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A propos des matrices echelonnees

Antoine Ducros

appendice au cours deGeometrie ane et euclidiennedispense a l'Universite Paris 6

Annee universitaire 2011-2012

Introduction

Soitkun corps, soitEunk-espace ane de dimension nie, et soitRun repere cartesien deE. Il y a, en pratique, deux facons de decrire un sous-espace aneFdeEen coordonnees dansR. (i)On peut en donner un systeme d'equations cartesiennes (anes), c'est- a-dire encore le decrire comme l'ensemble des antecedents d'un point par une application ane.Par exemple, le systeme d'equations x+yz= 1 xy+ 3z= 3 denit une droite deR3(muni de son repere canonique); il la decrit tres precisement comme l'ensemble des antecedents du point (1;3) par l'application ane R

3!R2;(x;y)7!(x+yz;xy+ 3z):

(ii)On peut en donner un parametrage (ane), c'est-a-dire encore le decrire comme l'image d'une application ane.Par exemple, f(25s+t;2 +st;4 + 2st)g(s;t)2R2 denit un plan deR3(muni de son repere canonique), et le decrit plus precisement comme l'image de l'application ane R

2!R3;(s;t)7!(25s+t;2 +st;4 + 2st):

Remarquons que se donner un parametrage ane deFrevient a en don- ner un point (ses coordonnees sont les termes constants du parametrage) et une famille generatrice de l'espace directeur (formee par les vecteurs de co- ecients de chacun des parametres). Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, le sous- espace ane considere est egal a 8< (2;2;4)|{z} termes constants+s(5;1;2)|{z} coecients des+t(1;1;1)|{z} coecients det9 (s;t)2R2 et est donc le sous-espace ane deR3passant par le point (2;2;4) et dirige par

Vect((5;1;2);(1;1;1)).

1 Ces deux types de descriptions ont leurs merites propres. Une description par equations cartesiennes permet de savoir immediatement si un point donne appartient aF: il sut de regarder si ses coordonnees satis- font les equations. Ainsi on voit immediatement que le point (1;1;1) appartient a la droite donnee en (i), mais pas le point (2;2;2) (qui ne satisfait pas la seconde equation). Une description parametrique ne permet pas de traiter ce genre de question aussi simplement; par exemple, on ne peut pas direinstantanementsi (1;5;1) appartient ou non au plan decrit en (ii). Une description parametrique fournit, par sa forme m^eme, une listeexplicite de tous les points deF. Si l'on conna^t un systemeSd'equations cartesiennes deF, une telle liste peut ^etre vue comme une liste explicite de toutes les solu- tions deS; on ne peut pas en exhiber uneinstantanementa partir deS. Le but de ce petit texte est de fournir une methode systematique de passage d'une description a l'autre. Elle n'est pas compliquee { elle consiste simplement a utiliser le pivot de Gau pour mettre, par manipulations elementairessur les lignes, une matrice donnee sous une forme particuliere, diteechelonnee (en lignes), mais se revele redoutablement puissante; expliquons succinctement en quoi. Elle marcheaussi bienpour passer d'une description parametrique aux equations cartesiennes que pour aller dans l'autre sens. Elle fournit dans chaque cas une description aussi simple que possible, dans le sens suivant. Supposons tout d'abord que l'on parte d'un systemequelconqued'equations cartesiennesSdecrivant un sous-espace aneFdeE. L'echelonnement four- nit alors un point et unebase(et pas seulement une famille generatrice) de l'espace directeur deF; en d'autres termes, il permet d'obtenir une description de l'ensemble des solutions deSavec un nombre minimal de parametres. Supposons maintenant que l'on parte d'une description parametriquequel- conquedeF. L'echelonnement fournit alors un systememinimald'equations cartesiennes deF, c'est-a-dire que les equations lineaires qui leur sont associees forment une famille libre. Elle permet desimplierla description d'un sous-espace ane par un systeme d'equations cartesiennes : si l'on se donne un systeme d'equations cartesiennesSd'un sous-espace aneFdeE, elle fournit a partir deS un systeme d'equations cartesiennesS0deFdont les equations lineaires as- sociees forment une famille libre; de plus, les equations qui constituentS0sont particulierement simples. Elle permet d'inverser une matrice, et donc de calculer la reciproque d'une application ane. Mentionnons toutefois une limite de cette methode : si l'on se donne un point et une famille generatrice de l'espace directeur deF, on ne peut pas direc- tement recuperer par echelonnement en lignes une base de l'espace directeur; il faut ou bien proceder deux fois de suite a un tel echelonnement, ou bien utiliser (et une fois sut alors), sa version transposee, c'est-a-dire l'echelonnement en colonnes. 2

1 Matrices echelonnees

A propos des matrices vides

Sinest un entier, on notef1;:::;ngl'ensemble des entiers compris entre 1 etn; il est donc vide des quen= 0. Sinetmsont deux entiers, une matrice de taille (n;m) a coecients dansk est une application (i;j)7!aijdef1;:::;ngf1;:::;mgdansk. Cette denition garde un sens lorsquenoumest nul : l'ensemblef1;:::;ng f1;:::;mgest alors vide, et il existe une et une seule application de l'ensemble vide dansk (et plus generalement dans n'importe quel ensembleE) : c'est l'inclusion, qu'on appelle aussi l'application vide. Cela a donc un sens de parler de matrice de taille (m;n) simounest nul; il existe une et une seule matrice de cette taille, parfois appelee matrice vide. Contrairement a ce que l'on pourrait croire au premier abord, inclure ces etranges bestioles dans la theorie n'a pas pour but de compliquer la vie, mais bel et bien de la simplier. Cela assure par exemple que tous les raisonnements d'algebre lineaire reposant sur des arguments matriciels restent valables m^eme lorsqu'un des espaces en jeu est de dimension nulle, et evite donc des distinctions fastidieuses de cas particuliers le plus souvent triviaux. De m^eme, cela peut permettre, par exemple, au cours d'un raisonnement sur une matrice de taille (n;m) avecn>1, de considerer la sous-matrice de taille (n1;m) obtenue en retirant la premiere ligne, sans avoir a distinguer le cas ounest egal a 1. Nous avons donc choisi, dans ce texte, d'autoriser les matrices de taille (n;m) avecnoumnul. Le lecteur qui n'aime pas ca peut ou bien ne pas y penser { c'est le plus raisonnable {, ou bien supposer quenetmsont strictement positifs, a charge pour lui d'initialiser certaines recurrences an= 1, alors qu'elles demarrent ici an= 0.

Matrices echelonnees

Soientnetmdeux entiers, et soitA2Mn;m(k). On dit queAestechelonnee (selon les lignes)si elle possede les proprietes suivantes : pour touti2 f1;:::;ng, siLi= 0 alorsLj= 0 pour toutj > i; pour touti2 f1;:::;ng, siLi6= 0, son premier coecient non nul est egal a 1, et est appele unpivotde la matriceA; pour touti2 f1;:::;ngtel queLi6= 0 et toutj > ialors ou bienLjest nulle, ou bien le pivot deLjest situestrictement a droitede celui deLi; dans la colonne d'un pivot, tous les termes sont nuls hormis le pivot lui- m^eme. On denit de m^eme la notion de matrice echelonnee selon les colonnes; une matrice est echelonnee selon les lignes si et seulement si sa transposee est echelonnee selon les colonnes. Dans ce qui suit, une matrice echelonnee sera toujours, sauf mention expresse du contraire, echelonnee selon les lignes. 3

Par exemple,

0 B

B@1 2 0 1 0

0 0 13 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 01

C CA est echelonnee; ses pivots sont situes en (1;1), (2;3) et (3;5). SiA= (aij) est une matrice echelonnee, ses lignes non nulles forment une famille libre. En eet, soitIl'ensemble des indices des lignes non nulles deA, et supposons queP

22IiLi= 0. Fixonsi0, et soitjle numero de la colonne

contenant le pivot deLi0. On a en particulierP i2Iiaij= 0. Mais comme tous les termes de la colonnejsont nuls, a part le pivot deLi0qui vaut 1, il vient i0= 0. En consequence, le rang d'une matrice echelonnee est egal au nombre de ses lignes non nulles, c'est-a-dire encore au nombre de ses pivots. Ainsi, la matrice ci-dessus est de rang 3. SoitAune matrice carree de taillen, supposee echelonnee. Elle est de rangn, c'est-a-dire inversible, si et seulement si elle anpivots. Il est immediat, compte- tenu de la denition m^eme d'une matrice echelonnee, que cela se produit si et seulement siA=In. Appelonsoperation elementaire sur les lignes deAune operation de l'un des types suivants :

Li !Lj, aveci6=j;

Li!Liavec2k;

Li!Li+Lj, avecj6=iet2k.

Chacune de ces operations consiste a multiplierAa gauchepar une matrice inversible convenable : celle deduite de l'identite par l'operation consideree. Lemme.SoitA2Mn;m(k). On peut la transformer en une matrice echelonnee par une suite nie d'operations elementaires sur les lignes. Demonstration.La preuve que nous allons donner va essentiellement consis- ter a decrire un algorithme permettant de realiser la reduction souhaitee. On raisonne par recurrence sur le nombremde colonnes.

Sim= 0 la matrice est vide, et donc echelonnee.

Supposonsm >0 et la propriete vraie en rang inferieur. Premier cas.Supposons que la premiere colonne deAest nulle; en vertu de l'hypothese de recurrence, on peut echelonner la matrice (aij)16i6n;26j6m par operations elementaires sur les lignes. Lorsqu'on applique les operations en question aA, on obtient une matrice dont la premiere colonne est nulle, et dont le bloc de droite de taille (n;m1) est echelonne; cette matrice est echelonnee, et la preuve est terminee. Second cas.Supposons qu'il existeitel queai16= 0. Quitte a echangerLiet L

1sii6= 1, on se ramene au cas oua116= 0; puis, en multipliantL1para111,

au cas oua11= 1. Enn, en remplacant pour touti >1 la ligneLiparLiai1L1, on obtient une matrice telle quea11= 1 etai1= 0 pouri >1. 4 SoitBle bloc (aij)26i6n;26j6mdeA. Par l'hypothese de recurrence, on peut echelonnerBpar operations elementaires sur les lignes. En appliquant les operations correspondantes aA, on obtient une matrice de la forme suivante : - son terme en haut a gauche est egal a 1, et est le seul terme non nul de la premiere colonne; - son bloc (n1;m1) en bas a droite est echelonne. La matrice ainsi obtenue n'est pas forcement echelonnee : dans la colonne d'un pivot deBle terme situe sur la premiere ligne deApourrait ^etre non nul.

On y remedie comme suit.

Soienti1;:::;irles numeros (croissants) des lignes deAcomportant un pivot deB; pour tout`2 f1;:::;rgnotonsj`le numero de la colonne deAcontenant le pivot deBsitue surLi`. Faisons subir aAles operationsL1!L1a1j1Li1;L1a1j2Li2, etc. L'operationL1!L1a1j`Li`remplacea1j`par 0, et ne modie aucun des a

1spours < j`puisqueai`s= 0 pour touts < j`. Par consequent, la matrice

Aobtenue au terme de ces transformations est bien echelonnee.

Le noyau d'une matrice echelonnee

SoitAune matrice de taille (n;m) echelonnee. Interpretons-la comme la matrice d'un endomorphisme dekmdanskn, munis de leurs bases canoniques respectives. SoitJl'ensemble des indices des colonnes comportant un pivot et soitJ0son complementaire. Pour toutj2Jon notei(j) la ligne qui contient le pivot de la colonnej. Par denition m^eme d'une matrice echelonnee, le noyauEdeApeut ^etre decrit, en coordonnees dans la base canonique dekm, par le systeme d'equations cartesiennes x j+X `>j;`2J0a i(j)`x`= 0; j2J; soit encore ()xj=X `>j;`2J0a i(j)`x`; j2J: Reconstitution de la matriceAa partir deE.Nous allons expliquer commentApeut ^etre retrouvee en termes des proprietes du sous-espace vectoriel Edekm; il en resultera quedeux matrices echelonnees qui ont m^eme noyau concident. Sim= 0 alorsE=km= 0, la matriceAest necessairement vide, et il n'y a rien a faire. On suppose a partir de maintenant quem >0. Reconstitution de l'ensembleJ.On va en fait reconstituerJ0{ cela revient au m^eme puisqueJest le complementaire deJ0, maisJ0est plus facile a decrire directement. SiSest une partie def1;:::;mgon dira queSestlibre relativement aEsi pour toute famille (aj)j2Sd'elements dekil existe un element (xj)16j6m deEtel quexj=ajpour toutj2S. En vertu de (), l'ensembleJ0peut alors ^etre decrit comme suit, par un procede recursif descendant : 5 l'entiermappartient aJ0si et seulement sifmgest libre relativement a E; pour toutj2 f1;:::;m1gon aj2J0si et seulement si l'ensemble fjg [(fj+ 1;:::;mg \J0) est libre relativement aE. Reconstitution des indicesi(j).Il decoule de la denition d'une matrice echelonnee que le`-ieme element deJ(pour l'ordre usuel sur les entiers) est necessairement situe sur la ligne`, ce qui montre que la fonctionj7!i(j) est uniquement determinee une fois que l'on conna^tJ. Fin de la reconstitution deA.Il reste a determiner lesai(j)`pourj2J et`2J0\ fj+ 1;:::;mg. Fixons donc un tel couple (j;`). Pour touta2K, soiteal'element dekmdont laj-ieme coordonnee est egale aa, dont la`-ieme coordonnee est egale a1, et dont les autres coordonnees sont nulles. Il resulte de () queai(j)`est l'unique elementadektel queea2E, ce qui termine la reconstitution.

Corollaire : unicite de la forme echelonnee

Soientnetmdeux entiers et soitA2Mn;m(k). On a vu plus haut que l'on peut, par une suite nie d'operations elementaires sur ses lignes, transformerA en une matrice echelonneeB. Compte-tenu de l'interpretation matricielle d'une telle operation, cela implique l'existence d'une matrice inversiblePde taillen telle quePA=B. SiXest un vecteur colonne de taillemon a

AX= 0()PAX= 0;

puisquePest inversible. Autrement dit, le noyau dePA, c'est -a-dire le noyau de B, est egal a celui deA. Comme une matrice echelonnee peut ^etre reconstruite a partir de son noyau par le procede decrit plus haut, il en decoulel'unicite de B: si l'on echelonneApar operations elementaires sur ses lignes, la matrice obtenue ne depend pas de la suite d'operations eectuees.

2 Utilisation de l'echelonnement

Inversion de matrice

Soitnun entier et soitAune matrice carree de taillen. On peut la transfor- mer en une matrice echelonnee par une suite d'operations elementaires, chacune d'elle consistant a multiplierAa gauche par une matrice inversible d'un type particulier. On peut ainsi ecrirePrPr1:::P1A=B, ouPiest la matrice cor- respondant a lai-ieme operation elementaire que l'on a eectuee, et ouBest echelonnee. Comme lesPisont inversibles, le rang deAest egal a celui deB, dont on a vu qu'il est lui-m^eme egal au nombre de lignes non nulles deB. En particulier,Aest inversible si et seulement siBest inversible. On a vu plus haut qu'une matrice carree echelonnee est inversible si et seulement si elle est egale a l'identite; par consequent,Aest inversible si et seulement siBest egale a l'identite. Dans ce cas, l'inverse deAest egale aPrPr1:::P1; compte-tenu de l'interpretation desPicomme matrices d'operations elementaires sur les lignes, on voit queA1 6 s'obtient en faisant subir a la matriceInles transformations que l'on a fait subir aA. Recapitulation.Pour determiner si une matriceAest inversible et, le cas echeant, calculer son inverse, on procede comme suit : on echelonneApar operation elementaires sur les lignes; on fait subir a la matriceInla m^eme suite d'operations elementaires; on noteB(resp.C) la matrice ainsi obtenue a partir deA(resp.In); siB=In, la matriceAest inversible etA1=C; siB6=InalorsAn'est pas inversible.

Echelonnement, image et antecedents

Soientnetmdeux entiers et soitAune matrice appartenant aMn;m(k). Fixons un vecteur colonneBde longueurn, dont on noteb1;:::;bnles compo- santes. Le but de ce qui suit est d'utiliser l'echelonnement pour donner : uneequation cartesienne de l'image deF X7!AX+B; et pour tout point de cette image, une description parametrique de l'ensemble de ses antecedents. Pour cela, on procede comme suit. SoitYun vecteur colonne de taillende coordonneesy1;:::;yn. On echelonne la matriceAen lui faisant subir une suite d'operations sur les lignes; siP1;:::;Prdesignent les matrices codant chacune de ces operations, on aPrPr1:::P1A=C, ouCest echelonnee. PosonsY0=PrPr1:::P1YetB0=PrPr1:::P1B. Le vecteur colonneY0 (resp.B0) est obtenu en faisant subir aY(resp.B) les transformations in igees aA; lei-eme terme deY0est egal a`i(y1;:::;yn) pour une certaine forme lineaire`i; notonsb0ilei-ieme terme deB0. SoitXun vecteur colonne de longueurmde coordonneesx1;:::;xm. On a soit encoreCX+B0=Y0. Soitrle nombre de lignes non nulles deC; les lignes non nulles deC sont alors exactement les lignes dont le numero appartient af1;:::;rg. Soit Jl'ensemble des numeros des colonnes des pivots. Pour touti2 f1;:::;rg, on note(i) le numero de la colonne du pivot de lai-ieme ligne; on a donc

J=f(i)g16i6r.

L'egaliteAX+B=Yequivaut par ce qui precede aCX+B0=Y0, c'est- a-dire au systeme d'equations ()8 :x (i)= P j>(i);j=2Jc ijxj! +`i(y1;:::;yn)b0i(16i6r)

0 =`i(y1;:::;yn)b0i(r < i6n):

Un systeme d'equations cartesiennes deF.Nous allons montrer queYap- partient aFsi et seulement si`i(y1;:::;yn) =b0ipour touti2 fr+ 1;:::;ng. Le vecteurYappartient aFsi et seulement si le systemeAX+B=Ya une solution enX, donc si et seulement siCX+B0=Y0a une solution enX. 7

Supposons que ce soit le cas; on deduit alors de () que`i(y1;:::;yn) =b0ipour touti2 fr+1;:::;ng. Reciproquement, supposons que`i(y1;:::;yn) =b0ipour touti2 fr+ 1;:::;ng, et soitXle vecteur colonnes de coordonnees

x

1;:::;xmdenies comme suit :

xj= 0 pour toutj2 f1;:::;mg J; x(i)=`i(y1;:::;yn)b0ipour touti2 f1;:::;rg. Le systeme () est alors satisfait, ce qui signie exactement queCX+B0 est egal aY0; ainsi,Yappartient aF. Par consequent,fli(y1;:::;yn) =b0igr+16i6nest un systeme d'equations cartesiennes deF. Le rang deAest egal au nombre de lignes non nulles deC, c'est-a-dire ar; la dimension deFest doncr. Le systemefli(y1;:::;yn) =b0igr+16i6nest un systeme denrequations anes qui decrit un sous-espace ane de dimensionrdekn(identie a l'en- semble des vecteurs colonnes de longueurn). Il s'ensuit que les parties lineaires de ces equations sont lineairement independantes : on a ainsi obtenu un systeme d'equations cartesiennes deFqui est minimal. Description des antecedents d'un point deF.SoitY2F; cela signie d'apres ce qui precede que`i(y1;:::;yn) =b0ipour touti2 fr+ 1;:::;ng. Le systeme () fournit alors par sa forme m^eme une description parametrique de l'ensembleEdes antecedents deY, c'est-a-dire de l'ensemble desXtels que AX+B=You, ce qui revient au m^eme, tels queCX+B0=Y0: les parametres sont lesxipouri =2J; ceux-ci etant xes, on a pour touti2 f1;:::;rgl'egalite x (i)= P j>(i);j=2Jc ijxj! +`i(y1;:::;yn)b0i: On voit que l'on obtient une description au moyen demrparametres (le cardinal deJetant egal a celui deI, et donc ar); en d'autres termes, on obtient par ce biais un point deEet une famille generatrice de cardinalrde son espace directeur. Par ailleurs, l'espace directeur en question s'identie au noyau deA, et est donc de dimensionmr, puisqueAest de rangr. La famille generatrice en question obtenue est en consequence une base; autrement dit, on a exhibe une description parametrique deEavec un nombre minimal de parametres. Un point de vue legerement dierent : simplication d'un systeme d'equations cartesiennes deE.On peut donner une autre interpretation de la description de Eainsi obtenue :a priori, l'espaceEest deni comme l'ensemble des antecedents deY, donc comme l'ensemble des solutions (enX) de l'equationAX+B=Y; il est donc decrit par un systeme denequations anes. Le systemeAX+B=Y est equivalent aCX+B0=Y0. Dans celui-ci, d'apres ce qui precede, les lignes numerotees der+ 1 ansont des egalites entre scalaires (elles ne font plus in- tervenir les variablesxj). Ne subsistent donc que lesrpremieres lignes, dont les parties lineaires forment une matrice echelonnee; elles sont donc lineairement independantes. On a ainsi obtenu une nouvelle description deEpar un systeme d'equations cartesiennes qui a un nombre minimal d'equations et est de surcro^t particulierement simple. 8 Echelonnement en colonnes et extraction d'une base Soientmetndeux entiers, soitAune matrice appartenant aMnm(k) et soitBun vecteur colonne de longueurn. SoitFl'image deX7!AX+B. DecrireFcomme l'image deX7!AX+Brevient a en donner une description parametrique, amparametres (les coordonnees de l'espace source); ou, si l'on prefere, a en donner un point (a savoirB) et une famille generatrice de l'espace directeur (les colonnes deA). Nous allons expliquer dans ce qui suit comment donner une description pa- rametrique deFavec un nombre minimal de parametres { ou, ce qui revient au m^eme, comment en donner unebasede l'espace directeur. L'echelonnement en lignes preserve le noyau d'une matrice (cf. supra), mais n'a aucune raison de preserver son image; il n'est donc pas adapte au probleme pose. Pour resoudre celui-ci, nous allons echelonnerAen colonnes, par manipula- tions elementaires sur ses colonnes; pour s'assurer que c'est possible on peut ou bien reprendre la preuve de l'existence d'un echelonnement en ligne, et echanger les termes ligneetcolonnedans la demonstration; ou bien utiliser l'exis- tence de l'echelonnement en lignes en l'appliquant a tA. Toute manipulation elementaire sur les colonnes deArevient a la multiplier a droite par une matrice inversible convenable (obtenue en appliquant la mani- pulation en question a l'identite). Il existe donc une matrice inversiblePet une matrice echelonnee en colonnesCtelles queC=AP. Un vecteurYappartient aFsi et seulement si il existe un vecteur colonne Xde longueurntel queAX+B=Y. Ceci est equivalent a l'existence d'un vecteurX0tel queAPX0+B=Y: en eet, si un telX0existe, on peut prendre X=PX0; et si un telXexiste, on peut prendreX0=P1X. Par consequent,F est l'image de l'applicationX7!CX+B. CommeCest echelonnee en colonne, ses colonnes non nulles sont lineairement independantes; elles constituent donc une base de l'espace directeur deF. Alternativement, la description deFcomme l'image deX7!CX+Ben fournit un parametrage, dans lequel les parametres qui interviennent eective- ment sont les coordonnees de l'espace source correspondant aux colonnes non nulles deC; sirdesigne le rang deA, il y artelles colonnes, et on a ainsi obtenu une description deFau moyen du nombre minimal de parametres possible, a savoirr. 9quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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