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UE7 - MA5 : Analyse

SERIES NUMERIQUES

réelles ou complexes

I. Généralités

Définition 1

Etant donnée une suite (u

n ) de nombres réels ou complexes, on appelle série de terme général un la suite (S n ) définie par : (1) S n = u 0 + u 1 + ... + u n k = 0n uk est appelée somme partielle d'indice n (ou de rang n , ou d'ordre n) de la série.

Notation

On note généralement

n 0 u n ou u n la série de terme général u n Exemples de séries déjà considérées : Séries géométriques ; suites définies par des relations de récurrence S n = S n-1 + u n ; écriture décimale (éventuellement illimitée) d'un réel.

Définition 2 ,

de la convergence

On dit que la série

u n converge si la suite (S n ) définie en (1) converge.

Dans ce cas, la limite de la suite (S

n) est appelée somme de la série et notée S = n = 0& u n

Quand la suite (S

n ) ne converge pas, on dit que la série diverge.

Remarque 1

Si on considère seulement (u

n) pour n n 0 > 0 , on peut, pour n n 0 , poser S n k = n 0 n uk et appeler alors série de terme général u n la nouvelle suite (S n

Cette série est alors notée

n n 0 u n 2 Il est aisé de vérifier que la convergence de n 0 u n

équivaut à celle de

n n 0 u n , mais en général n = 0& u n n'est pas égal à n = n 0 u n quand la série converge.

Définition 3

Pour une série convergente,

n 0 u n , de somme S et de sommes partielles S n , on appelle reste d'ordre (ou de rang n) la différence R n = S - S n R n est aussi la somme de la série convergente p n + 1 u p , c'est-à-dire R n p= n + 1& u p

Exemple

Si u n = 1 n(n + 1) pour n 1 , on obtient u n = 1 n , S n = 1 - 1 n + 1 et la série n1 1 n(n + 1) converge et a pour somme 1.

Exemple

Si u n = (-1) n pour n 0 , S n = 1 si n est pair alors que S n = 0 si n est impair, et la série (-1) n diverge.

Théorème 1

Si la série

u n converge, alors le terme général u n tend vers 0 quand n tend vers + & .

Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend

vers 0 et qui sont divergentes (voir 1 n ci-dessous).

Remarque 2

Le théorème précédent est utile sous la forme contraposée : si (u n ) ne tend pas vers 0, la série u n diverge. On dit alors que la série est grossièrement divergente. 3 Exemple de référence : séries géométriques

La série

n 0 a n où a ' Â est convergente si et seulement si ...a... < 1 et sa somme est alors S = 1 1 - a n = 0& a n Attention : la somme change si la série ne commence pas à n = 0 ; par exemple si ...a... < 1 , n = 2& a n = a 2 1 - a Le résultat qui suit permet de munir l'ensemble des séries convergentes d'une structure d'espace vectoriel :

Théorème 2

Soient

u n et v n deux séries convergentes.

La série somme

(u n + v n ) est convergente et on a n = 0& (u n + v n n = 0& u n n = 0& v n

Si ¬ est un scalaire, la série

(¬ u n ) est convergente et on a n = 0& (¬ u n n = 0& u n

On en déduit alors le résultat suivant :

Corollaire

Si u n converge et v n diverge, alors la série (u n + v n ) diverge. En utilisant le résultat classique pour des suites réelles ou complexes selon lequel une suite (S n ) est convergente si et seulement si c'est une suite de Cauchy, on obtient : Théorème 3 (critère de Cauchy pour les séries)

Pour que la série de terme général u

n soit convergente, il faut et il suffit que : ⬧™ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧m n , ... k = nm u k ou encore ⬧™ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧p 0 , ... k = nn + p u k

Remarque 3

Ce résultat est important et il sera utilisé par la suite car il permet de démontrer la 4 convergence ou la divergence de certaines séries sans que l'on ait besoin de chercher, en même temps, leur somme.

Exemple

La série harmonique

n 1 1 n diverge : il suffit de remarquer que S 2n - S n = 1 n + 1 ... + 1 2n est, pour tout n , minoré par 1

2(n termes supérieurs à 1

2n ) .

Le résultat suivant peut être utile pour étudier une série à terme général u n complexe :

Proposition

u n converge si et seulement si les deux séries Re u n et Im u n convergent et on a : n = 0& u n n = 0& Re u n + i n = 0& Im u n

Exercice 1

1) Ecrire sous forme décimale illimitée le nombre 3/7.

2) Ecrire sous la forme p / q avec p et q entiers le nombre 2,

%&%&%& ... où le bloc 136 est répété indéfiniment.

Exercice 2

Calculer le nombre 0,297297 ...

| 3,3636 ...

Exercice 3

Montrer que la série de terme général u

n converge et calculer sa somme dans les cas : (a)u n = n ((( ))) 1 - 1 n 2 2(b)u n = 1 n(n + 1)(n + 2) (c)u n = (n + 1) 1 n + 1 - n 1 n (d)u n = n n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n (e)u n = n 3 n ! en exprimant n 3 en fonction de n(n - 1)(n - 2), n(n - 1) et n

Exercice 4

Montrer que la série de terme général u

n est divergente dans les cas : 5 (a)u n = (-1) n (b)u n (c)u n = e n . n ! n n (on pourra étudier u n+1 u n

Exercice 5

Déterminer la nature de la série de terme général : u n = 1 (n + 1) , å ' È , n 0

Si elle converge, calculer sa somme.

Exercice 6

Soit ß une permutation de

. Montrer, en utilisant le "paquet de Cauchy" k = n + 12n

ß(k)

k 2 que la série de terme général

ß(n)

n 2 diverge. II. Séries à termes réels positifs ou nuls Pour l'étude des séries de terme général u n réel positif ou nul, on dispose de résultats simples obtenus à partir de la remarque que S n est alors croissante. Les résultats ci-dessous sont bien sûr applicables si les u n ne sont positifs qu'à partir d'un certain n 0 (cf. remarque 1 du §I) ou si tous les u n sont négatifs ou nuls (cf. théorème 2 du §I) en utilisant (-u n

1. Une CNS de convergence pour les séries à termes 0000

Théorème

Une série de terme général u

n réel positif ou nul est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles S n est majorée.

2. Comparaison de deux séries à termes 0000

Le théorème précédent conduit facilement au théorème suivant : 6

Théorème 1

Soient

u n et v n deux séries à termes réels positifs telles que pour tout n ' on ait 0 u n v n

Si la série

v n converge, la série u n converge aussi et n = 0& u n n = 0& v n

Si la série

u n diverge, il en est de même de la série v n

Exemple

0 u

n = sin ((( ))) 1 2 n 1 2 n donc sin ((( ))) 1 2 n converge.

Corollaire

Soient (u

n ) et (v n ) deux suites de réels positifs tels qu'il existe deux réels ¬ μ > 0 , tels que pour tout n on a : μ v n u n

¬ v

n

Alors les deux séries

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