1 Programmation linéaire
Master d'économie. Cours de M. Desgraupes. Méthodes Numériques. Document 4 : Corrigé des exercices d'optimisation linéaire. 1 Programmation linéaire.
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Correction page 42. 1.6 Programmation linéaire : le simplexe. Exercice 1.6.1 (Une histoire de fromage). Une laiterie s'
Programmation linéaire Jean-Philippe Javet
Exercice 2.6: Un corrigé peut être vu à votre demande. Exercice 2.7: Indications : ‚ Proposer dans un premier temps un raisonnement
Corrigé : Programmation linéaire II
Corrigé : Programmation linéaire II. Exercice 1. Au quatorzième siècle un Touareg compte gagner un peu d'or en investissant dans des.
Devoir de vacances de Programmation Linéaire
Les exercices se rapportent tous au programme linéaire (P) Néanmoins ils sont Exercice 1 Forme canonique forme standard et dual (2 points).
Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires
Programmation Linéaire. Cours 1 : programmes linéaires modélisation et résolution graphique. F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr.
La Programmation Linéaire : Cours Exercices corrigés et Etude de
20-Nov-2016 est-ce une solution de base ? Exo. 15.6 ? Algorithme du simplexe pour un PL `a 2 variables. Résoudre le programme linéaire suivant avec l' ...
Programmation linéaire
Programmation linéaire. 1. Le problème un exemple. 2. Le cas b = 0. 3. Théorème de dualité. 4. L'algorithme du simplexe. 5. Problèmes équivalents.
Unité D Programmation linéaire Corrigé
Exercice 1 : Problèmes préliminaires - corrigé. Ces problèmes ont été conçus pour être effectués par les élève à l'aide de feuilles de calcul. Ils.
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Exercice 5 : Résolution de problèmes de programmation linéaire - corrigé Note à l’enseignant : La dernière partie de chaque problème permet à l’élève de découvrir que la meilleure solution se situe au sommet de la région des solutions réalisables 1 a) x + y 100 b) 10x + 30y 1 500 c)
Programmation Lin aire Cours 1 - u-bordeauxfr
180 CHAPITRE 4 PROGRAMMATION LINÉAIRE Introduction La programmation linéaire constitue l’origine de l’optimisation mathématique moderne Son étude a été menée par George Bernard Dantzig à partir de 1947 L’algorithme du sim-plexe que nous présentons dans ce chapitre est considéré comme un des dix algorithmes les
Programmation linéaire
la programmation linéaire Nous étudierons 3 méthodes pour résoudre les di?érents types de problèmes de programmation linéaire; la première est basée sur une résolution graphique elle est donc limitée à 2 ou 3 variables
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Chapitre : PROGRAMMATION LINÉAIRE 1ere ES Exercice2 Un artisan fabrique des objets A et des objets B La réalisation d’un objet A demande 30ede matière première et 125 de main-d’œuvre La réalisation d’un objet B demande 70ede matière première et 75 de main-d’œuvre
Qu'est-ce que la programmation lin'eaire?
Introduction a la programmation lin´eaire Un outil qui permet de : •mod´eliser •r´esoudre toute une classe de probl`emes d’optimisation. Existence de solveurs e?cace pour la PL
Quels sont les exercices de programmation linéaire ?
I Exercices de programmation linéaire (1, 2, 3, 4, 5.1 et 5.2) sont dans l’objectif minimum…. 1 Résoudre par la méthode graphique : Max [CA] : 4 xa + 6 xb (1) 6 xa + 5 xb ? 30 (2) 3 xa + 9 xb ? 27 (3) xa ? 5 (4) xb ? 4
Comment résoudre les problèmes de programmation linéaire ?
Re?soudre les proble?mes de programmation line?aire suivants a? l’aide de l’algorithme du simplexe (en introduisant si ne?cessaire des variables artificielles). Max z = 2x ?y s.c. x +y ? 2 y ? 2 x +y ? 4 x, y ? 0 9.2.
Quels sont les avantages de la programmation linéaire?
Ainsi qu`en deuxième lieu (S. HOUNDEDAKO et al, 2014)à utiliser le système HVDC (courant continu à haute tension) pour la synchronisation entre deux réseaux différents aussi que le transport de l`énergie électrique. De ce qui précède la programmation linéaire, nous permet de développer un système pour la transmission et le stockage de
Programmation Lin´eaire
Cours 1 : programmes lin´eaires, mod´elisation et r´esolution graphiqueF. Clautiaux
francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.frUniversit´e Bordeaux 1
Bˆat A33
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMotivation et objectif du cours
Introduction `a la programmation lin´eaire
Un outil qui permet de :
•mod´eliser •r´esoudre toute une classe de probl`emes d"optimisation.Existence de solveurs efficace pour la PL
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanOuvrages de r´ef´erence
V. Chv´atal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983. •R. J. Vanderbei - Linear Programming, Foundations and Extensions,Springer-Verlag, 2008.
•C. Gu´eret, C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire :65 probl`emes d"optimisation mod´elis´es et r´esolus avec Visual Xpress,Eyrolles, 2000.
•C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire avec Excel : 55 probl`emes d"optimisation mod´elis´es pas `a pas et r´esolus avec Excel,Eyrolles, 2011.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Exemple 1 : Production
Exemple 2 : Transport
Exemple 3 : Planification
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de production
Un fabricant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque yaourt doit respecter les proportions suivantes de mati`eres premi`eres. ABFraise21
Lait12
Sucre01
On dispose de 800 Kg de Fraises, 700 Kg de Lait et 300 Kg de sucre. La vente de 1 Kg de yaourts A et B rapporte respectivement 4eet 5e.Le fabricant cherche `a maximiser son profit.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Seules valeurs non constantes : les quantit´es de yaourtsAetB produites •On parle devariables •On les noteraxAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Le profitz •Calcul´e `a partir dexAetxB •On parle defonction objectif •z= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? •Premi`ere contrainte : 800 Kg de fraises disponibles •la quantit´e utilis´ee d´epend de la production : 2xA+xB ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x xA,xB≥0
positivit´e! ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMon premier programme lin´eaire
max4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de transport
Approvisionner au moindre coˆut les clients `a partir des usines.Usines (i?I)BordeauxBiarritzToulouse
Productions (pi)251520
Clients (j?J)PauBayonneBordeauxLibourne
Demandes (dj)2012914
Prix/unit´e (ci,j)PauBayonneBordeauxLibourne
Bordeaux261904
Biarritz1222024
Toulouse19302428
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j •Contraintes :? i?Ixi,j=dj,?j?J(Demandes `a satisfaire) x i,j≥0,?i?I,j?J ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de planification
Planifier la production d"articles `a moindre coˆut pour les 4 prochains mois. Production maximale normale : 1200 articles / mois Production maximale en heure sup : 400 articles / moisSurcoˆut heures sup : 7 euros / article
Stockage : 3 euros / article / mois
mois 1mois 2mois 3mois 4Demandes900110017001300
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 •Objectif :Minimiser 7?t=4
t=1yt+ 3?t=3 t=1st •Contraintes : x1+y1= 900+s1
s1+x2+y2= 1100+s2
s2+x3+y3= 1700+s3
s3+x4+y4= 1300
s t≥0,t= 1, ...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR`egles de r´e´ecriture (1)
Toute contrainte d"´egalit´e peut s"´ecrire comme deux in´egalit´es : n i=1a ixi=b≡? n i=1a ixi≥b≡n? Tout probl`eme de minimisation peut s"´ecrire comme un probl`eme de maximisation : max n? i=1c ixi≡minn? i=1-cixi ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Ecriture g´en´erale d"un programmation lin´eaire On peut ´ecrire ainsi un programme lin´eaire avecnvariables x1,...,xnetmcontraintes.
max ?ni=1cixi x i?R,(i= 1,...,n) •Lin´earit´e :Objectif et contraintes sont des fonctions lin´eaires des variables de d´ecision (les coefficientscietaijdes variables sont constants) •Continuit´e :Les variables peuvent prendre n"importe quelle valeur r´eelle respectant les contraintes linaires ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (1) min?ni=1xixi x i?R,(i= 1,...,n) min ?ni=1xi x i?N,(i= 1,...,n)
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (2) min?ni=1cixi x i?R∩[l1,u1]∩[l2,u2],(i= 1,...,n)
min ?ni=1cixi x 1=x2 oux1=x3 x i?R,(i= 1,...,n) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanForme normale d"un programme lin´eaire
Tout programme lin´eaire peut s"´ecrire sousforme normale. max ?ni=1cixi x i≥0,xi?R,(i= 1,...,n)Si on a une variablexi?R, on introduitx+
i≥0 etx- i≥0 et on posexi=x+ i+x- i. ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Repr´esentation graphique d"un PL
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
On dispose d"un outil (la PL) pour mod´eliser des probl`emes •Comment r´esoudre les probl`emes `a l"aide de la PL? •Plusieurs algorithmes existent, dont le simplexe (prochain cours)•Pour des probl`emes avec deux variables, on peut r´esoudregraphiquement (aide `a comprendre la structure du probl`eme)
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
x xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x x xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xBquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] programmation linéaire simplexe
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