >>>a2 array([ 0., 6., 1.,1.])#l amodif icationd ea n es er épercutep assu ra2Résolution numérique d"un système linéaire 10.3Cette différence avec les listesPythonpeut s"avérer problématique lorsqu"il s"agit d"effectuer des opération
élémentaires sur les lignes ou les colonnes d"une matrice. En particulier,la syntaxea[i], a[j] = a[j], a[i]
n"échange pas les lignes(i+1)et(j+1).>>>a[0], a[1] = a[1], a[0] >>>a array([[ 2.,3., 5.,1.], [ 2.,3., 5.,1.], [ 7., 6., 1.,1.]])Il est donc sage lorsqu"on manipule des tableauxnumpyde s"interdire l"affectation simultanée et lui préférer
une syntaxe telle que :b = a[0].copy() a[0] = a[1]a[1] = bvoire, pour éviter tout coût spatial, à permuter terme par terme chaque élément des lignes à échanger :
forjinrange (a.shape[1]): a[0, j], a[1, j] = a[1, j], a[0, j]"fancy indexing»On peut néanmoins accéder au contenu d"un tableaunumpytant en lecture qu"en écriture en utilisant lefancy
indexing. Ici les positions dans un tableau ne procèdent plus nécessairement par des coupes mais peuvent être
données dans un ordre quelconque : siaest un tableau etlune liste d"indices, alorsa[l]renvoie le tableau
formé des élémentsa[i]oùiest dansl. Il est donc possible d"échanger les lignesietjdu tableauaen écrivant :a[[i, j]] = a[[j, i]]
et d"inverser les colonnesietjde ce tableau par :a[:, [i, j]] = a[:, [j, i]] 1.3R edimensionnementd"un tableau
La méthodeshapepermet de connaître les dimensions d"un tableau de typendarray:>>>a = np.array([[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12]], dtype=float)
>>>a.shape (3, 4)Modifier cet attribut permet de redimensionner le tableau, à condition bien sur que le nombre total d"éléments
du tableau reste inchangé. Les 12 éléments qui composent le tableauapeuvent donc être ré-ordonnés pour
former un tableau de taille 26, voire un vecteur de taille 12 :>>>a.shape = 2, 6 >>>a array([[ 1., 2., 3., 4., 5., 6.], [ 7., 8., 9., 10., 11., 12.]]) >>>a.shape = 12 >>>a array([ 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10., 11., 12.])C"est l"occasion d"observer quenumpydifférencie les tableaux uni-dimensionnels (les vecteurs) des tableaux
bi-dimensionnels,même lorsque ces derniers ne comportent qu"une seule ligne ou une seule colonne: http://info-llg.fr10.4informatique commune>>>a = np.array([1, 2, 3], dtype=float)
>>>a#a es tun ve cteur array([ 1., 2., 3.]) >>>a.shape = 1, 3 >>>a#a es tu nem atrice1 x 3 array([[ 1., 2., 3.]]) >>>a.shape = 3, 1 >>>a#a es tu nem atrice3 x 1 array([[ 1.], [ 2.],[ 3.]])On notera que redimensionner une matrice est une opération de coût constant. L"explication est simple : quelle
que soit la forme de la matrice, ses coefficients sont stockés en mémoire dans des casescontiguëset le format de
la matrice dans un emplacement spécifique. Par exemple, le script suivant :>>>a = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12], dtype=float)
>>>a.shape = 3, 4 >>>a array([[ 1., 2., 3., 4.], [ 5., 6., 7., 8.], [ 9., 10., 11., 12.]])crée un espace mémoire de 12 cases des 64 bits chacune ainsi qu"un espace mémoire supplémentaire contenant
différentes informations, en particulier queaest un tableau bi-dimensionnel de 3 lignes et de 4 colonnes.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.shape=3,4
1 religne2 eligne3 elignea :Connaître la case dans laquelle se trouve l"élément de rang(i;j)n"est dès lors que le résultat d"un simple calcul
arithmétique : pour une matrice denlignes etpcolonnes il s"agit de la case de rangip+j, et modifier les
dimensions d"un tableau consiste tout simplement à changer cette formule, pas les emplacements en mémoire
des éléments.Remarque
. Il existe aussi une méthodereshapequi crée une nouvelle matrice (les éléments sont donc copiés)
en la redimensionnant si nécessaire (cette méthode a donc un coût proportionnel au nombre d"éléments de la
matrice).Création de tableaux spécifiques
La fonctionzerospermet de former des tableaux dont tous les coefficients sont nuls : le premier et seul
argument obligatoire est un tuple qui précise la dimension du tableau2et un argument facultatif (par défaut
égal àfloat) permet de fixer le type de données.>>>np.zeros((2, 3), dtype=int) array([[0, 0, 0], [0, 0, 0]])La fonctionidentityconstruit la matrice d"identité d"ordren:>>>np.identity(3) array([[ 1., 0., 0.], [ 0., 1., 0.], [ 0., 0., 1.]])La fonctiondiagappliquée à une liste renvoie la matrice diagonale formée à partir des coefficients de cette
liste :2. Notez que les parenthèses pour enclore ce tuple sont indispensables si le tableau est multi-dimensionnel.
Résolution numérique d"un système linéaire 10.5 >>>np.diag([1., 2., 3.]) array([[ 1., 0., 0.], [ 0., 2., 0.], [ 0., 0., 3.]])1.4Opéra tionsélémentair essur les lignes et les colonnesLes fonctions usuelles qui sont définies au sein denumpypeuvent être appliquées à des tableaux : dans ce cas,chacun des coefficients de ce dernier se voient appliquer la fonction. C"est aussi le cas des opérateurs binaires :
sia= (aij)etb= (bij)sont deux matricesnpetun opérateur binaire alorsabcalcule la matrice(aijbij).Ainsi, pour calculer l"addition de deux matricesaetbil suffira d"écrirea + b. De même, pour calculer le
produit d"un scalairetpar une matriceail suffira d"écriret*a. En revanche,on se gardera bien de calculer
le produit matriciel en écrivanta*bcar ce qui est ainsi calculé est le produit terme à terme de chacun des
coefficients de ces deux matrices. Pour calculer le produit matriciel, il faut utiliser la fonctiondot(a, b).
On notera que siaest une matrice etxun vecteur on calcule le produitaxà l"aide de la fonctiondot.Ces opérations vont nous permettre d"appliquer aisément des opérations élémentaires sur les lignes d"une
matrice :L "opérationL
i Li+tLj(ajout detLjà la ligne Li) s"écrit :a[i] = a[i] + t*a[j]-L "opérationL i tLi(multiplication de Lipart) s"écrit :a[i] = t*a[i]-L "opérationL i$Lj(permutation des lignes Liet Lj) s"écrit3:a[[i, j]] = a[[j, i]]On prendra bien garde au fait que chacune de ces trois opérations élémentaires modifie physiquement la
matricea. 2.Méthode du pivot de Gauss
La méthode dupivot deGaussest une méthode générale de résolution d"un système linéaire de la forme :Ax=b,
oùAest une matrice inversible. Elle repose sur l"observation faite qu"appliquer une opération élémentaire(Oi)
sur leslignesd"une matrice équivaut à multiplier cette dernièreà gauchepar une certaine matrice inversibleUi.
Compte tenu de l"équivalence :
Ax=b()UiAx= Uib
on constate qu"on ne modifie pas l"ensemble des solutions d"une équation linéaire en appliquantles mêmes
opérations élémentaires sur les lignesde A et deb. La méthode du pivot deGausscomporte trois étapes : 1.une première étape dite dedescentequi consiste à transformer la matrice inversibleAen une matriceA0
triangulaire supérieuretout en effectuant les mêmes opérations surb;0BBBB@1
CCCCAx=0
BBBB@1
CCCCA()0
BBBB@1
CCCCAx=0
BBBB@1
CCCCA2.
une deuxième étape dite deremontéequi consiste à transformer la matrice inversibleA0en une matrice
A00diagonaletout en effectuant les mêmes opérations surb;0BBBB@1
CCCCAx=0
BBBB@1
CCCCA()0
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