Chapitre 3 Méthode du simplexe
Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les de ne pas changer de notation pour la matrice A et des vecteurs b et c en cours.
Simplexe - Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L
Cours de recherche opérationnelle Nadia Brauner
LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Un programme linéaire qui contient des contraintes (technologiques) de type est noté (PL). Un programme linéaire qui contient des contraintes
Modèles de Recherche Opérationnelle
une et une seule solution;. Page 23. 2.5. LA MÉTHODE DU SIMPLEXE. 17. 3. une infinité de solutions. Nous supposerons que toutes les variables sont positives. Le
FSJES-AC RECHERCHE OPERATIONNELLE Semestre 6 Filière
La méthode du simplexe est un algorithme qui permet la recherche de la solution optimale d'un programme linéaire donné. Dans la partie précédente ( Partie
Cours - Recherche Opérationnelle.pdf
une variable de base (variable sortante). Introduction. Phase 2 – Progression. Méthode des dictionnaires. Finitude du simplexe. Phase 1 –
COURS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE
On a alors recours à une méthode algébrique basée sur un algorithme appelé algorithme du simplexe. I. L'ALGORITHME DU SIMPLEXE a. Notion du point extrême.
Chapitre 4 Dualité
On ajoute les variables d'écart x4x5
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples
Recherche opérationnelle. Les démonstrations et les exemples seront traités en cours linéaires en nombre réels est la méthode du Simplex. En théorie.
Graphes et Recherche Opérationnelle
L'algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La premi`ere méthode permet de bien
Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval
a)On applique la procédure d’élimination de Gauss-Jordan autour du pivot situé à l’intersectiondelalignei etdelacolonnej Ensuiteondiviselalignei parlepivot pourlemettreégalà1 b)Onretourneàl’étape1etonrecommence Remarque 3 2 3 Expliquonslecritèreduquotient A une certaine itération du simplexe nous disposons d’une solution
C D - EPFL
la recherche opérationnelle (2017–2018) Professeur : Michel Bierlaire Assistants responsables : Virginie Lurkin et Nikola Obrenovic Algorithme du simplexe – corrigé (20 octobre 2017) On peut alors identi?er la matrice A le vecteur b et le vecteur c : A = 1 1 ?1 0 2 3 0 1 b = 4 18 et c = ?3 4 0 0
Simplexe - Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L
Algorithme du simplexe Dantzig 1947 Algo it eratif de r esolution de probl eme de programmation lin eaire Principe A partir d’un sommet chercher un sommet voisin qui am eliore l’objectif Propri et e du probl eme Soit x 0 sommet non optimum Alors il existe x un sommet voisin de x0 tel que f(x) >f(x 0) Donc ca marche
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solution de base pour ce système est obtenue de la manière suivante : a) On pose J F I variables égales à 0 Ces variables sont appelées variables hors base (V H B ) b) On résout le système pour les I variables restantes Ces variables sont appelées les variables de base (V B )
Qu'est-ce que la méthode simplexe ?
La méthode de simplexe est une procédure algébrique qui tient compte de ces trois considérations. Pour illustrer cette procédure, supposons que x2 = 0 et S1 = 0. Notre système devient Les variables x1, S2, S3 et S4 (non nulles) sont dites variables de base et les variables S1, x2, (nulles) sont dites variables hors base.
Quel est le principe de résolution de la méthode de Simplexe?
La méthode de simplexe commence par l'identification d'une solution réalisable de base et ensuite, elle essaye de trouver d'autres solutions réalisables de base jusqu’à atteindre à la solution optimale. Ainsi, on doit, tout d’abord, retrouver cette solution réalisable de base.
Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?
La recherche opérationnelle (R.O) ou (la science delà décision) est la discipline des méthodes scientifiques utilisable pour élaborer de meilleurs décisions. Elle permet de rationaliser, de simuler, de planifier et d’optimiser l’architecture et le fonctionnement des systèmes de production ou d’organisation.
Comment trouver une solution optimale pour un programme linéaire ?
Ainsi une autre solution optimale peut être trouvée pour notre programme linéaire. Ceci confirme le résultat de la méthode graphique qui indique que ce problème admet un ensemble de solution optimale décrit par le segment [BC]. La solution optimale donnée par le dernier tableau de simplexe correspond au point C.
Simplexe
Recherche Operationnelle et Optimisation
Master 1 I2L
S ebastien Verel verel@lisic.univ-littoral.fr http://www-lisic.univ-littoral.fr/ ~verelUniversite du Littoral C^ote d'Opale
Laboratoire LISIC
Equipe CAMOME
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Plan1Base et points extr^emes
2Algorithme du simplexe
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Bibliographie
Cours de recherche operationnelle, Nadia Brauner, IMAG.Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Forme d'un probleme de prog. lin.
Forme normale
Max z=c:x
A xb x0 c= (ci)2IRn,x= (xi)2IRn,b= (bj)t2IRm,A= (aij)2IRmn.Forme standard
Max z=c:x
A x=b x0 c= (ci)2IRn,x= (xi)2IRn,b= (bj)t2IRm,A= (aij)2IRmn.
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Forme d'un probleme de prog. lin.
Forme normale
Max z=c:x
A xb x0 c= (ci)2IRn,x= (xi)2IRn,b= (bj)t2IRm,A= (aij)2IRmn.Forme standard
Max z=c:x
A x=b x0 c= (ci)2IRn,x= (xi)2IRn,b= (bj)t2IRm,A= (aij)2IRmn.
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Equivalence forme normale / forme standard
Exercice
Ecrire sous forme standard le systeme suivant :
Max z= 4x+ 5y
2x+y8 x+ 2y7 y3 x;y0Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Proprietes polytope
Proposition
Un polytope n'a qu'un nombre ni de sommets.
Tout pointMd'un polytope peut s'ecrire comme une combinaison lineaire convexe des sommets : M=X i iSi avec P ii= 1 eti0.Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Convexite
Ensemble convexe
Cest convexe ssi :
pour tous pointsMetM0deC, tout point du segment [M;M0] appartient aC pour tout2[0;1]M+ (1)M02CFonction convexe
fest convexe ssi : pour toutxetx0deIRn, pour tout2[0;1] f(x+ (1)x0)f(x) + (1)f(x0)Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Maximums
Proposition
Une fonction convexefsur un polytopePa un maximum et celui-ci est est obtenu sur un sommet.Preuve : a faire Un algorithme serait donc d'enumererfsur les tous les sommets... mais qui peuvent ^etre tres nombreux...Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Solutions d'un probleme de prog. lin.
Forme normale
Max z=c:x
A xb x0 c= (ci)2IRn,x= (xi)2IRn,b= (bj)t2IRm, A= (aij)2IRmn.Les contraintes denissent le polyedreLa solution optimale est un sommet du polyedre
Comment enumerer les sommets?
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Base et points extr^emes
Version geometriqueExercice
A l'aide de la representation graphique du polyedre : enumerer les points interessants (points a l'intersection de contraintes)enumerer les sommets admissibles (points respectant les contraintes).Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Base et points extr^emes
Version algebrique8
>:2x+y+e1= 8 x+ 2y+e2+ = 7 y+ + +e3= 3 x;y;e1;e2;e30 Les solutions de base admissibles les intersections de contraintes (2 variables a 0).x ye1e2e3sol. base admiss.pt extr^eme0 0 8 7 3ok ok(0;0):::
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Principe de resolution
Principe
Toute les methodes de resolution ont besoin d'au moins de calculer un point extr^eme : solution de baseliee a des variables de basesBase et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Bases et points extr^emes
Denition formelleSysteme lineaireAx=bAmatrice de dimensionmnet rangA=mnBase de la matriceAsous-matriceBde rangmdeA(n'est pas unique)
Bmatricemmavec detB6= 0PosonsA= (B N)
Ax=b,(B N)x=b,BxB+NxN=b
,xB=B1bB1NxNSolution de base associee aBxN= 0 : variables hors basex
B=B1b: variables de baseProbleme : comment trouver une matriceB? etxB?Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Bases et points extr^emes
Denition formelleSysteme lineaireAx=bAmatrice de dimensionmnet rangA=mnBase de la matriceAsous-matriceBde rangmdeA(n'est pas unique)
Bmatricemmavec detB6= 0PosonsA= (B N)
Ax=b,(B N)x=b,BxB+NxN=b
,xB=B1bB1NxNSolution de base associee aBxN= 0 : variables hors basex
B=B1b: variables de baseProbleme : comment trouver une matriceB? etxB?Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Exemple de calcul d'une base
8 >:2x+y+e1= 8 x+ 2y+e2= 7 y+e3= 3 x;y;e1;e2;e30Pour trouver une base, en tenter une...
Par exemplefe1;e2;e3g
8< :2x+y+e1= 8 x+ 2y+e2= 7 y+e3= 3,8 :e1= 82xy
e2= 7x2y
e 3= 3y fe1;e2;e3g: variables de base etfx;ygvariables hors baseBase et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Exemple de solution de base
fe1;e2;e3g: variables de base etfx;ygvariables hors base 8< :e1= 82xy
e2= 7x2y
e 3= 3y Pour calculer une solution de base :variables hors base = 0 variables de base a calculer (si possible, c'est ok)Pourx=y= 0, on trouve :
8< :e1= 82xy= 8
e2= 7x2y= 7
e3= 3y= 3
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Exemple de solution de base
fe1;e2;e3g: variables de base etfx;ygvariables hors base 8< :e1= 82xy
e2= 7x2y
e 3= 3y Pour calculer une solution de base :variables hors base = 0 variables de base a calculer (si possible, c'est ok)Pourx=y= 0, on trouve :
8< :e1= 82xy= 8
e2= 7x2y= 7
e3= 3y= 3
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Remarques nales
Ax=b,x0 ouA= (B N)(xB0) est est une solution de base admissible sixB0Equivalence points de vue geometrique / algebrique :
L'ensemble des points extr^emes du polyedre sont les solutions de base admissibles du syst. lin.Nombre de points extr^emes (maximum) : Solutions de base degeneres : lorsque certaines variables de base sont nullesPratique : lorsqueAest inversible, solution de base unique.Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Remarques nales
Ax=b,x0 ouA= (B N)(xB0) est est une solution de base admissible sixB0Equivalence points de vue geometrique / algebrique :
L'ensemble des points extr^emes du polyedre sont les solutions de base admissibles du syst. lin.Nombre de points extr^emes (maximum) : n mSolutions de base degeneres : lorsque certaines variables de base sont nullesPratique : lorsqueAest inversible, solution de base unique.Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Introduction
Une idee nave, simple mais impraticable :
Enumerer tous les sommets
Calculer l'objectif sur chacun eux
Retenir le meilleur
Cet algo termine et est correct (nombre ni), mais
malheureusement tres tres grand. Pourtant la geometrie du probleme joue en notre faveur...Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Introduction
Une idee nave, simple mais impraticable :
Enumerer tous les sommets
Calculer l'objectif sur chacun eux
Retenir le meilleur
Cet algo termine et est correct (nombre ni), mais
malheureusement tres tres grand. Pourtant la geometrie du probleme joue en notre faveur...Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Simplexe
Algorithme du simplexe
Dantzig, 1947
Algo iteratif de resolution de probleme de programmation lineairePrincipe A partir d'un sommet, chercher un sommet voisin qui ameliore l'objectif.Propriete du probleme Soitx0sommet non optimum. Alors il existex, un sommet voisin de x0, tel quef(x)>f(x0).Donc ca marche...Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Simplexe
Algorithme du simplexe
Dantzig, 1947
Algo iteratif de resolution de probleme de programmation lineairePrincipe A partir d'un sommet, chercher un sommet voisin qui ameliore l'objectif.Propriete du probleme Soitx0sommet non optimum. Alors il existex, un sommet voisin de x0, tel quef(x)>f(x0).Donc ca marche...Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Illustration
Max z= 4x+ 5y
2x+y8 x+ 2y7 y3 x;y0A suivre sur votre graphique...x
0= (0;0) d'ouz= 0x
1= (0;3) d'ouz= 15x
2= (1;3) d'ouz= 19x
3= (3;2) d'ouz= 22
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Illustration
Max z= 4x+ 5y
2x+y8 x+ 2y7 y3 x;y0A suivre sur votre graphique...x
0= (0;0) d'ouz= 0x
1= (0;3) d'ouz= 15x
2= (1;3) d'ouz= 19x
3= (3;2) d'ouz= 22
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Illustration
Max z= 4x+ 5y
2x+y8 x+ 2y7 y3 x;y0A suivre sur votre graphique...x
0= (0;0) d'ouz= 0x
1= (0;3) d'ouz= 15x
2= (1;3) d'ouz= 19x
3= (3;2) d'ouz= 22
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Illustration
Max z= 4x+ 5y
2x+y8 x+ 2y7 y3 x;y0A suivre sur votre graphique...x
0= (0;0) d'ouz= 0x
1= (0;3) d'ouz= 15x
2= (1;3) d'ouz= 19x
3= (3;2) d'ouz= 22
Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Base voisine
Bases voisines
Deux sommets voisins correspondent a deux basesBetB0telles que qu'on remplace une variable deBpar une autre pour obtenir B0.Passer d'un sommet a l'autre revient a changer de base (principe
du "pivotage")Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Algorithme du simplexe par l'exemple
Solution de base8
>>>:Maximizerz= 4x+ 5y 2x+y8 x+ 2y7 y3 x;y0,8 >>>:Maximizerz= 4x+ 5y2x+y+e1= 8
x+ 2y+e2= 7 y+e3= 3 x;y;e1;e2;e30Pour trouver une base, en tenter une...Par exemplefe1;e2;e3g
8< :2x+y+e1= 8 x+ 2y+e2= 7 y+e3= 3,8 :e1= 82xy
e2= 7x2y
e 3= 3y fe1;e2;e3g: variables de base etfx;ygvariables hors baseBase et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Algorithme du simplexe par l'exemple
Solution de base8
>>>:Maximizerz= 4x+ 5y 2x+y8 x+ 2y7 y3 x;y0,8 >>>:Maximizerz= 4x+ 5y2x+y+e1= 8
x+ 2y+e2= 7 y+e3= 3 x;y;e1;e2;e30Pour trouver une base, en tenter une...Par exemplefe1;e2;e3g
8< :2x+y+e1= 8 x+ 2y+e2= 7 y+e3= 3,8 :e1= 82xy
e2= 7x2y
e 3= 3y fe1;e2;e3g: variables de base etfx;ygvariables hors baseBase et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Algorithme du simplexe par l'exemple
Solution de basePour calculer une solution de base : variables hors base = 0 variables de base a calculer (si possible, c'est ok)Valeur dez
fe1;e2;e3g: variables de base etfx;yg: variables hors basex=y= 0, on trouve : 8< :e1= 82xy= 8
e2= 7x2y= 7
e3= 3y= 3
etz= 4x+ 5y= 0Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Algorithme du simplexe par l'exemple
Solution de basePour calculer une solution de base : variables hors base = 0 variables de base a calculer (si possible, c'est ok)Valeur dez
fe1;e2;e3g: variables de base etfx;yg: variables hors basex=y= 0, on trouve : 8< :e1= 82xy= 8
e2= 7x2y= 7
e3= 3y= 3
etz= 4x+ 5y= 0Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Changement de base
Regardons bien :z= 4x+ 5yOn peut faire augmenterzen faisant entrerxouydans la baseEssayonsy: quelle est la valeur maximale que pourra avoiry?
8< :e1= 82xy0)y8
e2= 7x2y0)y3:5
e3= 3y0)y3Le max deyest 3, poury= 3, on obtenons
e1= 5x,e2= 1xete3= 0.Nouvelle base candidate :
fe1;e2;e3g [ fyg n fe3g=fe1;e2;ygBase et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Changement de base
Regardons bien :z= 4x+ 5yOn peut faire augmenterzen faisant entrerxouydans la baseEssayonsy: quelle est la valeur maximale que pourra avoiry?
8< :e1= 82xy0)y8
e2= 7x2y0)y3:5
e3= 3y0)y3Le max deyest 3, poury= 3, on obtenons
e1= 5x,e2= 1xete3= 0.Nouvelle base candidate :
fe1;e2;e3g [ fyg n fe3g=fe1;e2;ygBase et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Changement de base
Regardons bien :z= 4x+ 5yOn peut faire augmenterzen faisant entrerxouydans la baseEssayonsy: quelle est la valeur maximale que pourra avoiry?
8< :e1= 82xy0)y8
e2= 7x2y0)y3:5
e3= 3y0)y3Le max deyest 3, poury= 3, on obtenons
e1= 5x,e2= 1xete3= 0.Nouvelle base candidate :
fe1;e2;e3g [ fyg n fe3g=fe1;e2;ygBase et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Changement de base
Regardons bien :z= 4x+ 5yOn peut faire augmenterzen faisant entrerxouydans la baseEssayonsy: quelle est la valeur maximale que pourra avoiry?
8< :e1= 82xy0)y8
e2= 7x2y0)y3:5
e3= 3y0)y3Le max deyest 3, poury= 3, on obtenons
e1= 5x,e2= 1xete3= 0.Nouvelle base candidate :
fe1;e2;e3g [ fyg n fe3g=fe1;e2;ygBase et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Changement de base
Regardons bien :z= 4x+ 5yOn peut faire augmenterzen faisant entrerxouydans la baseEssayonsy: quelle est la valeur maximale que pourra avoiry?
8< :e1= 82xy0)y8
e2= 7x2y0)y3:5
e3= 3y0)y3Le max deyest 3, poury= 3, on obtenons
e1= 5x,e2= 1xete3= 0.Nouvelle base candidate :
fe1;e2;e3g [ fyg n fe3g=fe1;e2;ygBase et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Nouvelle basefe1;e2;yg8
:e1= 82xy
e2= 7x2y
e3= 3y,8
:e1= 52x+e3
e2= 1x+ 2e3
y= 3e3 zen fonction des variables hors base : z= 4x+ 5y= 15 + 4x5e3Solution de base associee :
x=e3= 0 8< :e1= 52x+e3= 5
e2= 1x+ 2e3= 1
y= 3e3= 3 etz= 15.Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
Nouvelle iteration
z= 15 + 4x5e3Augmenter encorez?Faire entrerx
Quelle est la valeur maximale que pourra avoirx?8< :e1= 52x+e30)x2:5
e2= 1x+ 2e30)x1
y= 3e30)pas de contrainteLe max dexest 1, ete2peut sortir de la baseNouvelle base candidate :fe1;x;yg8>><
>:e1= 3 + 2e23e3
x= 1e2+ 2e3 y= 3e3 z= 194e2+ 3e3Base et points extr^emesAlgorithme du simplexe
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