Chapitre 3 Méthode du simplexe
Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les de ne pas changer de notation pour la matrice A et des vecteurs b et c en cours.
Simplexe - Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L
Cours de recherche opérationnelle Nadia Brauner
LES ÉTAPES DE LALGORITHME DU SIMPLEXE
Un programme linéaire qui contient des contraintes (technologiques) de type est noté (PL). Un programme linéaire qui contient des contraintes
Modèles de Recherche Opérationnelle
une et une seule solution;. Page 23. 2.5. LA MÉTHODE DU SIMPLEXE. 17. 3. une infinité de solutions. Nous supposerons que toutes les variables sont positives. Le
FSJES-AC RECHERCHE OPERATIONNELLE Semestre 6 Filière
La méthode du simplexe est un algorithme qui permet la recherche de la solution optimale d'un programme linéaire donné. Dans la partie précédente ( Partie
Cours - Recherche Opérationnelle.pdf
une variable de base (variable sortante). Introduction. Phase 2 – Progression. Méthode des dictionnaires. Finitude du simplexe. Phase 1 –
COURS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE
On a alors recours à une méthode algébrique basée sur un algorithme appelé algorithme du simplexe. I. L'ALGORITHME DU SIMPLEXE a. Notion du point extrême.
Chapitre 4 Dualité
On ajoute les variables d'écart x4x5
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples
Recherche opérationnelle. Les démonstrations et les exemples seront traités en cours linéaires en nombre réels est la méthode du Simplex. En théorie.
Graphes et Recherche Opérationnelle
L'algorithme du simplexe est mis en œuvre selon deux méthodes la méthode des dictionnaires et la méthode des tableaux. La premi`ere méthode permet de bien
Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval
a)On applique la procédure d’élimination de Gauss-Jordan autour du pivot situé à l’intersectiondelalignei etdelacolonnej Ensuiteondiviselalignei parlepivot pourlemettreégalà1 b)Onretourneàl’étape1etonrecommence Remarque 3 2 3 Expliquonslecritèreduquotient A une certaine itération du simplexe nous disposons d’une solution
C D - EPFL
la recherche opérationnelle (2017–2018) Professeur : Michel Bierlaire Assistants responsables : Virginie Lurkin et Nikola Obrenovic Algorithme du simplexe – corrigé (20 octobre 2017) On peut alors identi?er la matrice A le vecteur b et le vecteur c : A = 1 1 ?1 0 2 3 0 1 b = 4 18 et c = ?3 4 0 0
Simplexe - Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L
Algorithme du simplexe Dantzig 1947 Algo it eratif de r esolution de probl eme de programmation lin eaire Principe A partir d’un sommet chercher un sommet voisin qui am eliore l’objectif Propri et e du probl eme Soit x 0 sommet non optimum Alors il existe x un sommet voisin de x0 tel que f(x) >f(x 0) Donc ca marche
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solution de base pour ce système est obtenue de la manière suivante : a) On pose J F I variables égales à 0 Ces variables sont appelées variables hors base (V H B ) b) On résout le système pour les I variables restantes Ces variables sont appelées les variables de base (V B )
Qu'est-ce que la méthode simplexe ?
La méthode de simplexe est une procédure algébrique qui tient compte de ces trois considérations. Pour illustrer cette procédure, supposons que x2 = 0 et S1 = 0. Notre système devient Les variables x1, S2, S3 et S4 (non nulles) sont dites variables de base et les variables S1, x2, (nulles) sont dites variables hors base.
Quel est le principe de résolution de la méthode de Simplexe?
La méthode de simplexe commence par l'identification d'une solution réalisable de base et ensuite, elle essaye de trouver d'autres solutions réalisables de base jusqu’à atteindre à la solution optimale. Ainsi, on doit, tout d’abord, retrouver cette solution réalisable de base.
Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?
La recherche opérationnelle (R.O) ou (la science delà décision) est la discipline des méthodes scientifiques utilisable pour élaborer de meilleurs décisions. Elle permet de rationaliser, de simuler, de planifier et d’optimiser l’architecture et le fonctionnement des systèmes de production ou d’organisation.
Comment trouver une solution optimale pour un programme linéaire ?
Ainsi une autre solution optimale peut être trouvée pour notre programme linéaire. Ceci confirme le résultat de la méthode graphique qui indique que ce problème admet un ensemble de solution optimale décrit par le segment [BC]. La solution optimale donnée par le dernier tableau de simplexe correspond au point C.
Recherche op
´erationnelle
Les d ´emonstrations et les exemples seront trait´es en coursSouad EL Bernoussi
Groupe d"Analyse Num
´erique et Optimisation Rabat
http ://www.fsr.ac.ma/ANO/Table des mati
`eres1 Programmation lin
´eaire 2
1.1 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 Forme g
´en´erale d"un programme lin´eaire. . . . .31.3 Formes matricielles classiques et convensions. . .3
1.4 Interpr
´etation´economique. . . . . . . . . . . . .4 2 R´esolution graphique. 5
3 Principes de la r
´esolution alg´ebrique. 5
3.1 Bases , solutions de bases et solutions r
´ealisables.5
3.2 Caract
´erisation alg´ebrique des points extˆemes. . .83.3 Propri
3.4 Op
´eration de pivotage. . . . . . . . . . . . . . .103.5 Algorithme du simplexe
`a la main. . . . . . . . .104 Algorithme du simplexe . 11
4.1 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
4.2 Algorithme du simplexe. . . . . . . . . . . . . .13
4.3 Complexit
´e de l"algorithme et´efficacit´e pratique.15 14.4 Initialisation de l"algorithme du simplexe. . . . .16
4.4.1 La m
´ethode du grand M. . . . . . . . . .17
5 la notion de dualit
´e. 17
5.1 Th
´eor`emes de dualit´e. . . . . . . . . . . . . . . .175.2 Interpr
´etation´economique de la dualit´e. . . . . .206 Exercices 22
21 Programmation lin
´eaire
La programmation lin
´eaire est un outil tr`es puissant de la re-
cherche op ´erationnelle. C"est un outil g´en´erique qui peut r´esoudre un grand nombre de probl `emes. En effet, une fois un probl`eme mod ´elis´e sous la forme d"´equations lin´eaires, des m´ethodes as- surent la r´esolution du probl`eme de mani`ere exacte.
On distingue dans la programmation lin
´eaire, la programmation
lin ´eaire en nombres r´eels, pour laquelle les variables des´equations sont dansIR+et la programmation en nombres entiers, pour la- quelle les variables sont dansIN. Bien entendu, il est possible d"avoir les deux en mˆeme temps. Cependant, la r´esolution d"un
probl qu"un probl `eme en nombres r´eels.Unedesm
lin ´eaires en nombre r´eels est la m´ethode du Simplex. En th´eorie, elle a une complexit ´e non polynomiale et est donc suppos´ee peu efficace. Cependant, en pratique, il s"av `ere au contraire qu"il s"agit d"une bonne m´ethode.
Un programme lin
´eaire est la maximisation ou la minimisation
d"une fonction lin´eaire sous des contraintes lin´eaires.
1.1 Exemple.
Voici un petit exemple traitable par la programmation lin ´eaire.Une usine produit deux ciments, rapportant500Dhet700Dhpar tonne.Une tonne du ciment N°1 nec´essite40minde calcination dans
un four `a chaux et20minde broyage.Une tonne du ciment N°2 nec´essite30minde calcination dans
un four `a chaux et30minde broyage.3Le four et l"atelier de broyage sont disponibles6het8hpar jour.Combien de ciment de chaque type peut-on produire par jour pour
maximiser le b´en´efice?
Ce probl
`eme se mod´elise comme suit :????? ???Max z= 500x1+ 700x2(1) x1≥0, x2≥0 (4)
(1): est le profit total qui est`a optimiser appel´e fonction objective. (2)et(3)sont des contraintes.(2)est la disponibilit´e du four et (3)est la disponibilit´e du broyeur. (4)est le domaine des variables.1.2 Forme g
´en´erale d"un programme lin´eaire.
????(1) maxouminn? j=1c jxj (2)?i= 1,...,m:n? j=1a (3)?j= 1,...,n xj≥0 (1): fonction objective. (2):mcontraintes lin´eaires. (3): contraintes de positivit´e.1.3 Formes matricielles classiques et convensions.
Notons parx= (x1,x2,...,xn)Tle vecteur des variables.b= (b1,b2,...,bm)Tlesecondmembredescontraintes,c= (c1,c2,...,cn)T le vecteur c ˆout ou profit associ´e aux variables etAla matrice m×ndesaij.4 ???Forme canonique : maxz=cx x≥0.,? ???Forme standard : maxz=cx Ax=b x≥0. repr egalit´e s"utilise dans la r´esolution alg´ebrique.Remarque:1.Cesformesneserventqu" `asimplifierlesrepr´esentations th´eoriques.
Danslar
egalit´ees ou in´egalit´ees. Ainsi n j=1a ijxj=bi??? ??n j=1a n? j=1a n j=1a j=1a ijxj+ei???? variable d"´ecart.=bi
maxz=-min-z x?R, x=x+-x-avecx+et x-?R+.1.4 Interpr
´etation´economique.
Un programme lin
´eaire a une int´erpr´etation´economique tr`es large :Un acteur
´economique qui exercenactivit´es avec des intensit´es x j`a d´et´erminer.Ces activit
´es utilisentmresources.
La quantit
´eaijde resourcesin´ecessaires pour exerser l"activit´e javec une intensit´e1.5On connait le profit (en maximisation) et le c
ˆout (en minimisa-
tion). c jcorrespond`a une intensit´e 1 de l"activit´ej. 2 R´esolution graphique.
On r´esoud graphiquement le probl`eme suivant :
maxz=x1+ 2x2 x x x1,x2≥0
matriciellement on am= 2, n= 2, c= (1,2), x= (x1,x2)T, b= (6,3)TetA=?1 1 0 1?3 Principes de la r
´esolution alg´ebrique.
La r ´esolution alg´ebrique utilise la forme standard, o`uAest une matricem×nde rangm. (P)? ?maxz=cx Ax=b x≥03.1 Bases , solutions de bases et solutions r
´ealisables.
Les bases deAsont les matricesm×minversibles extraites de A.SoitBune base deA.6
On partitionneAsous la forme suivante :A= [B N]( on sup- pose pour faciliter la pr´esentation que les colonnes de bases sont
lesmpremi`eres colonnes), on partitionne de mˆeme les vecteursx etc. x= (xB,xN)Tetc= (cB,cN)T. Ax=b ??BxB+NxN=b ??xB=B-1b-B-1NxN. z=cx=cBxB+cNxN =cBB-1b+?cN-cBB-1N?xN.On notec
N=cN-cBB-1N.
Le probl
`eme(P)s"´ecrit alors sous la forme : (P?)? ?maxz=cBB-1b+c NxN xB=B-1b-B-1NxN
xB,xN≥0
C"estla forme canonique par rapport
`a la baseB. x ?est dite solution de basesi elle v´erifieAx?=betx?=?xB=B-1b
x N= 0?Si en plusxB≥0alorsx
?est une solution de base r´ealisable. x ?est dite solution r´ealisablesi elle v´erifie les contraintes c"est
a direAx?=betx?≥0.Example1.D suivant :7 x1+x2+x3= 6
x2+x4= 3
x1,x2,x3,x4≥0
A= ?1 1 1 00 1 0 1?
B1=?A1A2?=?1 1
0 1? =?xB1=B-11b=?1-1 0 1?quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] livre recherche opérationnelle pdf
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