1 Programmation linéaire
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Programmation Lin aire Cours 1 - u-bordeauxfr
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I Exercices de programmation linéaire (1, 2, 3, 4, 5.1 et 5.2) sont dans l’objectif minimum…. 1 Résoudre par la méthode graphique : Max [CA] : 4 xa + 6 xb (1) 6 xa + 5 xb ? 30 (2) 3 xa + 9 xb ? 27 (3) xa ? 5 (4) xb ? 4
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Corrigé:P rogramm ationlinéaireII
Exercice1
Auqu atorzièmesiècle,unTouaregcompteg agnerunpeud'oreninve stissa ntdansdes dromadairesqu'ilsaitpouvoirrev endreàTomboucto u.Commesaroute passeparTaoudeni, ilpen seaussiyacheter duselpourtirerd'avan tagede bénéficedesonvoyage. Ilsaitqu 'il pourraobtenirau termedesonvoyage10po(p ièced 'or)debénéficepar dromad aire,et1 pa (pièced'argen t)debénéficeparkgde sel.(10pa= 1po). Avanttoutech oseilfautdéjàqu 'ilachètecesdr omadai resetcesel. Chaquedromad aireluicoûte10po ,etchaque kgd esel0,2pa.Ilpeutinvestir65po .
Sachantqu'undromadai repeuttrans porterjusqu'à150kgdesel,co mmentceTo uaregdoit investirsonpéculepour tirerlebénéfice maximaldes oninvestissement ? a)E crireceproblèmedePL sousform estandard. b)Ré soudreenutilisantl'a lgorit hmedusimplexe.Achaquepivoteme nt,donnerles coordonnéesdusommetcorrespond ant c)Illu strergraphiquementcepr oblème.Solution
a)So itx 1 leno mbrededromadairese tx 2 leno mbredekilosdesel.Exprimonschaquesommeenpa .
Lescon traintessont:100x
1 +0,2x 2 x 2 1501 ⇔x 2 1
MaximiserZ=100x
1 +x 2 (Zest exprimé enpa)Souscont raintes
100x1 +0,2x 2 +x 3 =650 -150x 1 +x 2 +x 4 =0 x i ≥0i=1,..,4 b) -x 1 -x 2
Z=0-100-1
x 3 =6501000,2 x 4 =0-1501 -x 3 -x 2Z=6501-0,8
x 1 =6,50,010,002 x 4 =9751,51,3SommetO(0;0)S ommetA(6 ,5; 0)
-x 3 -x 4Z=12505-8/13
x 1 =51/130-1/6500 x 2 =75015/1310/13SommetB(5;750)
Ilfaut qu'il achète5dromadaires
et750k gde selIlré aliseraunbénficede125po.
c)24681012-2-4
0 -200 200400
600
800
1000
f g Z A B O
Corrigé:Programmat ion linéaireIILd2
Exercice2
Unre vendeurd'électricitéapromisàsaclientèlequ 'aumoins25%deso nélectric itéserait d'originerenouvelable.Ilac alculéquepourl'annéequiarrive,ilaura unmarché d'a umaximum18TW h(térawattheur e).Ilaaussiprésélectionnétroisfournisseu rsàquii lva acheterson
électricitéengros.
Voicilesquan tités(enT Wh),letauxd'électricitéren ouvelable etlamargedégag ée(enm illiers
d'euros/TWh)quepeuventlui fournircest roisproducteurs. renouvelableachetable(TWh)1000CH F/TWhProducteur110%25900
Producteur246%6700
Producteur3100%4500
a)Ex primezl'ensembledescontr aintessousformemathématiques.Pourla suite,negar dez quecellesqu isont utiles. b)Expri mezleproblèmesoussaforme standard. c)Utilisezl'algor ithm edusimplexepourr ésoudrele problème.Solution
a)So itx 1 ,x 2 ,x 3 leno mbredeTWhquelereve ndeura chèterare spectivem ent aux3 producteurs.Lescont raintessont:
x 1 +x 2 +x 3 1Parcon trex
2 3 x 1·10%+x
2·46%+x
3 ≥(x 1 +x 2 +x 3 )·25%⇔10x 1 +46x2 +100x
3 ≥25x 1 +25x
2 +25x
3 ⇔15x 1 -21x 2 -75x 3 1 -7x 2 -25x 3 b)Ma ximiserZ=9x 1 +7x 2 +5x 3 (Zest expriméen 10 5 CHF)
Souscon traintes
x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =18 x 2 +x 5 =6 x 3 +x 6 =4 5x 1 -7x 2 -25x 3 +x 7 =0 x i ≥0i=1,..,7 c) -x 1 -x 2 -x 3Z=0-9-7-5
x 4 =18111 x 5 =6010 x 6 =4001 x 7 =05-7-25 -x 7 -x 2 -x 3Z=09/5-98/5-50
x 4 =18-1/512/56 x 5 =6010 x 6 =4001 x 1 =01/5-7/5-5 -x 7 -x 2 -x 4Z=1502/152/525/3
x 3 =3-1/302/51/6 x 5 =6010 x 6 =1-1/30-2/51/6 x 1 =151/303/5-5/6L'entreprisedoitacheter
15TWh au1erpr odu cteur
et3T Wha u3epro ducteur.Sonbéné ficeserade:
150·10
5 =15millionsdeCHF.Corrigé:Programmat ion linéaireIILd3
Exercice3
Dansungy mnase,un grouped'élèvessecharged eladis tributiondepains auchocolatetde croissantslorsdelapause de10heures. Pourpouv oirsatis fairelademande, ilsdoivent disp oser aumi nimumde108painsauchocolatetde 96crois san ts.Deuxboulangers proposent pourle mêmeprix: •l'unlel otAcompren ant12pain sauc hocolatet8croissants, •l'autrelelotBcomposéd e9p ains auc hocolatet12c roissants. Déterminerlenombre delots AetlenombredelotsBqui doiventêtre achetés pour satisf aire lade mandeaumoindrecoût.Solution
Soitx 1 leno mbredelotsAetx 2 leno mbredelotsB.Ilfaut minimiserZ=x
1 +x 2 souscont raintes: 12x 1 +9x 2 ≥108 8x 1 +12x 2 ≥96 x 1 ,x 2 ≥0 Z=x 1 +x 2 12x 1 +9x 2 -x 3 =108 8x 1 +12x 2 -x 4 =96 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ≥0 Comme(0; 0)n'estpasunesolutio nadmissible,onin troduit enco rey 1 ,y 2Premierproblème,
minimiserW=y 1 +y 2 souscont raintes: W=y 1 +y 2 Z=x 1 +x 2 12x 1 +9x 2 -x 3 +y 1 =108 8x 1 +12x 2 -x 4 +y 2 =96 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,y 1 ,y 2 ≥0 -x 1 -xquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] programmation linéaire simplexe
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