1 Programmation linéaire
Master d'économie. Cours de M. Desgraupes. Méthodes Numériques. Document 4 : Corrigé des exercices d'optimisation linéaire. 1 Programmation linéaire.
Programmation linéaire Jean-Philippe Javet
Exercice 2.6: Un corrigé peut être vu à votre demande. Exercice 2.7: Indications : ‚ Proposer dans un premier temps un raisonnement
Introduction à la programmation linéaire/exercices/corrigé/p1
Introduction à la programmation linéaire– Exercices -corrigé. I Dans un élevage de porcs on souhaite déterminer les quantités de différents.
- Exercices de TD - 1 Modélisation.
Traduire par un programme linéaire en forme canonique. b. Résoudre le probl`eme par une méthode graphique. c. Maximiser le gain de l'année par la méthode du
Corrigé : Programmation linéaire II
Corrigé : Programmation linéaire II. Exercice 1. Au quatorzième siècle un Touareg compte gagner un peu d'or en investissant dans des.
La Programmation Linéaire : Cours Exercices corrigés et Etude de
20 nov. 2016 est-ce une solution de base ? Exo. 15.6 ? Algorithme du simplexe pour un PL `a 2 variables. Résoudre le programme linéaire suivant avec l' ...
Unité D Programmation linéaire Corrigé
Exercice 1 : Problèmes préliminaires - corrigé. Ces problèmes ont été conçus pour être effectués par les élève à l'aide de feuilles de calcul. Ils.
Chapirte1 : Formulation dun programme linéaire (Modélisation) : 1
Question : Déterminer la fonction objective les contraintes structurelles et les contraintes de positivité. Exercice 2 : une entreprise dispose de 200Kgs de
Programmation linéaire T.D. N° 3 Simplexe forme Tableau Exercice
Simplexe forme Tableau Exercice corrigés. Exercice N° 1 : Soit le problème de Programmation linéaire suivant : Max Z = 3x1 + 2x2.
Devoir de vacances de Programmation Linéaire
Les exercices se rapportent tous au programme linéaire (P) Néanmoins ils sont Exercice 1 Forme canonique forme standard et dual (2 points).
Unité D Programmation linéaire Corrigé - Province of Manitoba
Exercice 5 : Résolution de problèmes de programmation linéaire - corrigé (suite) 3 a) 4x + 3y 120 b) 3x + y 60 c) d) Les solutions comprennent tous les points de la zone ombragée e) La meilleure solution se situe au point d’intersectoin des deux droites 4 a) 15x + 05y 30 b) x + 2y 70 c) d) Les solutions comprennent tous les points
174 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES — PARTIE II
sation sous contraintes linéaires s’appuie sur l’algèbre linéaire et l’analyse convexe L’èremoderned’optimisationmathématiqueoriginedestravauxdeGeorgeBernardDant-zig sur la programmation linéaire à la ?n des années 1940 Le chapitre 4 en présente les résultats principaux
Programmation linéaire
la programmation linéaire Nous étudierons 3 méthodes pour résoudre les di?érents types de problèmes de programmation linéaire; la première est basée sur une résolution graphique elle est donc limitée à 2 ou 3 variables
Quels sont les exercices de programmation linéaire ?
I Exercices de programmation linéaire (1, 2, 3, 4, 5.1 et 5.2) sont dans l’objectif minimum…. 1 Résoudre par la méthode graphique : Max [CA] : 4 xa + 6 xb (1) 6 xa + 5 xb ? 30 (2) 3 xa + 9 xb ? 27 (3) xa ? 5 (4) xb ? 4
Qu'est-ce que la programmation linéaire ?
La programmation linéaire est une méthode de résolution d’une fonction économique (maximisation d’un profit ou minimisation d’un coût) compte tenu d’un ensemble de contraintes linéaires de marché, de stockage, de production, etc. et ne comportant pas plus de deux variables.
Quels sont les exercices corrigés de modélisation linéaire ?
Ci-dessus des exercices corrigés de modélisation linéaire. Une entreprise fabrique deux produits A et B, en utilisant une machine m et deux matières premières p et q. On dispose chaque jour de 8 heures de m, de 10 kg de p et de 36 kg de q. On suppose que :
Quels sont les exercices linéaires?
Les fonctions linéaires : orientation sciences et finances, le but des exercices est de réaliser la représentation graphique une fonction linéaire à partir d'une problématique. OEF Evalwims Proportionnalité cinquième, collection d'exercices sur la proportionnalité. OEF Initiation au tableur., exercices sur l'utilisation de base d'un tableur.
![Programmation linéaire Programmation linéaire](https://pdfprof.com/Listes/18/5659-18prog_lin.pdf.pdf.jpg)
Programmation linéaire
2 eOption spécifiqueJean-Philippe Javet
x3 x 4 x 5x1x2x3x4x5¨°°3 4 1 0 0 42001 3 0 1 0 24002 2 0 0 1 2600
100 120 0 0 0 0
http://www.javmath.chTable des matières
1 Introduction 1
1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1
1.2 Un exemple résolu par voie graphique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2
2 Résolution de systèmes d"inéquations à 2 ou 3 variables 5
2.1 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5
2.2 Système d"inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8
2.3 Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 12
2.3.1 Quelques propriétés des ensembles convexes . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12
3 Traduction des problèmes en langage mathématique 15
3.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
4 Résolution graphique d"un problème à 2 variables 21
4.1 Reprenons l"exemple résolu au premier chapitre . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Résolution graphique d"un problème de minimisation . . .. . . . . . . . . . . . . . 22
5 Résolution graphique d"un problème à 3 variables 25
5.1 Un exemple à 3 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 25
5.2 Un théorème important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 29
5.3 Exemple FIL ROUGE (à compléter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 29
6 Résolution par méthode algébrique 33
6.1 Variables d"écart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33
6.2 Coefficients des variables d"écart dans la fonction économique . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 Résolution complète de l"exemple FIL ROUGE . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 36
6.4 Marche à suivre de la méthode algébrique . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46
6.5 Exemple accompagné(reprise de l"exercice 3.1 déjà étudié en page 17): . . . . . . . . . 47
7 Résolution par la méthode du simplexe 55
7.1 Résolution du problème FIL ROUGE par la méthode du simplexe . . . . . . . . . . 55
7.2 Marche à suivre de la résolution matricielle . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 60
I II7.3 Les variables dans et hors programme dans la résolution matricielle . . . . . . . . . 61
7.4 Exemple accompagné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62
7.5 Quelques remarques pour terminer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 66
8 OpenOffice pour résoudre des problèmes de P.L. 67
8.1 Résolution de l"exemple accompagné(cf. pages 47 et 62). . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 70
A Quelques éléments de solutions I
A.2 Résolution de systèmes d"inéquations . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . I
A.3 Traduction des prob. en langage mathématique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . II A.4 Résolution graphique d"un prob. à 2 variables . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . IV A.5 Résolution graphique d"un prob. à 3 variables . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . IVA.6 Résolution par méthode algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . V
A.7 Résolution par méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . VI A.8 OpenOffice pour résoudre des problèmes de P.L. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . VIIIndex VIII
1Introduction
1.1 Préambule
Laprogrammation linéairepeut se définir comme une technique mathématique permettantde résoudre des problèmes de gestion et particulièrement ceux où le gestionnaire doit déterminer,
face à différentes possibilités, l"utilisation optimale des ressources de l"entreprise pour atteindre
un objectif spécifique comme la maximisation des bénéfices oula minimisation des coûts. Dans la
plupart des cas, les problèmes de l"entreprise pouvant êtretraités par la programmation linéaire
comportent un certain nombre de ressources. On peut mentionner, par exemple,la main-d"uvre,les matières premières, les capitaux, ... qui sont disponibles en quantité limitée et qu"on veut
répartir d"une façon optimale entre un certain nombre de processus de fabrication. Notre approche
pour résoudre ce type de problèmes sera divisée en deux étapes principales :a) La modélisationdu problème sous forme d"équations ou d"inéquations linéaires qui permet-
tra ainsi de bien identifier et structurer les contraintes que doivent respecter les variables dumodèle; de plus, on doit définir l"apport de chaque variable àl"atteinte de l"objectif poursuivi
par l"entreprise, ce qui se traduira par une fonction à optimiser. b)La détermination de l"optimum mathématiqueà l"aide de certaines techniques propres à la programmation linéaire.Nous étudierons 3 méthodes pour résoudre les différents types de problèmes de programmation
linéaire; la première est basée sur une résolution graphique, elle est donc limitée à 2 ou 3 variables.
La deuxième méthode est plus algébrique et elle justifiera latroisième qui porte le nom de
méthode (ou algorithme) du simplexe.Plan général du polycopié :
(I)Un exemple résolu par voie graphique (II)Résolution de systèmes d"inéquations à 2 ou 3 variables (III)Traduction des problèmes en langage mathématique (IV)Résolution de problèmes de programmation linéaire à 2 variables par voie graphique (V)Résolution de problèmes de programmation linéaire à 3 variables par voie graphique (VI)Résolution de problèmes de programmation linéaire par méthode algébrique (VII)Résolution de problèmes de programmation linéaire par méthode du simplexe 12 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
1.2 Un exemple résolu par voie graphique
Problème:La direction d"une usine de meubles a constaté qu"il y a des temps morts dans chacun des départements de l"usine. Pour remédier à cette situation, elle décide d"utiliser ces temps morts pour fabri- quer deux nouveaux modèles de bureaux,M1etM2. Les temps de réalisation pour chacun de ces modèles dans les ateliers de sciage, d"assemblage et de sablage ainsi que les temps libres dans chacun de ces ateliers sont donnés dans le tableau ci-dessous. Ces temps représentent le nombre d"heures nécessaires à un homme pouref- fectuer le travail. Les profits que la compagnie peut réaliser pour chacun de ces modèles sont de Fr. 300.- pourM1et de Fr. 200.- pourM2.M1M2Temps libres
Sciage 1 2 20
Assemblage 2 1 22
Sablage 1 1 12
La direction désire déterminer combien de bureaux de chaquemo- dèle elle doit fabriquer pour maximiser son profit. Solution:Posonsx1le nombre de bureaux du modèleM1etx2le nombre de bureaux du modèleM2. Les temps libres de chaque département imposent des contraintes qu"il faut respecter. La contrainte imposée par les temps libres à l"atelier de sciage : x les autres contraintes sont : x Il s"ajoute à ces contraintes des contraintes denon-négativité puisque le nombre de bureaux ne peut être négatif, on a donc : x1ě0 etx2ě0
CHAPITRE 1. INTRODUCTION 3
Graphiquement les solutions réalisables sont les points dupolygone convexe de la figure suivante : x1246810121416182022
x2 2 4 6 8 1012x1`x2"122x
1`x 2"22 x1`2x2"20 La direction veut maximiser son profit, c"est-à-dire maximiser la fonction : fpx1;x2q "300x1`200x2 Pour chacune de ces solutions, c"est-à-dire pour chacun despoints du polygone convexe, la compagnie fera un profit positif. Si la com- pagnie fabrique trois exemplaires du modèleM1et deux exemplaires du modèleM2, le profit sera : fp3;2q "300¨3`200¨2"1300 (Fr.) Il ne saurait être question de calculer le profit réalisable pour chacun des points du polygone convexe. Pour avoir une vision globale du problème, représentons le profit réalisé par le paramètrep. On a :300x1`200x2"p
qui représente une famille de droites parallèles. En isolantx2, on obtient : x2" ´300x1
200`p200
x2" ´3
2x1`p200
Il s"agit donc d"une famille de droites de pente´3{2 et dont l"ordon- née à l"origine estp{200. Parmi les droites de cette famille, seules celles ayant des points communs avec le polygone convexe nous inté- ressent. La fonctionfpx1;x2qatteindra sa valeur maximale lorsque l"ordonnée à l"originep{200 de la droite : x2" ´3
2x1`p200
atteindra sa valeur maximum tout en passant par au moins un des points du polygone convexe.4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
x1246810121416182022
x2 2 4 6 8 1012x1`x2"122x
1`x 2"22 x1`2x2"20 Graphiquement on constate que la droite respectant ces conditions semble être la droite de la famille passant par le point-sommet p10;2q. Le profit est alors : fp10;2q "300¨10`200¨2"3400 (Fr.) Il reste à s"assurer algébriquement des coordonnées du point- sommet en résolvant le système : #2x1`x2"22 x1`x2"12ñ"x1"10
x 2"2 2 Résolution de systèmes d"inéquations à 2 ou 3 variables2.1 Inéquations linéaires
Cette partie est consacrée à la présentation des définitionset des propriétés des inéquations, de systèmes d"inéquations linéaires et d"ensemble-solution des systèmes d"inéquations linéaires. Nous ac- corderons de l"importance à ces définitions parce qu"elles sont in- dispensables pour la compréhension des démarches de résolution de problèmes de programmation linéaire. Définition:Uneinéquation linéaireest une expression de la forme : a oùxisont les variables (ou inconnues), lesaisont les coefficients des variables,best une constante etnest le nombre d"inconnues.Remarque:Une expression de la forme :
a1x1`a2x2`a3x3` ¨¨¨ `anxněb
est également une inéquation linéaire àninconnues. Cependant, en multipliant les deux termes de l"inéquation par un nombre négatif, on change également le sens de l"inégalité. On peut donc toujours exprimer une inéquation linéaire sous la forme : a et nous utiliserons cette forme dans toutes les définitions. Définition:On appellerasolution d"une inéquation linéaireàninconnues de la forme : a toutn-tuplet :pk1;k2;k3;...;knqpour lequel : a 56 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D"INÉQUATIONS À 2 OU 3 VARIABLES
Ce n"est pas la seule solution de cette inéquation; les couplesp0;0q, p1;2q,p3;1qsont également des solutions. L"ensemble des solutions de cette inéquation est un demi-plan dans le système d"axesOx1x2. Lafrontièrede ce demi-plan est la droite2x1`3x2"9
x1´112345 x2 ´1 1 2 32x1`3x2ă9
2x1`3x2ą92x
1`3x 2"9 Constatations:Pour déterminer l"ensemble-solution d"une inéquation linéaire à deux inconnues, on commence par tracer la droite-frontière, puis à l"aide d"un couple, on détermine par substitution de quel côté de la frontière sont les couples qui satisfont à l"inéquation.Lorsque l"in- équation ne comporte qu"une inégalité stricte < ou > la frontière ne fait pas partie de l"ensemble-solution de l"inéquation.Exemple 2:
´112345x1
´1 1 2 3 x2 x1`2x2ă5Représenter l"ensemble-solution de l"inéquationx1`2x2ă5 :
Exercice 2.1:Représenter l"ensemble-solution des inéquations proposées :´112345x1
´1 1 2 3 x2 x´112345x1
´1 1 2 3 x24x1`6x2ą12
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D"INÉQUATIONS À 2 OU 3 VARIABLES 7 x3 x 2 x 1 p0;0;b{a3q p0;b{a2;0q pb{a1;0;0qLorsque l"inéquation comporte trois inconnues, la frontière est un plan. Ainsi la frontière de l"inéquation : a est un plan coupant les axes aux points représentant le triplet : pb{a1;0;0q;p0;b{a2;0q;p0;0;b{a3qEn effet :
Lorsqu"on représente un tel plan, il est d"usage de représenterles traces du plansur les plans du système d"axes. On ne donne en fait qu"une partie du plan puisque celui-ci s"étend à l"infini. Exemple 3:Représenter l"ensemble-solution de l"équation 4x1`6x2`3x3"12 :1234x2
1 2 3 4x3 1 2 3 4 x 1 Exercice 2.2:Représenter l"ensemble-solution des équations proposées:1234x2
1 2 3 4x3 1 2 3 4 x 16x1`8x2`12x3"24
1234x2
1 2 3 4x3 1 2 3 4 x 12x1`3x2"6
8 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D"INÉQUATIONS À 2 OU 3 VARIABLES
Le plan, ensemble solution d"une équation à 3 inconnues, divise l"espace en deuxdemi-espaces. L"un de ces demi-espaces en union avec la frontière forme l"ensemble-solution d"une inéquation linéaireà trois inconnues.
Lorsque l"inéquation comporte plus de trois inconnues, on ne peut plus représenter l"ensemble-solution graphiquement; cependant, les définitions seront toujours posées à partir des systèmes d"inéqua- tions àninconnues. Définition:L"ensemble-solution d"une inéquation de la forme : a est appelédemi-espace fermé. Si l"inéquation est définie par une inégalité stricte (<), ledemi- espace est ditouvert. La frontière de ce demi-espace est l"ensemble- solution de l"équation linéaire : a1x1`a2x2`a3x3` ¨¨¨ `anxn"b
Cet ensemble-solution est appelé unhyperplande
?n.2.2 Système d"inéquations linéaires
Définition:On appellesystème deminéquations linéaires àninconnues un système de la forme : %a a a a oùxjest une variable dans la colonnej,aijest le coefficient de la variablexjsur la lignei,biest la constante de la lignei,nest le nombre d"inconnues etmest le nombre d"inéquations.Exemple 4:Dans le système suivant :
a23"... a31"... a......" ´2
CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D"INÉQUATIONS À 2 OU 3 VARIABLES 9 Définition:Unn-tupletpk1;k2;k3;...;knqestune solution d"un système deminéquations àninconnuess"il est solution de chacune des inéquations du système, c"est-à-dire si chacune des inégalités suivantes est vérifiée : %a a a a L"ensemble-solution d"un système d"inéquations linéaires est l"in- tersection des ensembles-solutions de chacune des inéquations du système. Exemple 5:Représenter graphiquement l"ensemble-solution du système d"in-équations linéaires suivant :
%x x1ě0
x2ě1
Puis déterminer les coordonnées des points-sommets de l"ensemble- solution x1246810121416 x2 2 4 6 8 10 1210 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D"INÉQUATIONS À 2 OU 3 VARIABLES
Exercice 2.3:Représenter graphiquement l"ensemble-solution des systèmes d"inéquations linéaires suivants puis déterminer les coordonnées des points-sommets. a)$""""""&""""""%x x x1ě0
x2ě0b)$""""""&""""""%x
x x1ě0
x2ě0
c) x1`x2ě0
x1ě ´1
x2ě ´2d)$"""&"""%x
x xquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] recherche opérationnelle programmation linéaire exercices corrigés pdf
[PDF] exercices recherche operationnelle
[PDF] theme astral chinois complet gratuit interpretation
[PDF] cours recherche opérationnelle methode de simplexe
[PDF] recherche opérationnelle simplexe exercices corrigés
[PDF] livre recherche opérationnelle pdf
[PDF] cours et exercices corrigés de recherche opérationnelle+pdf
[PDF] inpes
[PDF] methode boscher pdf download
[PDF] méthode boscher cahier de lecture pdf
[PDF] methode boscher en ligne
[PDF] méthode boscher gratuit
[PDF] méthode boscher cahier des sons pdf
[PDF] adjectif pour acrostiche