Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires PDF

RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

Méthode des combinaisons linéaires . Solution d'un système d'équations ... 1 2 est une solution du système d'équations linéaires. 2 3 8.

SYSTÈMES DÉQUATIONS ET DROITES

Dans ce chapitre on verra deux méthodes permettant de résoudre de tels systèmes. Partie 1 : Méthode de substitution. Méthode : Résoudre un système d'équations

Titre : METHODES DADDITION ET DE CRAMER

Cette méthode est aussi appelée méthode des combinaisons ou méthode de réduction au même coefficient. Résoudre le système suivant : 3 x + 2 y = 10 (1). 4 x - y

SYSTEMES DEQUATIONS

Méthode : Résoudre un système d'équations pas la méthode des combinaisons d'éliminer une inconnue par soustraction ou addition des deux équations.

EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS

Méthode de résolution par substitution : on vérifie que le système a une seule solution en écrivant les deux équations réduites. on a alors isolé l' inconnue y.

CHAPITRE 1 Systèmes déquations et dinéquations linéaires I

La solution du système d'après le graphique est (3 ; -1). x 0 3. Y -2 -1. Page 2. b. Résolution par substitution.

FICHE PÉDAGOGIQUE DE PRÉPARATION DUNE LEÇON Classe

Pour résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues par combinaison linéaire on procède comme dans l'activité suivante. 1.1 Activité.

Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires

Résoudre L . y = b par substitution avant. 2. Résoudre U . x = y par substitution arrière.

Systèmes déquations linéaires

Systèmes d'équations linéaires. Corrections d'Arnaud Bodin. Exercice 1. 1. Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution

Un couple de nombres qui vérifie les deux équations est appelé solution du système Ici le coupe (1 ; 2) est solution En effet : 2×1?2=0 3×1?4×2=?5 Dans ce chapitre on verra deux méthodes permettant de résoudre de tels systèmes Partie 1 : Méthode de substitution

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Title: comment resoudre un systeme - methode par combinaison pdf Author: swiners Created Date: 6/28/2019 9:49:55 AM

Introduction
La seconde méthode élémentaire de résolution des systèmes d'équations linéaires est la méthode par combinaisons. Elle consiste à manipuler les différentes lignes du système, en les ajoutant, les multipliant, les soustrayant, pour éliminer des termeset résoudre le système.
Exemple
Résolution détaillée

Comment résoudre un système d’équation ?

Pour résoudre ce système d‘équation, il faut faire appel à l‘une des méthodes existantes. On optera ici pour la méthode de Galerkin connue par la simplicité de sa formulation et la généralisation de son application. III.6.2. Application de la méthode de Galerkin

Comment résoudre les deux équations?

Les deux équations forment un système d’équations du premier degré à deux inconnues.Sa résolution est assez simple, il suf?t de constater que les seconds membres des deux équations sont égaux.On peut développer de la façon sui- vante:

Comment résoudre un système d’équations à deux variables?

• Lorsqu’un problème comprend deux inconnues, un système d’équations à deux variables peut permettre de le résoudre. • our trouver la solution anément les équations. • On peut résoudre un système d’équations à l’aide d’une able de valeurs ou d’un graphique. he la solution du système d’équations : H 1 +5

Comment résoudre un système d'équations linéaires ?

La seconde méthode élémentaire de résolution des systèmes d'équations linéaires est la méthode par combinaisons. Elle consiste à manipuler les différentes lignes du système, en les ajoutant, les multipliant, les soustrayant, pour éliminer des termes et résoudre le système.

Ift24211 Chapitre 3Ift 2421

Chapitre 3

Résolution des systèmes

d'équations linéaires

Ift24212 Chapitre 3Introduction

Description:

U = R . I

Loi de Kirchhoff:Le voltage sur une boucle fermée est nul.

Intensité entrante = intensité sortante.

donc 5 i

1 + 5 i2 = V

3 - i4 - i5 = 0

2 i

4 - 3 i5 = 0

1 - i2 - i3 = 0

5 i

2 - 7 i3 - 2 i4 = 0

Ift24213 Chapitre 3Exemples de situations nécessitant la résolution d'un système d'équations linéaires.

· Potentiel dans un circuit électrique

· Tension dans une structure

· Flot dans un réseau hydraulique

· Mélange de produits chimiques

· Vibration d'un système mécanique

· Élasticité

· Transfert de chaleur

· Réduction d'équation différentielles

Ift 2450

Ift24214 Chapitre 3Notation :Considérons le système suivant :axaxb axaxb1111221

2112222+=

+=ìíîCe système sera noté par :(en notation matricielle) aa aax xb b1112 21221
21
2é

ûúou aussi

A . x = b10 Rappels sur les matrices :

1. Multiplications entre matrices

conformes seulement : si A est

KxL et B est MxN alors A.B

existe ssi L=M.

2. On a l'associativité du produit :

A.(B.C)=(A.B).C

3. On n'a pas de façon générale de

commutativité : A.B ¹ B.A

4. Un vecteur est une matrice dont

l'une des dimensions est 1.

5. Une matrice 1x1 est associée de

façon bijective à un nombre réel.

6. La transposée AT d'une matrice

A est obtenue en interchangeant

les lignes et les colonnes.

7. Une matrice carrée NxN est dite

d'ordre N.

8. La matrice Zéro (notée 0) est

entièrement composée de zéros.

9. La matrice identité (notée I) a des

1 sur la diagonale et des zéros

ailleurs.

10. La trace d'une matrice est la

somme des éléments de sa diagonale.

Ift24215 Chapitre 3Méthode de Cramer

Si A . x = b est un système de n équations

avec n inconnues tel que det (A) ¹ 0 alors le système a une solution unique qui estx A AxA AxA Ann 11

22===det()

det(),det() det(),,det() det()K avec Aj la matrice obtenue en remplaçant la jème colonne de A par le vecteur b.

Ordre de la méthode:

O(n!) n > 20

5 fois la vie de l'univers.

Ift24216 Chapitre 3Système triangulaire :

· Inférieur

0é

úúúúúSubstitution Avant

· Supérieur

0é

úúúúúSubstitution Arrière

Résoudre le système :

312
077

002112

21
421
2 3- úx x x et le système : 300
170
27213
22
191
2 3- úx x xMatrice augmentée :300 170
27213
22
19-

Ift24217 Chapitre 3Systèmes équivalents

2 systèmes sont équivalents

Ils peuvent être obtenus l'un

à partir de l'autre avec

uniquement des opérations

élémentaires.

Deux systèmes équivalents

ont la même solution.Opérations élémentaires surles lignes d'une matrice

1. Multiplication d'unerangée par une constante

2. Les équations peuvent êtrepermutées.

3. Combinaison linéaire desrangées.

Exemple de système

Rxxx Rxxx

Rxxx1123

2123

31233212

2311
222:
312
123
22112
11 21
2 3- úx x xet de systèmes équivalents

262424

222

32131123

3123

2313Rxxx

Rxxx RRxx: 624
221
30224
2 131
2 3- úx x x

Ift24218 Chapitre 3Élimination de Gauss2 étapes :1. Transformation du système original en un système triangulaire supérieur.

2. Résolution du système triangulairepar substitution arrière.Exemple de système :

Rxxx Rxxx

Rxxx1123

2123

31233212

2311
222:

Premier pivot (a

11 = 3) :Rxxx

RRxx

RRxx1123

2123

31233212

1 37
37
37
2 34
37
36:
---=-Second pivot (a

22 = 7/3) :

Rxxx Rxx

RRx1123

223

3233212

73737

43732:

Substitution arrière :

x xx xxx3 23
1232
37773

3777321

13122

13121223=

Ift24219 Chapitre 3Remarques sur la méthode de Gauss1. Un pivot est une valeur par laquelle on doit diviser pour résoudre le système linéaire.

2. On n'a pas utilisé la seconde opération élémentaire.

3. On peut aussi travailler avec la matrice augmentée.Coût :Ordre O(n

3/3) flops

(Floting point operations)

Notes :Substitution arrière

Ordre O(n2/2) flops

négligeable lorsque n tend vers infini.Méthode de Gauss Jordan

· fait disparaître les

coefficients en haut et en bas de la diagonale.

· Pas de substitution arrière.

Coût :Ordre O(n

3/2) flops

déconseillée

Ift242110 Chapitre 3PivotageTechnique de pivotage partiel :Permute 2 lignes pour avoir le pivot maximum en valeur

absolue.

Technique de pivotage complet :Permute 2 lignes de la matrice augmentée, puis interchange 2inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur

absolue.

Raisons du pivotage

Division par un très petit pivotvaleurerreurPivotvaleurerreurvaleurerreur+=+=+-101010151515

Exemple :043

4132
6371
3

2-é

úPivotage partiel (R

1 " R3)637

4132
0432
3

1-é

Suffisant pour éviter les

divisions par 0.

Peut aussi améliorer la

précision des calculs.

Ift242111 Chapitre 3Pivotage Complet

Étape 1 : (R1 " R2)4132

043
6373
1 2-

Étape 2 : (C1 " C3)-

ú3214

340
7363
1 2

Attention :Garder l'ordre des inconnues.

O = ( 3, 2, 1)

4132
043
6374
0 61
4 332
3 73
1 2 32
3 71
4 34
0 63214
31
2 3123
321-

ú=-x

x xxxx xxx40 7363
1 23
2 1é úx x x

Ift242112 Chapitre 3Pivotage (autre exemple)

Cet exemple montre que la précision peut être améliorée par le pivotage. Considérons un système avec b= 10 et s = 4. (Arrondi à chaque opération)

Soit le système A x = b tel que :

A=-

ú000240004000

200029065387

300040313112...

... b=-

ú7998

4481
4143.
La matrice triangulaire supérieure sans pivotage est : (augmentée)-

úú000240004000

039974005

0010007998

8002

0000...

ce qui donne la solution : x* = (-1496, 2.000, 0.000)

Si on utilise le pivot partiel :

A=--

ú300040313112

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[PDF] Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires

Introduction

Exemple

Comment résoudre un système d’équation ?

Comment résoudre les deux équations?

Comment résoudre un système d’équations à deux variables?

Comment résoudre un système d'équations linéaires ?

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Chapitre 3

Résolution des systèmes

Ift24212 Chapitre 3Introduction

Description:

U = R . I

Intensité entrante = intensité sortante.

1 + 5 i2 = V

3 - i4 - i5 = 0

4 - 3 i5 = 0

1 - i2 - i3 = 0

2 - 7 i3 - 2 i4 = 0

· Potentiel dans un circuit électrique

· Tension dans une structure

· Flot dans un réseau hydraulique

· Mélange de produits chimiques

· Vibration d'un système mécanique

· Élasticité

· Transfert de chaleur

Ift 2450

2112222+=

ûúou aussi

A . x = b10 Rappels sur les matrices :

1. Multiplications entre matrices

KxL et B est MxN alors A.B

2. On a l'associativité du produit :

A.(B.C)=(A.B).C

3. On n'a pas de façon générale de

4. Un vecteur est une matrice dont

5. Une matrice 1x1 est associée de

6. La transposée AT d'une matrice

A est obtenue en interchangeant

7. Une matrice carrée NxN est dite

8. La matrice Zéro (notée 0) est

9. La matrice identité (notée I) a des

1 sur la diagonale et des zéros

10. La trace d'une matrice est la

Ift24215 Chapitre 3Méthode de Cramer

Si A . x = b est un système de n équations

22===det()

Ordre de la méthode:

5 fois la vie de l'univers.

Ift24216 Chapitre 3Système triangulaire :

· Inférieur

úúúúúSubstitution Avant

· Supérieur

úúúúúSubstitution Arrière

Résoudre le système :

002112

Ift24217 Chapitre 3Systèmes équivalents

2 systèmes sont équivalents

Ils peuvent être obtenus l'un

à partir de l'autre avec

élémentaires.

Deux systèmes équivalents

1. Multiplication d'unerangée par une constante

2. Les équations peuvent êtrepermutées.

3. Combinaison linéaire desrangées.

Exemple de système

Rxxx1123

31233212

262424

32131123

2313Rxxx

2. Résolution du système triangulairepar substitution arrière.Exemple de système :

Rxxx1123

31233212

Premier pivot (a

11 = 3) :Rxxx

RRxx1123

31233212

22 = 7/3) :

RRx1123