[PDF] Calcul matriciel Une matrice à n lignes et

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Chapitre 1Calcul matriciel

Dans tout ce chapitre la lettreKdésigneraQ,R, ouC.

1.1 Systèmes et point de vue matriciel

Rappelons qu"un système d"équations linéaires (disons, ànéquations etminconnuesx1,...,xmdansK) se

présente sous la forme ?a

1,1x1+...+a1,mxm=b1

a2,1x1+...+a2,mxm=b2. a n,1x1+...+an,mxm=bn

Trouver les solutions d"un tel système (s"il y en a!) revient à trouver l"image inverse de{b1,...,bn}par une

certaine fonction associée au système : la fonction?:K m→Kndéfinie par f(x

1,...,xm) = (a1,1x1+...+a1,nxm,...,an,1x1+...an,mxm).

En effet, dire que(x

1,...,xm)est solution du système revient à dire quef(x1,...,xm) = (b1,...,bn), ou encore

que(x

1,...,xm)?f-1({b1,...,bn}).

Toute l"information sur la fonction?est contenue dans les valeurs dea

1,1,...,a1,m,...,an,1,...,an,m; on

regroupe ces nombres dans unematrice.

Définition 1.1.Unematriceànlignes etmcolonnes à coefficients dansKest un tableau de la forme

(a

1,1... a1,m.

an,1... an,m Quandn= 1on dit queAest unematrice ligne; quandm= 1on dit queAest unematrice colonne. Enfin, quandn=mon dit que la matrice est unematrice carrée.

On noteM

n,m(K)l"ensemble des matrices ànlignes etmcolonnes à coefficients dansK. L"ensemble des matrices carrées ànlignes etncolonnes est simplement notéM n(K).

Ces objets sont très utiles pour mener à bien des calculs pratiques; souvent, on est en fait intéressé par un

système ou une fonction associée à la matrice comme ci-dessus.

1.2 Opérations sur les matrices

Les opérations sur les fonctions se traduisent en opérations sur les matrices; notons que sif,gsont deux

fonctions deK mdansKnalors on peut considérer leur sommef+g:x?Km?→f(x) +g(x). 1 Définition 1.2.Soitn,m?N?, etA,B?Mn,m(K), leur sommeA+Best la matrice dont le coefficient sur lai-ième ligne et laj-ième colone est égal àa i,j+bi,j; et leur différenceA-Best la matrice de coefficients a i,j-bi,j.

Par exemple,?1 23 4?

+?0 11 0? =?1 33 4? . La somme de?1 11 1? et?1221? n"est pas définie.

Il est également facile de multiplier une matrice par unscalaire, c"est à dire un élément deK.

Définition 1.3.Soitn,m?N

?,λ?KetA?Mn,m(K). AlorsλAest la matrice de coefficientsλai,j. Notons que l"addition des matrices est commutative : pour toutA,B?M n,m(K)on aA+B=B+A. Elle

est également associative :(A+B) +C=A+ (B+C), et en général on l"écrit simplementA+B+C. Enfin,

pour toutλ?Kon aλ(A+B) =λA+λB.

Le produit de matrices est une opération plus intéressante; il correspond à lacompositiondes fonctions

associées aux matrices. On peut composer deux fonctions?:K m→Knetg:Km?→Kn?et considérer la

fonctionf◦gexactement quand l"espace d"arrivée degest égal à l"espace de définition de?, autrement dit

quandn ?=m. En termes de matrices, le produit de deux matricesABsera donc défini exactement quandBa autant delignesqueAa decolonnes.

Définition 1.4.Soitn,m,n

?,m??N?,A?Mn,m(K)etB?Mn?,m?(K). Alors le produitABest défini si, et seulement si,m=n ?, et dans ce cas c"est la matrice ànlignes etm?colonnes dont le coefficient sur la lignei et la colonnejest égal à (AB) i,j= m? k=1 ai,kbk,j. Pourquoi cette formule? Pensons queAest la matrice associée à une application?:K m→Kn, etBest la matrice associée à une applicationg:K m?→Km. AlorsABdoit être la matrice associée à l"application f◦g:K m?→Kn. Pourx= (x1,...,xm?), calculons : f◦g(x

1,...,xm?) =f(g(x1,...,xm?))

=f( (m?? j=1 b1,jxj,..., m?? j=1 bm,jxj m? k=1 a1,k( m?? j=1 bk,jxj),..., m? k=1 an,k( m?? j=1 bk,jxj)) m?? j=1 m? k=1 a1,kbk,j)xj,..., m?? j=1 m? k=1 an,kbk,j)xj L"applicationf◦ga donc pour matrice la matrice ànlignes etm ?colonnes dont le coefficient sur la ligneiet la colonnejest égal à?m k=1ai,kbk,j, ce qui correspond bien à notre définition du produit de matrices.

Avec ces conventions, sixest l"élément deK

mde coordonnéesx1,...,xm, et?:Km→Kna pour matriceA, et qu"on considère le vecteur colonneX=( (x 1. x m ), la matrice colonneAX=( m? k=1 a1,kxk m? k=1 an,kxk )peut être vue comme

écrivanten colonnel"imagef(x). Toujours en écrivant les vecteurs en colonnes, on voit donc que résoudre un

système revient à résoudre une équation de la formeAX=B, d"inconnueX, oùBetXsont deux vecteurs

colonnes (Xa le même nombre de lignes que d"inconnues du systèmes, tandis que le nombre de lignes deBest

le nombre d"équations du système).

Par exemple, calculons le produit

2 3-1?(

(4 -2 3) )=?8-6-3?= (-1) ; 2 ou encore?0-1 0 5?? 2-3 0 0? =?0 00 0? alors que ?2-3 0 0?? 0-1 0 5? =?0-17 0 0?

Le dernier exemple ci-dessus nous montre deux phénomènes inhabituels : on peut avoirAB= 0(la matrice

nulle) alors queA?= 0etB?= 0; et on peut avoirAB?=BA. On a tout de même l"associativité du produit de

matrices. Exercice 1.5.Montrer que siA,B,Csont trois matrices telles queABetBCsont définis, alorsA(BC)et (AB)Csont bien définis etA(BC) = (AB)C. Autrement dit, le produit matriciel est associatif. On retrouve la règle habituelle de distributivité : pour toutes matricesA?M n,m(K)etB,C?Mm,p(K)on aA(B+C) =AB+AC. Définition 1.6.Soitn,mdeux entiers. Lamatrice nulle0 n,m?Mn,m(K)est la matrice dont tous les coefficients valent0. Quand il n"y a pas de risque de confusion, on la note simplement0.

Notons que pour toutA?M

n,m(K)on a0+A=A+0 =A; et siB?Mm,p(K)alors0n,mBest bien défini et0 n,mB= 0.

Définition 1.7.Soitn?N

?. La matrice identitéInest l"élément deMn(K)dont le coefficient sur lai-ième ligne et laj-ième colonne vaut0sii?=j, et1sii=j. En notantδ i,j= 1sii=j,0sii?=j, le coefficient(i,j) deI nest doncδi,j.

Proposition 1.8.Pour toute matriceA?M

n(K)on aInA=AIn=A.

Démonstration.Par définition,AI

nest l"élément deMn(K)dont le coefficient sur la ligneiet la colonnejvaut n? k=1 ai,kδk,j=ai,jδj,j=ai,j.

Donc on a comme attenduAI

n=A. De mêmeInAa pour coefficient(i,j) n? k=1

δi,kak,j=δi,iai,j=ai,j.

En général, on ne peut pas multiplier une matriceApar elle-même : le seul cas où c"est possible est celui où

Aa autant de lignes que de colonnes, c"est-à-dire le cas oùAest une matrice carrée.

Définition 1.9.Soitn?N

?etA?Mn(K). LespuissancesdeAsont les matricesAi?Mn(K)définies par récurrence par A

0=In;?i?NAi+1=A·Ai.

On vérifie facilement (par exemple, par récurrence surj) que pour touti,j?Non aA i+j=AiAj.

Définition 1.10.Soitn?N

?etA?Mn(K). On dit queAestinversibles"il existeB?Mn(K)telle que

AB=BA=I

n. On dit alors queBest l"inversedeAet on noteB=A-1.

Seule une matrice carrée peut être inversible; notons que l"inverse, s"il existe, est unique : siAB=BA=I

n etAC=CA=Inalors on a d"une partC(AB) =CIn=CetC(AB) = (CA)B=InB=B, d"oùB=C.

On verra un peu plus bas que, quandA,B?M

n(K), avoirAB=Inentraîne nécessairement queBA=In; mais pour l"instant on n"a pas les moyens de prouver cela.

Proposition 1.11.1. SiAest inversible alorsA

-1est inversible et(A-1)-1=A.

2. SiA,B?M

n(K)sont inversibles alorsABest inversible et(AB)-1=B-1A-1. 3

3. SiAest inversible alors pour toutm?NAmest inversible et(Am)-1= (A-1)m; on note simplement

cette matriceA -m. Démonstration.Le premier point est immédiat : on aA -1A=AA-1=In, ce qui montre à la fois queA-1est inversible et que son inverse estA. Le deuxième point découle de l"associativité du produit de matrices : (AB)(B -1A-1) =A(BB-1)A-1=AA-1=In; (B-1A-1)(AB) =B-1(A-1A)B=B-1B=In.

Le troisième point est aussi une conséquence de l"associativité et se montre par exemple par récurrence : le

résultat est clair pourm= 0,1. S"il est vrai au rangmalors on a A m+1(A-1)m+1=A(Am(A-1)m)A-1=AA-1=In.

1.3 Matrices élémentaires et opérations élémentaires sur les lignes et

les colonnes

Une méthode pour résoudre les systèmes est de faire des opérations sur les lignes pour se ramener à un

système plus simple. Ces opérations sont de la forme : multiplier une ligneL iparλLi, oùλest un scalaire non nul; remplacer la ligneL ipar la ligneLi+λLj, oùj?=ietλest un scalaire; et permuter les lignesLietLj.

Ces trois opérations sont appeléesopérations élémentaires sur les ligneset peuvent être interprétées en terme

de produit matriciel.

Définition 1.12.Soitn?N

1. Pouri? {1,...,n}etλ?K

?, la matriceEi(λ)est obtenue en multipliant parλlai-ième ligne deIn(et en ne touchant pas aux autres lignes). Par exemple (pourn= 5) E

3(12) =(

(1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 12 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1)

2. Pouri,j? {1,...,n}, la matriceE

i,jest obtenue en échangeant lai-ème et laj-ième ligne deIn. Par exemple (toujours pourn= 5) : E

2,4=E4,2=(

(1 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 1 0 0 00 0 0 0 1)

3. Enfin, pouri,j? {1,...,n}etλ?K, la matriceE

i,j(λ)est la matrice obtenue en ajoutantλfois la j-ième ligne deI nà sai-ième ligne. Par exemple (sempiternellement pourn= 5) : E

2,1(3) =(

(1 0 0 0 03 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1) Remarquons que les matrices élémentaires sont celles qu"on obtient en appliquant àI nune opération élémen-

taire sur les lignes; on pourrait aussi définir les opérations élémentaires sur les colonnes, et on vérifie facilement

que les matrices élémentaires sont également celles qui sont obtenues en appliquant àI nune opération élémen- taire sur les colonnes.

Le lien entre matrices élémentaires et opérations élémentaires est le suivant : multiplierAà gauchepar

une matrice élémentaire revient à appliquer àAla même opération élémentaire qui a servi à définir la matrice

élémentaire en question. Plus précisément : 4 Proposition 1.13.Soitn,mdeux entiers, etA?Mn,m(K). Alors :

1. Pouri? {1,...,n}etλ?K

?, la matriceEi(λ)Aestla matrice obtenue en appliquant àAl"opération L i→λLi.

2. Pouri,j? {1,...,n}, la matriceE

i,jAest la matrice obtenue en permutant lai-ième ligne et laj-ième ligne deA.

3. Pouri,j? {1,...,n}etλ?K, la matriceE

i,j(λ)Aest la matrice obtenue en appliquant àAl"opération L i→Li+λLj.

Cette propriété se vérifie facilement et on laisse la preuve en exercice. Notons aussi que multiplierAà droite

par une matrice élémentaire revient à appliquer une opération élémentairesur les colonnesdeA.

Proposition 1.14.les matrices élémentaires sont inversibles; et on a les formules : (E i(λ))-1=Ei(1λ) ; (Ei,j)-1=Ei,j; (Ei,j(λ))-1=Ei,j(-λ). Notons que, si jamais une matriceAest inversible et qu"on connaît son inverseA -1, il est très facile de résoudre le systèmeAX=B: en multipliant parA -1des deux côtés, on aX=A-1B.

1.4 La méthode de Gauss : forme échelonnée réduite d"une matrice.

La méthode du pivot de Gauss, appliquée à un système, revient à appliquer des opérations élémentaires

sur les équations afin de se ramener à un système plus simple, sous formeéchelonnée. Sur les matrices, on

peut appliquer des opérations sur les lignes ou sur les colonnes; ci-dessous on va définir ce qu"est une matrice

échelonnée en lignes, mais on pourrait aussi définir les matrices échelonnées en colonnes (en échangeant le rôle

des lignes et des colonnes dans les définitions). Il faudra savoir échelonner une matrice en ligne et en colonnes :

on verra plus tard qu"échelonner en lignes préserve lenoyaude la matrice (ou plutôt, de l"application linéaire

associée; on verra ces notions plus loin dans le cours) tandis qu"échelonner en colonnes préserve l"image.

Définition 1.15.SoitA?M

n,m(K). On dit queAestéchelonnée(en lignes) si elle possède les propriétés suivantes :

•Pour touti? {1,...,n}siL

i= 0alorsLj= 0pour toutj > i;

•Pour touti? {1,...,n}tel queL

i?= 0, on appellepivotson premier coefficient non nul; pour toutj > i, ou bienL jest nulle ou bien le pivot deLjest situé strictement à droite du pivot deLi.

Si de plus chaque pivot est égal à1, et les autres coefficients dans la colonne d"un pivot sont nuls, alors on dit

que la matrice estéchelonnée réduite.

Définition 1.16.Soitn,m?N

?etA,B?Mn,m(K). On dit queAetBsontéquivalentes en lignessi l"on peut passer deAàBen appliquant un nombre fini d"opérations élémentaires sur les lignes.

En termes de produits de matrices, deux matricesA,Bsont équivalentes en lignes s"il existe des matrices

élémentairesM

1,...,Mktelles queB=M1...MkA.

La méthode du pivot de Gauss consiste à appliquer des opérations élémentaires sur les lignes d"une matrice

pour se ramener à une matrice échelonnée réduite. Le théorème suivant assure que c"est bien possible.

Théorème 1.17.Toute matrice est équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite.

Preuve.On va raisonner par récurrence sur le nombremde colonnes de la matrice. Sim= 1, alors soit

la matrice est nulle (donc échelonnée), soit elle a un coefficient non nul. Quitte à permuter deux coefficients

(opération élémentaire) on peut assurer que ce coefficient soit sur la première ligne. Quitte à multiplier le premier

coefficient par une constante non nulle (encore une opération élémentaire) on peut faire en sorte qu"il vaille1.

Et en remplaçantL

jparLj-αkL1(toujours une opération élémentaire) pour unαjbien choisi pour toutj≥2,

on peut faire en sorte que tous les coefficients à partir de la deuxième ligne soient nuls.

On a donc montré le résultat désiré pourm= 1; supposons qu"il soit vrai jusqu"au rangm, et considérons

une matriceAavecnlignes etm+ 1colonnes. Si la première colonne deAest nulle, on peut regarder la

matrice obtenue en oubliant cette colonne et lui appliquer l"hypothèse de récurrence pour la mettre sous forme

échelonnée réduite, et donc mettreAsous forme échelonnée réduite. 5

Sinon,un coefficient sur la première colonne est non nul; en appliquant les mêmes opérations élémentaires

que dans le casm= 1, on peut faire en sorte que ce coefficient vaille1et que le premier coefficient de chaque

ligneà partir de la deuxième soit nul. Regardons la sous-matrice deAobtenue en oubliant la première ligne et la

première colonne deA: par hypothèse de récurrence on peut la mettre sous forme échelonnée en appliquant des

opérations élémentaires sur les lignes. Ceci signifie que, par une suite d"opérations élémentaires sur les lignes,

on peut faire en sorte que : la première colonne deAsoit( (1 0 0) ), et la sous-matrice obtenueBen oubliant

la première ligne et la première colonne est échelonnée réduite. Cette matrice est échelonnée mais pas encore

échelonnée réduite : dans la colonne d"un pivot deB, le terme situé sur la première ligne deApourrait être non

nul. Si cela se produit, disons que le pivot est sur laj-ième ligne deA, l"opérationL

1→L1-αjLj, oùαjest

le coefficient au-dessus du pivot sur la première ligne deA, appliquée autant de fois qu"il y a de pivots dansB,

résoud le problème. On s"est bien ramené à une matrice échelonnée réduite.

Notons qu"en fait une matrice est équivalente en ligne àexactementune matrice échelonnée réduite (en

lignes), fait qu"on va admettre dans ce cours (en pratique on n"aura pas besoin de cette unicité de la forme

échelonnée réduite). Pour cette raison on parlera delaforme échelonnée réduite (en lignes) d"une matrice.

Par exemple, appliquons la méthode de Gauss à la matrice (0 0 1 30 3 0 10 3 1 2)

pour la mettre sous forme échelonnée en lignes; on cherche la première colonne avec des coefficients non nuls

(ici, la deuxième) et (si nécessaire) on permute deux lignes pour que ce coefficient non nul soit sur la première

ligne. Ici, par exemple, on échangeL

1etL2pour arriver à

(0 3 0 10 0 1 30 3 1 2)

Ensuite on utilise le pivot pour faire en sorte que les coefficients sur les lignes en-dessous soient nulles; ici on

remplaceL

3parL3-L1:(

(0 3 0 10 0 1 30 0 1 1)

Ensuite,L

3→L3-L2nous donne(

(0 3 0 10 0 1 30 0 0-2)

Cette matrice est échelonnée, mais pas encore échelonnée réduite; pour éliminer les coefficients au-dessus de la

diagonale on utilise les opérationsL

2→2L2+ 3L3etL1→2L2+L3pour aboutir à

(0 6 0 00 0 1 00 0 0-2)

En multipliant chaque ligne par le bon scalaire, on voit que la forme échelonnée réduite est

(0 1 0 00 0 1 00 0 0 1)

Définition 1.18.Soitn,m?N

?etA?Mn,m(K). Alors satransposéeest la matriceAt?Mm,n(K)dont le coefficient sur la ligneiet la colonnejest égal àa j,i. 6

Par exemple,?1 2 3?t=(

(1 2 3) );?1 23 4? t =?1 32 4?

Proposition 1.19.Pour toute matriceAon a(A

t)t=A; et siABsont deux matrices telles queABestdéfini alorsB tAtest bien défini etBtAt= (AB)t.

On vérifie que la transposée d"une matrice élémentaire est encore une matrice élémentaire; ainsi, en trans-

posant, on échange les opérations élémentaires sur les lignes appliquées àAen opérations élémentaires sur les

colonnes appliquées àA t. Par conséquent, lorsqu"on a montré que toute matrice était équivalente en lignes à

une matrice échelonnée réduite en lignes, on a aussi montré que toute matrice est équivalente en colonnes à une

matrice échelonnée réduite en colonnes!

1.5 Une méthode de calcul de l"inverse d"une matrice

Théorème 1.20.Soitn?N?etA?Mn(K). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1.Aest inversible.

2. Pour tout vecteur colonneY?M

n,1(K), l"équationAX=Ya une solution unique dansMn,1(K).

3. L"équationAX= 0a0pour seule solution dansM

n,1(K).quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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