Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I. On dit que f est dérivable en x0 si la limite lim h?0 f(x0 + h) ? f(x0).
DÉRIVATION (Partie 2)
On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0.
Dérivabilité
Si la limite du taux d'accroissement est infinie alors la courbe représentative de f possède en x0 une tangente verticale d'équation x = x0. 0 f. M0. On résume
Feuille 10. Dérivabilité
f(x) = 8>><. >>: ex x si x < 0 cos2(?x)
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 La fonction valeur absolue x ??
DÉRIVABILITÉ
La fonction x ? ?.
Dérivabilité
Le taux d'accroissement en 0 de la fonction dérivée donne fn?1(x) qui est prolongeable par continuité en 0 (car n ? 1 ? 2). Donc fn est dérivable en 0 de
DÉRIVATION
Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L tel que : lim h?0 f (a + h) ? f (a).
Dérivation des fonctions
Attention la réciproque de cette implication est fausse. Par exemple
Feuille 10. Dérivabilité
conséquent f n'est pas dérivable en 0; elle ne l'est pas à gauche ni à droite non plus. Exercice 10-4 Préciser pour chacune des fonctions suivantes de R
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe
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Par exemple la fonction f :[0 2?]??C définie par f (t)=eit est dérivable sur [0 2?] satisfait f (0) = f (2?) alors que sa dérivée f (t) = i eit ne s'
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Une fonction dérivable en admet une tangente en et le nombre dérivé en est la pente de La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0
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7 nov 2014 · La fonction valeur absolue x ?? x est continue mais pas dérivable en 0 1 6 Continuité et équation Théorème 3 : Théorème des valeurs
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On appelle ensemble de dérivabilité de la fonction f l'ensemble sur lequel la fonction dérivée f 'est définie Cet ensemble ( noté Df ' ) est toujours inclus
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%2520primitives
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2) Soit la fonction f définie sur R \{0} par f (x) = 1 x5 alors f est dérivable sur ??;0 ?? ?? et sur 0;+????? et on a pour tout x de R \{0} f '(x
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Si le point B se rapproche du point A (h tend vers 0) la droite (AB) se rapproche de la tangente (T) à la courbe en x = a Le coefficient directeur de cette
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x ? 0 n'a donc pas de limite en 0 Théorème (Dérivabilité implique continuité) Soient f : D ?? une fonction et a ? D Si f est dérivable en a
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h?0 2a+h = 2a f est donc dérivable en a et f (a) = 2a On dit que f est dérivable sur R et que sa fonction dérivée est définie par f (x) = 2x
Comment montrer qu'une fonction est dérivable en 0 ?
Si f est définie dans un voisinage de x0 x0 x0 : f est dérivable en x0 ssi f est dérivable à gauche et à droite en x0 et fg (x0)=fd (x0). On a alors f (x0) = fg (x0) = fd (x0).Pourquoi est pas dérivable en 0 ?
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.Quelle est la dérivée de 0 ?
Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0).- Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
Feuille10.Dérivabilité
Questiongénérale.Pour lesfonctionsconsidérées danscettefeui lle,onprécisera le domainededéfinition.Exercice1.
Préciserpourchacune desfonctionssuivantes enquelspoints ellessontdérivables,dérivablesàdr oite,dérivablesà gauche,etlesvaleursde leursdérivées,dérivées à
droite,dérivéesàgauche.1.f(x)=cos(cosx).
2.g(x)=
|sinx|.3.h(x)=
1+cosx.
Exercice2.
Étudierlacontinuité etladérivabilité delafonction fdeRversRdéfiniepar: f(x)= e x "x,six<0 cos 2 (!x),si0#x#1 1+ lnx x ,six>1Exercice3.
Pourchacune desexpressions y(t)ci-dessous,calculer dy dt 1)t 4 +3t 2 "6,2)6t 7/2 +4t 5/2 "2t,3) 3t+ 3 t+ 1 t ,4)te t ,5)t 2 e t ,6)t(t+3)e t7)tsintlnt,8)
5"t 5+t ,9) t 3 1+t 2 ,10) t 3 +1 t 2 "t"2 ,11) lnt t 3 ,12) (t+1) 3 t ,13) 1+t 1+ t 14) cost sint ,15) sint1+cost
Exercice4.
Pourchacunedes fonctionsfdéfiniesci-dessous,calculer lafonctiondérivée f 1)e 3x ,2)cos(5x),3)ln(2x),4)ln(|2x|),5)ln( "2x),6)(1 "x) 7/3 ,7)sin(cosx),8)sin(cos(3x)),9)ln(sin
2 x),10) 3 x 2 +x+1,11)e "x 2 ,12)2 lnx ,13) 5+4x 1+2 1+x 1L1UCBL2016-2017 FondamentauxdesmathématiquesI
14)ln(|e
2ı!x
Exercice5.
Soitflafonctionréelle d'unevariableréelle définiepar: f(x)= x+exp("1/x 2 ),six>0 sinx,six#01.Montrerquefestdérivableen toutpointxdeR
encalculantsa dérivée.2.fest-elledérivable en0?
3.f estellecontinue en0?4.fest-elledeuxfois dérivableen0?
Exercice6.
Soitf n (x)lesfonctionsdéfinies par f n (x)= x n sin(1/x),six$=00,six=0
1.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n continue?2.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n dérivable?3.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n continue?4.Pourquelle valeurden,a-t-onf
n dérivable?Exercice7.
1.Montrerquepourtousréels aetbavec0#a b"a 1+b 2 2.Endéduir eque:
4 3 251.Montrerquepourtousréels xety:|cosy"cosx|#|y"x|.
2.Montrerquepourtousréels xetytelsquex$=y:|cosy"cosx|<|y"x|.
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Exercice9.Montrerquepourtoutentier k%1:0Commentsecomp ortela suite(H
n )determegénéral H n =1+ 1 2 1 3 1 n quand ntendversl'infini ?Exercice10.
1.Utiliserl'exerciceprécédentpour montrerquepour"#1
lim n$% n k=1 1 kquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] étudier la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
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