Chapitre 7 Dérivées partielles dordre 2 et extrema
o`u : Hf (a) est la matrice des dérivées partielles secondes. 7.4 Application aux extrema. Définition 7.4.1. Soit f : U ? R une fonction de plusieurs variables
Comprendre les dérivées partielles et leurs notations
À la condition bien entendu de savoir calculer rapidement la dérivée d'une fonction d'une seule variable. 1. Page 2. 1. Les dérivées partielles. 2.
Math206 – Equations aux Dérivées Partielles Feuille dExercices 1
Calculer les dérivées partielles `a l'ordre 2 des fonctions suivantes : f(x y) = x2(x + y)
Chapitre 2 - Différentielles dordre supérieur et formule de Taylor
2.0.2 Différentielles secondes (ou d'ordre 2). Dérivées partielles secondes. Soit f : U ? R n ! R p une application différentiable alors les fonctions
Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles
tielles sont continues) le résultat d'une succession de dérivées partielles ne dépend pas de l'ordre dans lequel on les fait. 1.2.2 EDP.
Fonctions de plusieurs variables
1 nov. 2004 On peut aussi parler de développement limité `a l'ordre 2 pour une fonction de plusieurs vari- ables. C'est lié aux dérivées partielles ...
2.4 Différentiabilité en plusieurs variables
rapport à x et y) des fonctions ?xf(x y) et ?xf(x
Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique
Définition 3 Une E.D.P. linéaire du second ordre est dite elliptique en x 2 ? si la matrice A(x) n'admet que des valeurs propres non nulles et
Notions sur les équations aux dérivées partielles
Quelques rappels. Définition 2. Soit f : D ? Rn ? Rn une application. Si toutes les dérivées partielles de f existent en un point ¯a = (a1···
Fonctions de plusieurs variables
des dérivées partielles dans toutes les directions et `a tous les ordres. passant par le point M0 = (12) et orthogonal au vecteur v = (3
[PDF] Comprendre les dérivées partielles et leurs notations
Nous allons présenter la théorie dans un ordre unusuel Nous allons commen- De même pour calculer la dérivée partielle de f suivant la la deuxième
[PDF] Chapitre 7 Dérivées partielles dordre 2 et extrema
Soit f : U ? R une fonction de plusieurs variables Si f admet des dérivées partielles secondes continues alors : ?2f ?xi?xj = ?2f
[PDF] Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles
2 Syst`emes différentiels et équations différentielles On définit ensuite par récurrence les dérivées partielles d'ordre supérieur Par exemple ?2
[PDF] Fonctions de deux variables
Si on met les deux dérivées partielles ensemble on obtient le gradient de f qu'on note ?f ce qui se lit aussi “nabla f ” : ?f : R 2
[PDF] Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique
Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles linéaires 17 2 2 E D P linéaires du second ordre 2 2 1 Définitions Définition 2 On appelle E D P
[PDF] Dérivées dordres supérieurs - Institut de Mathématiques de Toulouse
On s'intéresse dans ce chapitre aux dérivées d'ordre 2 ou plus d'une fonction de plusieurs variables Comme pour une fonction d'une seule variable
[PDF] Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
On demande de calculer les dérivées partielles de la fonction de deux variables h = f ? g Pour se ramener au théorème général et ne pas s'embrouiller il est
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aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes Soit (1) f{x y z p q r s t)== o l'équation proposée et soit (2)
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Dérivées partielles 2 Approximations linéaires 3 Différentielle 4 Différentiabilité 5 Dérivation en chaˆ?ne 6 Dérivée directionnelle
[PDF] Calcul différentiel - Exo7 - Cours de mathématiques
Pour calculer une dérivée partielle par rapport à une variable on n'utilise que rarement la définition avec les limites car il suffit de dériver par rapport à
![[PDF] Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique [PDF] Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique](https://pdfprof.com/Listes/17/57708-17polyic2.pdf.pdf.jpg)
DépartementSTPI
2èmeannéeIC
IntroductionauxÉquationsauxDérivée sPart iellesÉtudethéori que
AudeRondepi erre&AdelineRouchon
Année2012- 2013
Tabledesmati ères
1Rappels.Équationsdi!érentiellesordina ires5
1.1Équati ondi!érentiellelinéairedupremier ordre.. ... ... ... ... .5
1.1.1Equationho mogène.............. .............5
1.1.2Solution générale............. ............ .. .6
1.1.3Recherch edesolutionparticulière. ...... ............6
1.1.4Exemples.. .................... ... ... ... .6
1.2Equatio ndi!érentiellelinéairedusecond ordre.. ... ... ... .. ... 7
1.2.1Solution del'équationhomogène.... ...... ..........7
1.2.2Casparticu lierde sEDOhomogènesàcoe"cientsconstants. ....8
1.2.3Recherche d'unesolutionparticuli ère............. ....8
2.1E.D.P. detypetransport ...... ........... ...........11
2.1.1Définit ionetexemples............. ... .........11
2.1.2Transpor tlelongdescourbescaractéristi ques... ........ .13
2.1.3Problèmede sconditionsauxlimite s........ ..........15
2.2E.D.P. linéairesduseco ndordre................... .....1 7
2.2.1Définiti ons..................... ... ... ... ..17
2.2.2Élémentsdec lassification:E.D.P.el liptiq ues,hyperboliquesetpa-
raboliques....... ... ... ... ... ... .. ... ... ..1 83.1Séri esNumériques... ....................... ... ... 21
3.1.1Définiti ons..................... ... ... .. ... 21
3.1.2Nature d'unesérie....... .............. ......21
3.1.3Conditionn écessairedeconvergence. .................22
3.1.4Sériesn umériquesàtermesp ositifs................ ..22
3.1.5Sériesà termesréelsdesigneq uelcon que........ .......24
3.2Séri esdefonctions.... ...... .............. ... ... .24
3.3L'espace L
2 p (0,T 0 )................................2 63.3.1Définit ions..................... ... .. ... ... 26
3.3.2Convergenc eenmoyennequadratique........ ...... ...27
3.3.3Polynôm estrigonométriquesetmeilleu reapproximation.......27
3.3.4Meilleurea pproximation........... .............28
34TA BLEDESMATIÈRES
3.4Séries deFourier.... ...... .............. ... ... ..28
3.4.1Coe"cientsdeFourier ... ...... ... ... ... ... .. ..29
3.4.2Sériesd eFourieretpremier sexemples .............. ..30
3.5Conver gencedessériesdeFourier...... ......... ........32
3.5.1Convergence enmoyennequadratique......... ..... ...32
3.5.2ThéorèmedeD irichlet............ ...... .......33
3.5.3EgalitédeP arseval.......... ...... ...........34
4.1Préambu le:modéliserdesphénomèn esi mpulsionnels............35
4.1.1Convolutio ndedeuxfonctionsetpropriétésé lément aires...... 35
4.1.2Impulsion deDirac!
0 ..........................3 74.2Equati ondelachaleur........ ..... ...... ..........39
4.2.1Soluti onfondamentaledel'équationd elachaleur..........39
4.2.2Résolution del'équationdelach aleurparsép arationdesvariables.42
4.3Equatio nsdesondes............. ........ .........45
4.3.1Résolution del'équationdescordes vibrant esparséparationdesva-
riables.... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .464.3.2Séparati ondesvariablesdanslecas2D.. ...... ........48
4.4Général itéssurlaméthodedeséparat iondesvar iables. ..........49
4.4.1Pourdes conditionshom ogènesetsanst ermesource.........49
4.4.2Problèmesde Sturm-Liouvilleendimens ion1.. ..........50
4.4.3Lamétho dedesép arationdesvariablesenprésenced 'unterm esource53
4.4.4Méthodedesé parationdesvariab lesave cdesconditionsauxlimites
nonhomog ènes........... ... ... ... .. ... ... .545TransforméedeLaplaceetapplications55
5.1Défin itiondelatransforméedeLaplace. ...... ..... ........55
5.2Tran sforméedeLaplacedequelquesfonc tionsélémen taires....... ..56
5.3Condit ionsu"santed'existencedela transforméedeLaplace ... ... ..57
5.4Propri étésdelatransforméedeLapla ce.... ...... ..........59
5.5Transfor méedeLaplaceetconvolution. ...... ........... ..63
5.6Impu lsiondeDiracàdroite!
0 .........................6 45.7Fonct ion!....................................6 4
5.8Résolut iondeproblèmesgrâceàla transformée deLaplace.........65
5.8.1Leséquat ionsdi!érentiellesordinairesàco e"cientsconstants. ..66
5.8.2Originald 'unefractionrationnell e............. ......67
Chapitre1
Rappels
Équationsdi!érentiellesordinaires
1.1Équati ondi!érentiellelinéairedupremierordre
Uneéquatio ndi!érentiellelinéairedupremier ordreestdu type : a(x)y (x)+b(x)y(x)=f(x)(1.1) oùles fonctions aetbsontdonnéesets'app ellentles coe"cientsdel'équationdi !érentielle etlafonction festdonnéeet s'appelle lesecondmem bre.Unesolutio nde(1.1)estunefonctio nydeclasse C
1 surun intervalle Ivérifiant(1.1) pourtoutx!I.1.1.1Equationhom ogène
Onapp elleéquationdi!érentiellehomogèneassociée à(1.1)l'équation : a(x)y (x)+b(x)y(x)=0.(1.2)Equationàcoe"cientsconstan ts
Onsep lace danslecasoùaetbsontdesconstantes. Alorslasolution généraledel'équation homogène(1.2)est v(x)=Ce rx avecr=" b a etCestuneconstan tearbitraire.Equationàcoe"cientsvaria bles
SoitIuninterv alleoùlesfonctionsaetbsontdéfiniesetcon tinueset telqu ea(x)#=0, v(x)=Ce u(x) 561. 1.Équationdi!érentiellelinéairedu premierordre
avecu (x)=" b(x) a(x) etCestuneconstan tearbitraire.1.1.2Solutiongénér ale
Soitv 0 uneso lutionparticulièrede(1.1 );alorslessolutionsgénéra lesde (1.1)s'écrivent y(x)=v(x)+v 0 (x) oùvestlasolution généralede l'équationhomogène(1.2).1.1.3Recherchedeso lutionparticulière
Oncomm encetoujoursparregard ers'iln'yapasdesolu tionévid ente,sinononpeut appliquerl'unedesméthodessu ivantesSecondmembre delaforme:f(x)=e
!x P n (x) Pouruneéquationà coe"cientsconstants ,silesecondmembreestdelaformef(x)= e !x P n (x)oùP n estun polynômede degrén: 1 er cas:si "#=r=" b a alorsoncherc heu nesolutionsouslaformev 0 (x)=e !x Q n (x)oùQ n estun polynôme dedegré n. 2 eme cas:si "=r=" b a onch ercheunesolutionsouslafor mev 0 (x)=e !x xQ n (x)oùQ n estun polynômede degrén.Méthodedevariat ion delaconstante
Siv(x)estune solutiondel'équation homogène,onc hercheune solutionparticulièresous laforme v 0 (x)=C(x)v(x)etC vérifiealors:C (x)= f(x) a(x)v(x)1.1.4Exemples
Exemple1Résoudrey
(x)+2y(x)=2cosx.Exemple2Résoudrexy
(x)+y(x)=xpourx!R Chapitre1.Rappels.Équa tionsd i!érentiellesordinaires71.2Equation di!érentiellelinéairedusecondordre
Uneéquatio ndi!érentiellelinéairedusecond ordreestdu type : a(x)y (x)+b(x)y (x)+c(x)y(x)=f(x)(1.3) oùa,betcsontdesfonctionsdonnées, appeléesco e"cientsdel'équationdi !érentielle etfestappelée seoncdmembredel'équation di!érentielle.Unesolutionde (1.3)est une fonctionydecla sseC 2 surun intervalle Ivérifiant(1.3)pourto utx!I. Lasolu tiongénéraledel'EDOde(1. 3)s'écrivent: y(x)=y h (x)+y 0 (x), oùy h estsolutionde l'équationhomogène associéeet y 0 unesolutionpa rticulièrede(1.3).1.2.1Solutiondel 'équationhomogène
Soit: (E h )a(x)y (x)+b(x)y (x)+c(x)y(x)=0. ContrairementauxEDOlinéaireshomogène sdupremie rordre ,onn'apasd'expression explicitedessolutions lorsquelesco e"cientssontnoncons tants.Commenç onspardo nner lastru cturedessolutionsd'uneEDOli néaireho mogènedusecondordre: Proposition1SoitIuninterval leoùlesfonctionsa,betcsontdéfinieset continues ett elquea(x)#=0,pourtoutx!I.Lessolutionsdel'équationhomogène(E h )sontde laforme : y(x)="y 1quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] dérivée fonction composée tableau
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