[PDF] 2.4 Différentiabilité en plusieurs variables

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Chapter2:Fonctionsd eplusi eursvariables27

2.4Di

érentiabilitéenplusieursvariables

Ladi

érentiabilitéd'unefonctionfaupoin tx

correspondàl'exis- tenced'unea pproximationli néairedelafonctionfauvois inagedupoint .Po urunefonction d'unevar iable,cetteapproximation linéaireestla droitetangente.Pourf onctionsdedeuxvariables ,elleseralepl antan- gentaugrap hedela fonctionaupoint(x Dèsqueu nefonctio nd'unevar iableestdérivablesietseu lementsi ilexist eladroitetangen teaupo int,surRilyaéqu iva lence entrela dérivabilitéetladi érentiabilité.Pourfonctiondeplusieurs variables,en general,ladérivabilit éestun enotiontropfaiblepourgarantirl'ex istence d'uneapproximat ionlinéaire.Pourgarantirl'existencedelalin éarisation ilfaut parlerdedi

érentielle.

Définition2.4.1[Di fférentiabilitéd'unefdpvàvaleursréelles ]Soient

Dunouv ertdeR

,f:D7!Retx

2D.Onditquefestdifférentiable

enx siilex isteu neapplicationlinéair eL:R

7!Rtellequeau

voisinagedex l'onait: f(x +h)f(x )=Lh+o(|h|)

Siune tellea pplicationexis te,onl'appelledi

érentielledefaupoint x

etonla noteDf(x Toutesfonctionsél émentairestellesquepolynômes, exponentielle,loga- rithmiquesettrigonométriquesso ntd i

érentiablesdansleurdomained e

définition.

Sauriez-vousdonnerladéfinitiondedi

érentiellepourf:D7!R

p>1? Deman ièreéquivalenteonpeutd irequefestdifférentiableaupoint

282.4. Différentiabilitéenplusieursvariables

sietseul ement sil'expression: f(x ,···,x )f(x ,···,x f(x )···h f(x +···+h tendvers0lorsque(h ,···,h )!(0,···,0). Ladi érentiabilitéestuneconditionplusfor tequel acontinuit éetla dérivabilité.

Théorème2.4.2SoientDunouv ertdeR

,f:D7!Retx 2D.Si festdifférentiableenx alors: - festcontinue enx - fadmettoutedériv éedirectionnelle enx etsad i

érentielleest

donnéepar: Df(x ):R 7!R ,···,n )7!@ f(x f(x =rf(x )·h ATTENTION:laréciproqueduthéor ème2 .4.2est fausse. Exemple12 Lafonct iondéfinieauremarque7estdérivable en(0,0) maispasdi

érentiableencepointcarpascont inue.

Définition2.4.3[Fo nctiondeclasseC

]Soi entDunouv ertdeR f:D7!R.Sit out edérivéepartiel ledefexisteetestcontinue surD onditqu efestdecl asseC surDetoné critf2C (D). Théorème2.4.4[Co nditionsuffisantepourladi fférentiabilité]Soient

Duno uvertdeR

,f:D7!Retx

2D.Sifestdecl asseC

voisinagedex alorselleestdi

érentiableaupointx

Proposition2.4.1[Pl antangent]Soient Dunepart ieouvertede ,f:D7!Ret(x )2D.Sifestdifférentiableen(x )alors elleadmetunel inéarisationauv oisinag ede(x ).L'équationduplan

Chapter2:Fonctionsd eplusi eursvariables29

Figure4:Fonc tiondifférentiablef(x,y)admettantunplantangentàsongr aphe pourtoutpoi nt(x ,f(x tangentaugraphed elafonc tion{x,y,f(x,y)}en(x )estdonnée par: t(x,y)=f(x )+(xx f(x )+(yy f(x Quelleestl'équati ondu"p lan"tangentpourunefonctiondi

érentiable

enR ?Et enR

2.5Dérivées d'ordressupérieurs

Siunef onctionfestdériv ableonpeutsedemandersilesdér ivées partiellessontellesmêmesdériva bles.Parexempl e,danslecas d'une fonctionf:R

7!R,on peutch ercherlesdeux dérivéespartielles(par

302.5. Dérivéesd 'ordressupérieurs

Figure5:Fonc tionnondifférentiableen(0,0).Lanonexistenced'unplantangent augrap hedelafonctionen (0,0)estflagrante.

Chapter2:Fonctionsd eplusi eursvariables31

rapportàxety)des foncti ons@ f(x,y)et@ f(x,y).Si lesdéri vées existent,elless'appellentd érivéespart iellesd'ordre2.

Pourunefonct ionf:D7!R,DouvertdeR

,si toutes lesdérivées partiellespremiéressondérivab les,onan dérivéespartiellesd 'ordre2:

8i=1,···,n

j6=i Delamêm emanièr eonpeutdéfin irlesdérivéespartielles d'ordr es supérieurs.

Exemple13Soitf:R

7!R: f(x,y)=xy

Ona4dérivéesd'ordre 2:

=0, =2x, =2y, =2y. Définition2.5.1[Ma tricehessiene]Soientf:D7!R,Douvertde etx

2D.Sifadmettoutesles dérivéesparti ellesd'ordr e2enx

onpeut définirlamatric ehessiennedefaupoint x

322.5. Dérivéesd 'ordressupérieurs

Définition2.5.2[Fo nctiondeclasseC

]Soi entf:D7!R,Douvert deR etx

2D.Sifadmettoutesl esdérivéespartiellesd'ordr e2et

ellessontcontinue ssurDonditqu efestdecl asseC surDeton

écritf2C

(D). Delamêm emanièr eonpeutdéfi nirlesfonctiondeclass eC ,k3. Définition2.5.3[Di fférentielled'ordresupérieur] Soientf:D7!R,

DouvertdeR

etx

2D.Six7!Df(x)estdifférentiableenx

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