Chapitre 7 Dérivées partielles dordre 2 et extrema
o`u : Hf (a) est la matrice des dérivées partielles secondes. 7.4 Application aux extrema. Définition 7.4.1. Soit f : U ? R une fonction de plusieurs variables
Comprendre les dérivées partielles et leurs notations
À la condition bien entendu de savoir calculer rapidement la dérivée d'une fonction d'une seule variable. 1. Page 2. 1. Les dérivées partielles. 2.
Math206 – Equations aux Dérivées Partielles Feuille dExercices 1
Calculer les dérivées partielles `a l'ordre 2 des fonctions suivantes : f(x y) = x2(x + y)
Chapitre 2 - Différentielles dordre supérieur et formule de Taylor
2.0.2 Différentielles secondes (ou d'ordre 2). Dérivées partielles secondes. Soit f : U ? R n ! R p une application différentiable alors les fonctions
Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles
tielles sont continues) le résultat d'une succession de dérivées partielles ne dépend pas de l'ordre dans lequel on les fait. 1.2.2 EDP.
Fonctions de plusieurs variables
1 nov. 2004 On peut aussi parler de développement limité `a l'ordre 2 pour une fonction de plusieurs vari- ables. C'est lié aux dérivées partielles ...
2.4 Différentiabilité en plusieurs variables
rapport à x et y) des fonctions ?xf(x y) et ?xf(x
Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique
Définition 3 Une E.D.P. linéaire du second ordre est dite elliptique en x 2 ? si la matrice A(x) n'admet que des valeurs propres non nulles et
Notions sur les équations aux dérivées partielles
Quelques rappels. Définition 2. Soit f : D ? Rn ? Rn une application. Si toutes les dérivées partielles de f existent en un point ¯a = (a1···
Fonctions de plusieurs variables
des dérivées partielles dans toutes les directions et `a tous les ordres. passant par le point M0 = (12) et orthogonal au vecteur v = (3
[PDF] Comprendre les dérivées partielles et leurs notations
Nous allons présenter la théorie dans un ordre unusuel Nous allons commen- De même pour calculer la dérivée partielle de f suivant la la deuxième
[PDF] Chapitre 7 Dérivées partielles dordre 2 et extrema
Soit f : U ? R une fonction de plusieurs variables Si f admet des dérivées partielles secondes continues alors : ?2f ?xi?xj = ?2f
[PDF] Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles
2 Syst`emes différentiels et équations différentielles On définit ensuite par récurrence les dérivées partielles d'ordre supérieur Par exemple ?2
[PDF] Fonctions de deux variables
Si on met les deux dérivées partielles ensemble on obtient le gradient de f qu'on note ?f ce qui se lit aussi “nabla f ” : ?f : R 2
[PDF] Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles Étude théorique
Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles linéaires 17 2 2 E D P linéaires du second ordre 2 2 1 Définitions Définition 2 On appelle E D P
[PDF] Dérivées dordres supérieurs - Institut de Mathématiques de Toulouse
On s'intéresse dans ce chapitre aux dérivées d'ordre 2 ou plus d'une fonction de plusieurs variables Comme pour une fonction d'une seule variable
[PDF] Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
On demande de calculer les dérivées partielles de la fonction de deux variables h = f ? g Pour se ramener au théorème général et ne pas s'embrouiller il est
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aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes Soit (1) f{x y z p q r s t)== o l'équation proposée et soit (2)
[PDF] 5 Dérivées de fonctions de plusieurs variables - GERAD
Dérivées partielles 2 Approximations linéaires 3 Différentielle 4 Différentiabilité 5 Dérivation en chaˆ?ne 6 Dérivée directionnelle
[PDF] Calcul différentiel - Exo7 - Cours de mathématiques
Pour calculer une dérivée partielle par rapport à une variable on n'utilise que rarement la définition avec les limites car il suffit de dériver par rapport à
![Notions sur les équations aux dérivées partielles Notions sur les équations aux dérivées partielles](https://pdfprof.com/Listes/17/57708-17fetch.phpmediaa15_math3_notions-edp.pdf.pdf.jpg)
Notions sur les equations aux derivees partielles
Mathematiques 3, 2015
Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles1 / 28 Pour etudier les phenomenes reels, on utilise les lois de la physique : mecanique, electromagnetisme, acoustiques, thermodynamiques, quantiques, relativistes, etc. Cette etude se traduit generalement par une modelisation mathematique par des equations dierentielles ordinaires ou par desequations aux derivees partielles.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles2 / 28Quelques rappels
Denition 1
Soitf:DRn!Rnune application. Si la limite
lim h!0f(a1;;ai1;ai+h;ai+1;;an)f(a1;;an)h existe et nie, on l'appelle la i- emed eriveepa rtiellede fau point (a1;;an)2Det on la note@f@xi(a1;;an): Si pour tout a= (a1;;an)2D,fadmet une i-eme derivee partielle au point a, l'application@f@xi: a7!@f@xi(a1;;an) est appelee lai- eme derivee partielle def(ou souvent la derivee partielle par rapport a la variablexi).Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles3 / 28Quelques rappels
Exemple 1
Considerons la fonctionf(x;y) =xy. On a
@f@x(a;b) = limh!0(a+h)babh =b;@f@y(a;b) = limh!0b+habh =a:Remarque Dans la pratique, pour calculer une derivee partielle par rapport a la variablexi, on xe les autres variables et on calcul la derivee au sens usuel ou la variable estxi. Dans l'exemple precedent, @f@x(x;y) = (xy)0(ouyest consideree comme une constante) =y;@f@y(x;y) = (xy)0(ouxest consideree comme une constante) =x:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles4 / 28
Quelques rappels
Denition 2
Soitf:DRn!Rnune application. Si toutes les derivees partielles de fexistent en un point a= (a1;;an)2D, alors on appellegradient de f au point ale vecteur rf(a1;;an) =@f@x1(a1;;an);;@f@xn(a1;;an)Exemple 1 (suite) On a rf(a;b) = (b;a):Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles5 / 28Quelques rappels
Denition 3
La d eriveepa rtiellede fd'ordrejpar rapport aux variablesxi1;:::;xijest denie par jf@xi1@xij=@@xi1 @j1f@xi2@xij :Exemple 2 Considerons la fonctionf(x;y) =x4+y3. Alors, les derivees d'ordre 2 sont2f@x2(x;y) =@@x(@f@x(x;y)) = 12x2;@2f@y2(x;y) =@@y(@f@y(x;y)) = 6y;
2f@x@y(x;y) =@2f@y@x(x;y) = 0:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles6 / 28
Quelques rappels
Denition 4
LeLaplacian
d'une fonction f:DRn!Restf(x) =@2f@x21(x) ++@2f@x2n(x):Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles7 / 28
Une equationaux d eriveepa rtielles(EDP en a brege)est une relation entre une fonction de plusieurs variablesu:Rn!Ret ses derivees partielles : (E)F x;u;;@u@xi;;@2u@xi@xj;;@mu@xi1:::@xim= 0 oumest le degre de l'equation. Le probleme est pose sur un domaineDRn. On cherche des applicationsu:D!Rveriant l'equation (E) et satisfaisant des conditions initiales et desconditions sur le b ord@D.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles8 / 28
La forme generale d'une equation aux derivees partielles lineaire d'ordre 2 a coecients constants est (E)@2u@x2+@2u@x@y+ @2u@2y+@u@x+@u@y+u=f;
ou;; ;;sont des constantes etf:D!Rest une application appelee le second membre de l'equation.On dit que l'equation (E) est :elliptiquesi24
>0,paraboliquesi24 = 0,hyperboliquesi24 <0.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles9 / 28Exemples
L'equation des ondes
@2u@t2c2@2u@x2= 0 est hyperbolique.L'equation de Laplace (ou Poisson) u= 0 ou u=fest elliptique.L'equation de la chaleur
@u@tc@2u@x2= 0 est parabolique (c>0).Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles10 / 28
Equation des ondes
La propagation d'une onde sur une corde innie est modelisee par l'equation des ondes sur R (EO1)82u@t2c2@2u@x2= 0;8x2R;8t>0;
u(x;0) =u0(x);8x2R; @u@t(x;0) =u1(x);8x2R; oucest la vitesse de propagation de l'onde et les fonctionsu0etu1sont respectivement, l'etat et la vitesse initiale. Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles11 / 28 Equation des ondes : formule de D'AlembertTheoreme 1 (Formule de D'Alembert) La solution de l'equation des ondes (EO1) ou on suppose queu0est une fonction dierentiable est u(x;t) =12 u0(x+ct) +u0(xct)
+12cZ x+ct xctu1(y)dy:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles12 / 28
Equation des ondes : conditions aux limites
On s'interesse maintenant a la propagation d'une onde sur une demi-corde (innie). Elle est modelisee par l' equationdes ondes avec une condition de frontiere : (EO2)82u@t2c2@2u@x2= 0;8x>0;8t>0;
u(x;0) =u0(x);8x>0; @u@t(x;0) =u1(x);8x>0; @u@x(0;t) = 0;8t>0; oucest la vitesse de propagation de l'onde et les fonctionsu0etu1sont respectivement, l'etat et la vitesse initiale. Physiquement, la condition de frontiere s'interprete comme une paroi re echissante. Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles13 / 28 Equation des ondes : conditions aux limites et formule deD'AlembertTheoreme 1 (Formule de D'Alembert)
La solution de l'equation des ondes (EO2) ou on suppose queu0est une fonction dierentiable est u(x;t) =12 u0(x+ct) +u0(ctx)
+12cZ x+ct 0 u1(y)dy
12cZ ctx 0 u1(y)dy:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles14 / 28
Equation des ondes : solutions a variables separeesOn cherche les solutions a
va riabless eparees de l' equationdes ondes. On suppose qu'il existe des fonctionsFetGtelles que u(x;t) =F(x)G(t): On a @2u@t2=FG00;@2u@t2=FG00 et en remplacant dans l'equation, on obtient FG00=c2F00G:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles15 / 28
Equation des ondes : solutions a variables separees En supposant en plus queF(x)6= 0 etG(t)6= 0, on obtient c 2F00F (x) =G00G (t): Comme la fonction de gauche depend uniquement dexet celle de droite uniquement det, il existe un reel2R, tel que c 2F00F (x) =;G00G (t) =:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles16 / 28 Equation des ondes : solutions a variables separees On distingue alors les trois cas suivants :si= 0, alorsF(x) =ax+b;G(t) =t+:si >0, alors
F(x) =aep
c x+bep c x;G(t) =ept+bept:si <0, alorsF(x) =acos(pc
x) +bsin(pc x);G(t) =acos(pt) +bsin(pt):
En tenant compte des conditions initiales et des conditions aux limites, on determine le cas qui se produit et les solutions de l'equation. Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles17 / 28Equation des ondes : series de Fourier
On cherche les solutionsL-periodiques de l'equations des ondes : (EO3)82u@t2c2@2u@x2= 0;8x2R;8t>0;
u(x;0) =u0(x);8x2R; @u@t(x;0) =u1(x);8x2R; u(x;t) =u(x+L;t); ou on suppose que les fonctionsu0etu1sont periodiques et admettent un developpement en series de Fourier (!=2L u0(x) =a0;02
+X n1(a0;ncos(n!x) +b0;nsin(n!x)) u1(x) =a1;02
+Xn1(a1;ncos(n!x) +b1;nsin(n!x))Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles18 / 28
Equation des ondes : series de Fourier
Supposons que la solutionu(x;t) est developpable en series de Fourier u(x;t) =a0(t)2 +X n1(an(t)cos(n!x) +bn(t)sin(n!x)):En derivant terme a terme
2u@t2=a000(t)2
+X n1(a00n(t)cos(n!x) +b00n(t)sin(n!x));2u@x2=(n!)2X
n1(an(t)cos(n!x) +bn(t)sin(n!x)): Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles19 / 28Equation des ondes : series de Fourier
Par identication, et en tenant compte des conditions initiales, on obtient a000(t) = 0;a0(0) =a0;0;a00(0) =a1;0
a00n(t) +2nan(t) = 0;an(0) =a0;n;a0n(0) =a1;n;
b00n(t) +2nbn(t) = 0;bn(0) =b0;n;b0n(0) =b1;n;
oun=cn!.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles20 / 28Equation des ondes : series de Fourier
En resolvant les equations dierentielles ordinaires precedentes, on obtient a0(t) =a1;0t+a0;0;
a n(t) =a0;ncos(nt) +a1;n nsin(nt); b n(t) =b0;ncos(nt) +b1;n nsin(nt);et donc la solutionu(x;t).Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles21 / 28
Equation des ondes : series de FourierExercice
Calculer les solutions 2-periodiques de l'equation des ondes, avec u0(x) =x si x2[0;1[;
2x si x2[1;2[;
etu0(x) = 0.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles22 / 28Equation de Laplace,Equation de Poisson
On considere
l' equationde Laplace u= 0; et l' equationde P oisson u=:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles23 / 28 Equation de Laplace : solutions a variables separeesOn cherche des solutions de l'equation de Laplace
u(x;y) = 0;8(x;y)2R2; a variables separees. On suppose donc qu'il existe deux fonctionsF(x) etG(y) telles que
u(x;y) =F(x)G(y):En remplacant dans l'equation, on obtient
F00(x)G(y) +F(x)G00(y) = 0
et il existe donc une constantetelle que F00(x)F(x)==G00(y)G(y):Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles24 / 28
Equation de Laplace : solutions a variables separees Comme dans le cas des equations des ondes, on distingue alors les trois cas suivants :si= 0, alorsF(x) =ax+b;G(y) =y+:si >0, alors
F(x) =aepx+bepx;G(y) =cos(py) +sin(py):si <0, alorsF(x) =acos(px) +bsin(px);
G(y) =epy+epy:
En tenant compte des conditions initiales, on determine le cas qui se produit et les solutions de l'equation. Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles25 / 28Equation de la chaleur
On s'interesse a l'equation de la chaleur avec une condition initiale (EC1)8 :@u@tc@2u@x2= 0;8x2R;8t>0; u(x;0) =u0(x);8x2R; et l'equation de la chaleur avec une condition au bord (EC2)8 :@u@tc@2u@x2= 0;8x>0;8t>0; u(0;t) =u0(t);8t>0;Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles26 / 28Equation de la chaleur
Gr^ace aux series de Fourier ...Theoreme 3
Soientc>0 etu0:R!Rune fonction continue 2-periodique. Alors ilexiste une unique solutionude (EC1) veriantpour toutt>0,u(x;t) est 2-periodique comme fonction enx,la derivee partielle
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