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Chapitre 3 Méthode du simplexe

Le principe de la méthode du simplexe est d'éviter de calculer tous les de ne pas changer de notation pour la matrice A et des vecteurs b et c en cours.



Simplexe - Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L

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Un programme linéaire qui contient des contraintes (technologiques) de type est noté (PL). Un programme linéaire qui contient des contraintes 



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une et une seule solution;. Page 23. 2.5. LA MÉTHODE DU SIMPLEXE. 17. 3. une infinité de solutions. Nous supposerons que toutes les variables sont positives. Le 



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La méthode du simplexe est un algorithme qui permet la recherche de la solution optimale d'un programme linéaire donné. Dans la partie précédente ( Partie 



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On a alors recours à une méthode algébrique basée sur un algorithme appelé algorithme du simplexe. I. L'ALGORITHME DU SIMPLEXE a. Notion du point extrême.



Chapitre 4 Dualité

On ajoute les variables d'écart x4x5



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Recherche opérationnelle. Les démonstrations et les exemples seront traités en cours linéaires en nombre réels est la méthode du Simplex. En théorie.



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Chapitre 3 Méthode du simplexe - Université Laval

a)On applique la procédure d’élimination de Gauss-Jordan autour du pivot situé à l’intersectiondelalignei etdelacolonnej Ensuiteondiviselalignei parlepivot pourlemettreégalà1 b)Onretourneàl’étape1etonrecommence Remarque 3 2 3 Expliquonslecritèreduquotient A une certaine itération du simplexe nous disposons d’une solution



C D - EPFL

la recherche opérationnelle (2017–2018) Professeur : Michel Bierlaire Assistants responsables : Virginie Lurkin et Nikola Obrenovic Algorithme du simplexe – corrigé (20 octobre 2017) On peut alors identi?er la matrice A le vecteur b et le vecteur c : A = 1 1 ?1 0 2 3 0 1 b = 4 18 et c = ?3 4 0 0



Simplexe - Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L

Algorithme du simplexe Dantzig 1947 Algo it eratif de r esolution de probl eme de programmation lin eaire Principe A partir d’un sommet chercher un sommet voisin qui am eliore l’objectif Propri et e du probl eme Soit x 0 sommet non optimum Alors il existe x un sommet voisin de x0 tel que f(x) >f(x 0) Donc ca marche



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solution de base pour ce système est obtenue de la manière suivante : a) On pose J F I variables égales à 0 Ces variables sont appelées variables hors base (V H B ) b) On résout le système pour les I variables restantes Ces variables sont appelées les variables de base (V B )

Qu'est-ce que la méthode simplexe ?

La méthode de simplexe est une procédure algébrique qui tient compte de ces trois considérations. Pour illustrer cette procédure, supposons que x2 = 0 et S1 = 0. Notre système devient Les variables x1, S2, S3 et S4 (non nulles) sont dites variables de base et les variables S1, x2, (nulles) sont dites variables hors base.

Quel est le principe de résolution de la méthode de Simplexe?

La méthode de simplexe commence par l'identification d'une solution réalisable de base et ensuite, elle essaye de trouver d'autres solutions réalisables de base jusqu’à atteindre à la solution optimale. Ainsi, on doit, tout d’abord, retrouver cette solution réalisable de base.

Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?

La recherche opérationnelle (R.O) ou (la science delà décision) est la discipline des méthodes scientifiques utilisable pour élaborer de meilleurs décisions. Elle permet de rationaliser, de simuler, de planifier et d’optimiser l’architecture et le fonctionnement des systèmes de production ou d’organisation.

Comment trouver une solution optimale pour un programme linéaire ?

Ainsi une autre solution optimale peut être trouvée pour notre programme linéaire. Ceci confirme le résultat de la méthode graphique qui indique que ce problème admet un ensemble de solution optimale décrit par le segment [BC]. La solution optimale donnée par le dernier tableau de simplexe correspond au point C.

Chapitre 4 Dualité

Chapitre 4

Dualité

4.1 Problème dual

On suppose queAest une matrice de formatmnetb2Rm.

A chaque problème d"optimisation linéaire, nous allons définir un nouveau problème appellé

le dual. Le problème original est le primal.

Soit le problème d"optimisation linéaire

minz=ctx; Axb; x0:(4.1)

Définition

4.1.1 Le dual du problème (4.1) est

maxz=bty; A tyc; y0:(4.2) On notera que, pour le problème primal, on ax2Rntandis quey2Rmpour le dual. 1

2CHAPITRE 4. DUALITÉ

Par exemple, considérons le problème

suivant minz=x1x2 sous les contraintes 8< :x13x2 3;

2x1x2 2;

x

1;x20:

qui admet la solution (x1;x2) = (3=5;4=5)etz=7=5.x 1x 21312

Le problème dual s"écrit sous la forme :

maxz=3y12y2 sous les contraintes 8< :y12y2 1;

3y1y2 1;

y

1;y20:

qui admet la solution (y1;y2) = (1=5;2=5)etz=7=5.x 1x

211=31=21

Dans cet exemple, on observe que la valeur minimale du primal est égale à la valeur maximale du dual. Essayons de dualiser d"autres types de problèmes.

4.2. INTERPRÉTATION ÉCONOMIQUE3

(a)

Ev aluonsle dual du problème

maxz=ctx; Axb; x0: Pour cela il suffit de le réécrire sous la forme d"un problème demin: maxctx; Axb; x0:()minctx; Ax b; x0:

Le dual sera

maxbty;

Aty c;

y0:()minbty; A tyc; y0: (b) Ev aluonsmain tenantle dual du dual. Soit le problème minz=ctx; Axb; x0:

Le dual est

maxz=bty; A tyc; y0:

On applique le résultat ci-dessus pour obtenir

minz=ctx; (At)txb; x0:()minz=ctx; Axb; x0:

Donc, le dual du dual est le primal.

4.2 Interprétation économique

Considérons le problème d"une entreprise agricole qui désire ensemencer avec 3 variétés de

planteA;BetC. Il s"agit de déterminer les superficiesxi(en hectare) des terres ensemencées par les plantes

A;BetCpour avoir un bénéfice maximal. Voici le tableau qui résume la situationTerrain (ha)Travail (h)Machine (h)Rendement

A211100

B321400

C131500

3402400560

4CHAPITRE 4. DUALITÉ

Par exemple, il faudra 3 heures de travail par hectare pour ensemencer avec la plante B et

2 heures de machinerie. La dimension totale du terrain est de 340 ha et nous disposons de

2400 heures de temps de travail et de 560 heures en temps de machinerie. 1 hectare de la

plante A donne un profit de 1100$.

La fonction objective est

maxz= 1100x1+ 1400x2+ 1500x3

Contrainte 1 :

dimension du terrain x

1+x2+x3340

Contrainte 2 :

temps de tra vail

2x1+ 3x2+x32400

Contrainte 2 :

temps de mac hine x

1+ 2x2+ 3x3560

On ajoute les variables d"écartx4;x5;x6à ce problème et on applique la méthode du simplexe.

Le tableau final est donné parBx

1x2x3x4x5x6x

11 01 2 0 1120

x

50 031 111500

x

20 1 21 0 1220

0 0200800 0300440;000La solution est

x

1= 120;x2= 220;x3= 0;x4= 0;x5= 1500;x6= 0

et le profit estz= 440;000$. On observ eque les ressources de te rrainet de ma chinerieson tpleinemen tutilisées carx4=x6= 0. P arcon tre,la ressource en temps de tra vailn"est pas pleinemen tutilisée car x56= 0. Si on disposait d"un hectare ou d"une heure de travail ou de machinerie de plus, quel serait le profit de plus? C"est le concept de coût marginal. Introduisons les variables y

1=coût marginal de 1 ha de terrain

y

2=coût marginal de 1 h de tra vail

4.2. INTERPRÉTATION ÉCONOMIQUE5

y

3=coût marginal de 1 h de mac hine

On devrait avoiry2= 0car la ressource en temps de travail n"est pas pleinement utilisée. Maintenant, regardons le point de vue d"un acheteur des activités de l"entreprise. Les coûts marginaux sont mieux interprétés de la manière suivante : y

1=prix à offrir p ourac heterun h ade terrain

y

2=prix à offrir p ourac heterune h de tra vail

y

3=prix à offrir p ourac heterune h de mac hine

Quel sera le problème à résoudre pour déterminer ces variables? La fonction objective correspond au coût à payer pour acheter l"entreprise z= 340y1+ 2400y2+ 560y3=b1y1+b2y2+b3y3=bty: Il s"agit de minimiser le prix à payer :minz=bty. Pour cela, son offre sera accepté s"il offre au moins autant que le bénéfice de chacune des activités.

Activité A :

le b énéficelié à l"ensemencemen tde la plan teA est y

1+ 2y2+y31100:

Activité B :

le b énéficelié à l "ensemencementde la plan teB est y

1+ 3y2+ 2y31400:

Activité C :

le b énéficelié à l" ensemencementde la plan teC est y

1+y2+ 3y31500:

En résumé, le problème s"écrit

8>>>><

>>>:minz= 340y1+ 2400y2+ 560y3 y

1+ 2y2+y31100;

y

1+ 3y2+ 2y31400;

y

1+y2+ 3y31500;

y

1;y2;y30:

Le principe de la dualité peut s"énoncer de la manière suivante : le plus bas prix total à payer

pour l"acheteur doit être égal au bénéfice maximal pour le producteur.

6CHAPITRE 4. DUALITÉ

4.3 Théorie de la dualité

4.3.1 Lagrangien et point de selle

SoientARnetBRmdeux ensembles non vide et

L:AB!R

une fonction appellée Lagrangien.

Définition

4.3.1 Un point(x;y)2ABest un point de selle du LagrangienLsi

L(x;y)L(x;y)L(x;y)8x2A;8y2B:

Exemple

4.3.1 Le point(0;0)est un point de selle de la fonctionL(x;y) =x2y2avec

A=B=Rcar

L(0;y) =y20 =L(0;0)x2=L(x;0)8x;y2R:

Théorème

4.3.1 Si(x;y)est un point de selle deL, alors

max y2Bminx2AL(x;y) = minx2Amaxy2BL(x;y) =L(x;y) Autrement dit, on peut inverser l"ordre duminet dumax.

Démonstration:Montrons en premier que

max y2Bminx2AL(x;y)minx2Amaxy2BL(x;y):

En effet, on a que

minx2AL(x;y)L(x;y)maxy2BL(x;y) Le membre de gauche est une fonction de y seulement. De même, pour le membre de droite qui est une fonction de x uniquement. Ceci implique max y2Bminx2AL(x;y)maxy2BL(x;y);8x2A et, en prenant le minimum par rapport àx, max y2Bminx2AL(x;y)minx2Amaxy2BL(x;y); d"où le résultat.

4.3. THÉORIE DE LA DUALITÉ7

En deuxième, montrons que

minx2Amaxy2BL(x;y)L(x;y): En effet, selon la définition du point de selle, on a max y2BL(x;y) =L(x;y) =)L(x;y)minx2Amaxy2BL(x;y):

De même, on a

min x2AL(x;y) =L(x;y) =)L(x;y)maxy2Bminx2AL(x;y):

En recollant les morceaux, on obtient

d"où le résultat final.4.3.2 Fonction indicatrice

SoitKRnun sous-ensemble quelconque et non vide.

Définition

4.3.2 La fonction indicatrice de l"ensembleKest définie par

I

K(x) =0six2K,

1sinon.

La fonction indicatrice sert à enlever les contraintes. Pour un problème de minimisation, on a évidemment la relation minx2Kf(x) = minxf(x) +IK(x) Pour un problème de maximisation, on a plutôt max x2Kf(x) = maxxf(x)IK(x)

Dans notre contexte de l"optimisation linéaire, on préfère ne pas enlever les contraintes de

positivitéx0. Ainsi les relations ci-dessus vont s"écrire min x2K x0f(x) = minx0f(x) +IK(x) de même pour un problème de maximisation.

8CHAPITRE 4. DUALITÉ

Appliquons cette technique au cas de l"optimisation linéaire : minz=ctx; Axb; x0:

Nous allons introduire la fonction Lagrangienne

L(x;y) =ctx+yt(bAx)8x2Rn;8y2Rm:

Le rôle de la fonctionLest de transformer le problème d"optimisation linéaire sous la forme min Axb; x0:c tx()minx0maxy0L(x;y) = minx0maxy0ctx+yt(bAx) Cela est possible grâce au résultat suivant.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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