Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I. On dit que f est dérivable en x0 si la limite lim h?0 f(x0 + h) ? f(x0).
DÉRIVATION (Partie 2)
On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0.
Dérivabilité
Si la limite du taux d'accroissement est infinie alors la courbe représentative de f possède en x0 une tangente verticale d'équation x = x0. 0 f. M0. On résume
Feuille 10. Dérivabilité
f(x) = 8>><. >>: ex x si x < 0 cos2(?x)
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 La fonction valeur absolue x ??
DÉRIVABILITÉ
La fonction x ? ?.
Dérivabilité
Le taux d'accroissement en 0 de la fonction dérivée donne fn?1(x) qui est prolongeable par continuité en 0 (car n ? 1 ? 2). Donc fn est dérivable en 0 de
DÉRIVATION
Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L tel que : lim h?0 f (a + h) ? f (a).
Dérivation des fonctions
Attention la réciproque de cette implication est fausse. Par exemple
Feuille 10. Dérivabilité
conséquent f n'est pas dérivable en 0; elle ne l'est pas à gauche ni à droite non plus. Exercice 10-4 Préciser pour chacune des fonctions suivantes de R
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe
[PDF] Dérivation des fonctions
Par exemple la fonction f :[0 2?]??C définie par f (t)=eit est dérivable sur [0 2?] satisfait f (0) = f (2?) alors que sa dérivée f (t) = i eit ne s'
[PDF] Dérivabilité - MP Dumont
Une fonction dérivable en admet une tangente en et le nombre dérivé en est la pente de La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes
7 nov 2014 · La fonction valeur absolue x ?? x est continue mais pas dérivable en 0 1 6 Continuité et équation Théorème 3 : Théorème des valeurs
[PDF] 1 DERIVATION 1 ) LIMITE FINIE DUNE FONCTION EN ZERO A
On appelle ensemble de dérivabilité de la fonction f l'ensemble sur lequel la fonction dérivée f 'est définie Cet ensemble ( noté Df ' ) est toujours inclus
[PDF] Tableaux des dérivées
%2520primitives
[PDF] FONCTION DERIVÉE - maths et tiques
2) Soit la fonction f définie sur R \{0} par f (x) = 1 x5 alors f est dérivable sur ??;0 ?? ?? et sur 0;+????? et on a pour tout x de R \{0} f '(x
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Si le point B se rapproche du point A (h tend vers 0) la droite (AB) se rapproche de la tangente (T) à la courbe en x = a Le coefficient directeur de cette
[PDF] DÉRIVABILITÉ - Christophe Bertault
x ? 0 n'a donc pas de limite en 0 Théorème (Dérivabilité implique continuité) Soient f : D ?? une fonction et a ? D Si f est dérivable en a
[PDF] Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée
h?0 2a+h = 2a f est donc dérivable en a et f (a) = 2a On dit que f est dérivable sur R et que sa fonction dérivée est définie par f (x) = 2x
Comment montrer qu'une fonction est dérivable en 0 ?
Si f est définie dans un voisinage de x0 x0 x0 : f est dérivable en x0 ssi f est dérivable à gauche et à droite en x0 et fg (x0)=fd (x0). On a alors f (x0) = fg (x0) = fd (x0).Pourquoi est pas dérivable en 0 ?
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.Quelle est la dérivée de 0 ?
Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).- Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
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Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
DÉRIVABILITÉ
Les fonctions qu"on étudie en analyse sont généralement définies sur des intervalles ou des réunions d"intervalles comme
?ou[0,1[?[2,3], voire2,π2
+π?.Dans tout ce chapitre, les lettresD,E... qui nous serviront d"ensembles de définitiondésigneront cependant des parties quelconques de?. On notera par ailleurs?l"un des corps?ou?, et quand on emploiera
les notations[a,b]ou]a,b[, il sera sous-entendu queaetbsont deux réels et quea1.1 DÉFINITIONS DE LA DÉRIVABILITÉ
Définition(Dérivabilité en un point ou sur une partie de?, tangente)Soientf:D-→?une fonction eta?D.
Dérivabilité :On dit quefestdérivable en asi la limite limx→af(x)-f(a) x-aexiste et est finie. Cette limite est alors appelée lenombre dérivé de f en aet notéef?(a).L"ensemble des fonctions dérivables surDet à valeurs dans?, i.e. dérivables en tout point deD, est noté?(D,?).
Pour toutf? ?(D,?), la fonctionx?-→f?(x)surDest appelée ladérivée de f.Tangente :Sifest dérivable ena, la droite d"équationy=f(a)+f?(a)(x-a)est appelée latangente de f en
a. Et si limx→af(x)-f(a) x-a=±∞, la droite d"équationx=aest appelée latangente de f en a.Sifest dérivable ena:f(x)-f(a)
x-a≈f?(a)pourx≈a, doncf(x)≈f(a)+f?(a)(x-a). Ce n"est pas rigoureux,mais cela nous convainc que la tangente defenaest la droite la plus proche du graphe defau voisinage dea.
ExemplePour toutn??, la fonctionx?-→xnest dérivable sur?de dérivéex?-→nxn-1. DémonstrationSoita??. Pour toutx??\a:xn-anx-a=n-1? k=0a kxn-k-1---→x→an-1? k=0a kan-k-1=nan-1. ExempleLa fonction valeur absolue|·|n"est pas dérivable en 0.DémonstrationPourtoutx???:|x|-|0|x-0=!1 six>0
-1 six<0,donc limx→0+|x|-|0|x-0=1et limx→0-|x|-|0|x-0=-1.La fonctionx?-→|x|-|0|
x-0n"a donc pas de limite en 0.Théorème(Dérivabilité implique continuité)Soientf:D-→?une fonction eta?D. Sifest dérivable ena,
alorsfest continue ena.?Attention !La réciproque est totalement fausse, pensez à la fonction valeur absolue en 0. C"est contre-intuitif, mais il
existe même des fonctions qui sont continues sur tout?mais dérivables en aucun point.DémonstrationSifest dérivable ena:f(x) =f(x)-f(a)x-a×(x-a)+f(a)---→x→af?(a)×0+f(a) =f(a),
doncfest continue ena.Le résultat suivant est la version dérivable d"un résultat analogue sur les limites du chapitre " Limites d"une fonction».
Théorème(Caractérisation de la dérivabilité à partir des parties réelle et imaginaire)Soientf:D-→?une
fonction eta?D. fest dérivable enasi et seulement si Re(f)et Im(f)le sont. De plus, dans ce cas :f?(a) =Re(f)?(a)+i Im(f)?(a). 1Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Définition(Dérivabilité à gauche/à droite en un point)Soientf:D-→?une fonction eta?D.
Dérivabilité à gauche :On dit quefestdérivable à gauche en asif D∩]-∞,a]est dérivable ena, i.e. si la limite lim x→a-f(x)-f(a) x-aexiste et est finie. Cette limite est notéef? g(a). Dérivabilité à droite :On dit quefestdérivable à droite en asif D∩[a,+∞[est dérivable ena, i.e. si la limite lim x→a+f(x)-f(a) x-aexiste et est finie. Cette limite est notéef? d(a).Parce qu"elle n"est qu"un cas particulier de la dérivabilité en général, la dérivabilité à gauche (resp. à droite) implique la
continuité à gauche (resp. à droite).Théorème(Caractérisation de la dérivabilité à l"aide des dérivabilités à gauche/à droite)Soientf:D-→?
une fonction eta?Dun point au voisinage duquelfest définie à gauche et à droite.fest dérivable enasi et seulement sifest dérivable à gauche et à droite enaavec de plusf?
g(a) =f? d(a). y=f(x) a f(a) Ci-contre,fest dérivable à gauche et à droite ena, mais pas enacarf? g(a)?=f? d(a).Démonstration
fest dérivable ena??limx→af(x)-f(a)x-aexiste et est finie ??limx→a-f(x)-f(a) x-aet limx→a+f(x)-f(a)x-aexistent, sont finies et égales ??fest dérivable à gauche et à droite enaetf? g(a) =f? d(a).ExempleLa fonctionxf?-→"ln(1+x)six?0
sinxsix<0est dérivable en 0.Démonstrationf?
g(0) =f? d(0) =1, doncfest dérivable en 0 etf?(0) =1.?Attention !Une fonction peut n"être ni dérivable à gauche ni dérivable àdroite en un point. C"est le cas de la fonction
x f?-→xsin1xen 0 prolongée par continuité en 0 parf(0) =0, carx?-→f(x)-f(0)x-0=sin1xn"a pas de limite en 0, ni à
gauche ni à droite. Zoom1.2 OPÉRATIONS SUR LA DÉRIVABILITÉ
Théorème(Opérations sur la dérivabilité)(i)Combinaison linéaire, produit, quotient :Pour toutes fonctionsf,g? ?(D,?)etλ,μ??, les fonctions
λf+μgetf gsont dérivables surD, ainsi quef gsigne s"annule pas. En outre : (λf+μg)?=λf?+μg?,(f g)?=f?g+f g?et!f g! =f?g-f g?g2. (ii)Composition :Pour toutes fonctionsf? ?(D,E)etg? ?(E,?),g◦fest dérivable surDet : (g◦f)?=f?×g?◦f.(iii)Réciproque :SoitIun intervalle. Pour toute fonctionf? ?(I,?)bijective deIsurJ=f(I),SIf?NE S"ANNULE
PAS SURI, alorsf-1est dérivable surJet :f-1?=1
f?◦f-1.On aurait pu énoncer ce résultat dans le cadre de la dérivabilité en un seul point. Dans le cas de la composition, le
théorème énoncerait que sifest dérivable ena?Det sigest dérivable eng(a)?E, alorsg◦fest dérivable ena.
2Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
y=x y= f(x) y=f-1(x) ?Attention !L"hypothèse de non-annulation def?estCRUCIALE! Sur la figure ci-contre,f?s"an- nule ena, doncfpossède une tangenteHORIZONTALEena. Il en découle quef-1possède une tan- genteVERTICALEenf(a), doncN"estPASdérivable enf(a).Démonstration
(i) Fixonsa?D. La dérivabilité degenaimplique sa continuité, donc limx→ag(x) =g(a).Tout d"abord :
(λf+μg)(x)-(λf+μg)(a)Ensuite :
(f g)(x)-(f g)(a)Enfin, sig(a)?=0 :1
g(x)-1g(a) (ii) Fixonsa?D. Pour touty?E, posonsτ(y) =???g(y)-gf(a) y-f(a)siy?=f(a) g ?f(a)siy=f(a).Par dérivabilité degen f(a): lim y→f(a)τ(y) =g?f(a), et pour toutx?E:τf(x)f(x)-f(a)=g◦f(x)-g◦f(a), y compris pourx=a, donc :g◦f(x)-g◦f(a) (iii) Fixonsb?J. Parce quefest continue enf-1(b),f-1l"est enb, donc limy→bf-1(y) =f-1(b)♣.Ensuite,fest dérivable enf-1(b): lim
x→f-1(b)f(x)-ff-1(b) x-f-1(b)=f?f-1(b), donc commef?ne s"an- nule pas enf-1(b): lim x→f-1(b)x-f-1(b) f(x)-ff-1(b)=1f?f-1(b)♠.Composons enfin♣et♠: limy→bf
-1(y)-f-1(b) y-b=limy→bf -1(y)-f-1(b)ff-1(y)-ff-1(b)=1f?f-1(b). ExempleLa fonctionx?-→?x3Arcsinxest dérivable sur]-1,1[.Démonstration
La fonctionx?-→x3Arcsinxest dérivable sur]-1,1[par produit. Positive sur[-1,1]et nulle seulement
en 0, cette fonction est donc dérivable sur]-1,1[\0 À VALEURS DANS??+. La fonction racine carrée étant dérivable sur??+SEULEMENT,x?-→? x3Arcsinxest dérivable sur]-1,1[\0par composition. Ce raisonnement ne nous apprend rien sur la fonctionx?-→? x3Arcsinxen 0 car nos théorèmes d"opé-rations sur la dérivabilité nous parlent de dérivabilité mais pas deNON-dérivabilité. De fait, la fonction
x?-→? x3Arcsinxest quand même dérivable en 0 car : x3Arcsinx-0 x-0=? x4 x×??Arcsinx
x=x??Arcsinx-Arcsin0
x-0---→x→00×Arcsin?(0) =0.On pourrait montrer en revanche quex?-→?
x3ArcsinxN"estPASdérivable en-1 et 1.1.3 DÉRIVÉES SUCCESSIVES
Définition(Dérivées successives et fonction de classe?k)Soitf:D-→?une fonction.Dérivées successives:On posef(0)=f. Ensuite, pour toutk???,si ona réussi au cours des étapes précédentes
à définir la fonctionf(k-1)surDet si elle est dérivable surD, on dit quefestk fois dérivable sur Det on pose
f (k)=f(k-1)?. Classe?k:Pour toutk??, on dit quefestde classe?ksur Dsifestkfois dérivable surDet sif(k)est continue surD. On note?k(D,?)l"ensemble des fonctions de classe?ksurDà valeurs dans?.Classe?∞:On dit quefestde classe?∞sur Dsifest dérivable autant de fois qu"on le veut surD.
On note?∞(D,?)l"ensemble des fonctions de classe?∞surDà valeurs dans?. 3Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
?Attention !Être de classe?1, ce n"est pas être " dérivable et continue » puisqu"on est toujours continu quand on
est dérivable mais être " dérivable à dérivée continue ». Sur la figure ci-dessous, chaque flèche décrit une implication. deux foisClasse?1DérivabilitéContinuité =Classe?0 Théorème(Opérations sur les dérivées successives)Soitk??.Combinaison linéaire, produit, quotient :Pour toutes fonctionsf? ?k(D,?)etλ,μ??, les fonctionsλf+μg
etf gsont de classe?ksurD, ainsi quef gsigne s"annule pas. En outre : (λf+μg)(k)=λf(k)+μg(k)et(f g)(k)=k p=0! k p! f (p)g(k-p)(formule de Leibniz). Composition :Pour toutes fonctionsf? ?k(D,E)etg? ?k(E,?),g◦fest de classe?ksurD.Réciproque :SoitIun intervalle. Pour toute fonctionf? ?k(I,?)bijective deIsurJ=f(I),SIf?NE S"ANNULE
PAS SURI,f-1est de classe?ksurJ.
On peut remplacer dans chacune de ces assertions " de classe?k» par "kfois dérivable » ou " de classe?∞».
Pour montrer qu"une fonction est deux fois dérivable, on applique directement le théorème précédent, on ne s"amuse pas
à montrer qu"elle est dérivable, à la dériver, puis à montrerque sa dérivée est de nouveau dérivable!
DémonstrationPour commencer, le théorème " Opérations sur la dérivabilité » se généralise aux fonctions de
classe?1car les dérivées obtenues sont toutes continues si les fonctions de départ le sont. On raisonne ensuite
par récurrence surk, avec des initialisations toutes triviales. Le cas des combinaisons linéaires tombe sous le sens.
Produit :Au rangk: "?f,g? ?k(D,?),f g? ?k(I,?)et(f g)(k)=k p=0! k p! f (p)g(k-p)».Hérédité :On suppose le résultat vrai au rangk. Soientf,g? ?k+1(D,?). Les fonctionsfetgsont
de classe?1, doncf gaussi et(f g)?=f?g+f g?, maisf?getf g?sont de classe?kpar hypothèse de récurrence, donc(f g)?aussi, ce qui prouve quef gest de classe?k+1. Ensuite : (f g)(k+1)=f?g(k)+f g?(k)HDR=k p=0! k p! f (p+1)g(k-p)+k p=0! k p! f (p)g(k-p+1)=k+1? p=1! k p-1! f (p)g(k-p+1)+k p=0! k p! f (p)g(k-p+1) k+1? p=0! k p-1! f (p)g(k-p+1)+k+1? p=0! k p! f (p)g(k-p+1)Formule=de Pascalk+1? p=0! k+1 p! f (p)g(k+1-p). Quotient :Au rangk: " Pour toutesf,g? ?k(D,?), signe s"annule pas surD, alorsf g? ?k(D,?). »Hérédité :On suppose le résultat vrai au rangk. Soientf,g? ?k+1(D,?),gne s"annulant pas surD. Les
fonctionsfetgsont de classe?1, doncf gaussi et!fg! =f?g-f g?g2, maisf?g-f g?etg2sont de classe kpar produit, donc!f g! aussi par hypothèse de récurrence, ce qui prouve quefgest de classe?k+1. Composition :Au rangk: "?f? ?k(D,E),?g? ?k(E,?),g◦f? ?k(D,?)».Hérédité :On suppose le résultat vrai au rangk. Soientf? ?k+1(D,E)etg? ?k+1(E,?). Les fonctions
fetgsont de classe?1, doncg◦faussi etg◦f?=f?×g?◦f, maisg?◦fest de classe?kpar hypothèse
de récurrence, doncg◦f?aussi par produit, ce qui prouve queg◦fest de classe?k+1. Réciproque :Imiter les preuves précédentes. 4Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
2 QUELLES INFORMATIONS PEUT-ON TIRER D"UNE DÉRIVÉE?
2.1 EXTREMA LOCAUX ET POINTS CRITIQUES
Définition(Extremum local, point critique)Soientf:D-→?une fonction eta?D.Extremum local :On dit quefpossède unmaximum(resp.minimum)local en asifest majorée (resp. minorée)
parf(a)au voisinage dea. Point critique :On dit queaest unpoint critique de fsifest dérivable enaavecf?(a) =0.Maximum
donc maximum localMinimum
donc minimum localMaximum local
mais pas maximum tout courtUn maximum local n"est pas forcément un maximum de la fonctionsur tout son domaine de définition. ?Attention !On peut avoir un minimum local enasans quefsoit dé- croissante à gauche et croissante à droite au voisinage dea. C"est le cas de la fonctionx?-→x2+2x2sin21 xprolongée par 0 en 0, représentée ci-dessous. ZoomThéorème(Condition nécessaire d"existence d"un extremum local en un point intérieur)Soientf:D-→?une
fonction eta?Dun point intérieur. Sifest dérivable enaet possède un extremum local ena,aest un point critique
def. aSituation standard du théorème
(cas d"un maximum local). aIl est important que
asoit un pointINTÉRIEUR. aRéciproque fausse :Tout point critique
n"est pas forcément le signe d"un extremum local.DémonstrationÉtudions le cas d"un maximum local ena. Commeaest un point intérieur àD,Dcontient un
voisinage]a-?,a+?[deapour un certain? >0, et commefpossède un maximum local ena:f(x)?f(a) pour toutx?]a-?,a+?[ avec le même?quitte à le diminuer. Par conséquent : ?x?]a-?,a[,f(x)-f(a) x-a?0 et?x?]a,a+?[,f(x)-f(a)x-a?0.Orfest dérivable ena, donc si nous faisons tendrexversaà gauche dans l"inégalité de gauche :f?(a)?0,
et si nous le faisons tendre à droite dans celle de droite :f?(a)?0. Conclusion :f?(a) =0.2.2 THÉORÈMES DEROLLE ET DES ACCROISSEMENTS FINIS
Théorème(Théorème de Rolle)Soitf:[a,b]-→?une fonction continue sur[a,b], dérivable sur]a,b[pour
laquellef(a) =f(b). Il existe un réelc?]a,b[pour lequelf?(c) =0. Chaque hypothèse du théorème a son importance. ab f(a) =f(b)Situation standard
du théorème de Rolle. ab f(a) =f(b)Si on enlève la dérivabilité
même en un point, rien ne va plus. ab f(a) =f(b)Si on enlève la continuité,
même sur les bords, ce n"est pas mieux. ab f(a) f(b)Sif(a)?=f(b),
c"est toujours la cata. 5Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
DémonstrationContinue sur leSEGMENT[a,b],fy est bornée et possède un minimummet un maximumM d"après le théorème des bornes atteintes. Sif(a) =f(b)?=M, alors commefatteint ses bornes :f(c) =Mpour un certainc?]a,b[. Parhypothèse,cn"est alors pas une borne de[a,b], doncf?(c) =0 d"après le théorème précédent.
Sif(a) =f(b)?=m, même raisonnement.
Dernier cas enfin :f(a) =f(b) =m=M. Dans ce cas,fest constante de valeurM=msur tout[a,b] par définition demetM, doncf?est nulle sur tout[a,b]!ExemplePour tousα,β,γ??, le polynômeP=4αX3+3βX2+2γX-(α+β+γ)possède une racine dans]0,1[.
DémonstrationFixonsα,β,γ??.
On a bien sûr d"abord envie d"utiliser le TVI. Hélas :P(0) =-(α+β+γ)etP(1) =3α+2β+γet
le signe de ces deux nombres n"est pas du tout clair.Changeons de point de vue. Le polynômeQ=αX4+βX3+γX2-(α+β+γ)Xest une primitive dePet
Q(0) =Q(1) =0, donc d"après le théorème de Rolle,P=Q?s"annule au moins une fois entre 0 et 1.
?Attention !Le théorème de Rolle est faux pour les fonctions complexes. Par exemple, la fonctiont?-→eitest continue
sur[0,2π], dérivable sur]0,2π[, et ei0=e2iπ=1, mais pourtant sa dérivéet?-→ieitne s"annule pas.
Théorème(Théorème des accroissements finis)Soitf:[a,b]-→?continue sur[a,b]et dérivable sur]a,b[.
Il existe un réelc?]a,b[pour lequelf?(c) =f(b)-f(a) b-a, ou encoref(b)-f(a) =f?(c)(b-a).Le théorème des accroissements finis généralise le théorèmede Rolle. La morale de l"histoire?
SI J"AI DES INFORMATIONS SURf?,J"EN AI AUSSI SURf.Typiquement, toute majoration/minoration def?peut être convertie en une majoration/minoration surf.
abc y=f(x) y=d(x) ??y=?(x) DémonstrationNotonsdla fonction affinex?-→f(b)-f(a)b-a(x-a) +f(a)et ?la fonctionf-d. Cette fonction?est continue sur[a,b], dérivable sur]a,b[et ?(a) =?(b) =0. Le théorème de Rolle affirme donc que??(c) =0 pour un certain c?]a,b[, ou encoref(b)-f(a) b-a=f?(c). ExempleSoitf? ?3[a,b],?. On suppose quef(a) =f?(a) =f(b) =f?(b) =0.Alors pour un certainc?]a,b[:f(3)(c) =0.
abf f? f?? f(3)DémonstrationCommefest continue sur[a,b]et dérivable sur]a,b[avec f(a) =f(b) =0, le théorème de Rolle montre quef?(u) =0 pour un certain u?]a,b[. Ensuite,f?étant continue sur[a,u]et[u,b]et dérivable sur]a,u[et]u,b[avec f ?(a) =f?(u) =f?(b) =0, le théorème de Rolle montre quef??(v) =f??(w) =0 pour certainsv?]a,u[etw?]u,b[.Enfin, commef??est continue sur[v,w]et dérivable sur]v,w[avecf??(v) =f??(w), le théorème de Rolle montre
quef(3)(c) =0 pour un certainc?]v,w[?]a,b[.ExempleSoientIun intervalle etf? ?k(I,?). Sifs"annule en au moinsk+1 points distincts, alorsf(k)s"annule en au
moins un point. Ce résultat est un grand classique, étudiez-le bien! f f? f?? f(3) f(4)DémonstrationLa figure ci-contre illustre l"idée de la preuve pourk=4. On part de 5 zéros (au moins) pourf. En appliquant le théorème de Rolle entre ces zéros on parvient à exhiber 4 zéros (au moins) def?, puis 3 (au moins) pour f ??... et enfin (au moins) un zéro def(4). Nous allons montrer proprement par récurrence que pour touti??0,k?,f(i) s"annule en au moinsk-i+1 points distincts. Pouri=k, on a tout simplement le résultat. Initialisation :L"assertion pouri=0 n"est autre que l"hypothèse du théorème. 6Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Hérédité :Soiti??0,k-1?. On suppose quef(i)s"annule en au moinsk-i+1 points distinctsx1,...,xk-i+1
rangés dans l"ordrex1<... ]xj,xj+1[etf(i)(xj) =f(i)(xj+1) =0. Le théorème de Rolle affirme donc l"existence d"un zérox? compris strictement entrexjetxj+1. Nous voilà donc à la tête dek-i=k-(i+1)+1 zéros def(i+1), lesquels Les constantes de primitivation et de résolution des équations différentielles linéaires sont toutes issues du théorème qui Théorème(Caractérisation des fonctions constantes dérivables)SoientIunINTERVALLEetf? ?(I,?). DémonstrationUne preuve du cas réel suffit via la caractérisation de la dérivabilité à partir des parties réelle1
2
(ii)fest strictement croissante surIsi et seulement sif?est positive ou nulle surIet n"est identiquement nulle sur
aucun intervalle[a,b]aveca(i) Reprenez simplement la preuve du théorème précédent avec des inégalités à la place des égalités.
(ii) Supposons d"abordfstrictement croissante surI. D"après (i),f?est positive ou nulle surI. Ensuite, sif?
est identiquement nulle sur un intervalle[a,b]aveca?b, alorsfy est constante doncf(a) =f(b), donc a=bpar stricte monotonie.Réciproquement, supposons quef?est positive ou nulle surIet n"est identiquement nulle sur aucun in-
tervalle[a,b]aveca[PDF] étudier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
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