Séries numériques
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme :.
9.0 Fiche Méthode : Etude de la nature dune série
Nature d'une série. Méthodes. 1. Définition de la convergence. Soit (un)n?N une suite réelle. On dit que la série de terme général un converge.
LES SÉRIES NUMÉRIQUES ÉTUDIER LA NATURE DUNE SÉRIE
Cela nous donne un encadrement des sommes partielles et souvent on en déduit un équivalent. Exemple : Déterminer la nature de la série de Bertrand. X n!2. 1.
SERIES NUMERIQUES
(Le crochet s'écrit S - Rn où S est la somme et Rn le reste d'ordre n d'une série convergente.) Exercice 29. Déterminer la nature de la série de terme général
Séries
que les deux séries sont de même nature. 4. Par comparaison ou recherche d'équivalent déterminer la nature de la série ?k?1 ln k.
Chapitre 12 Séries numériques
Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge. Rédaction : Pour montrer que deux séries sont de même nature il faut
Séries
connaissant la nature de la série de terme général un puis en calculer la somme en cas de convergence. Correction ?. [005698]. Exercice 12 ****. Soit (un)n
Cours Thalès
Pour déterminer la nature de la série. ? f(n) on peut utiliser directement le théorème du cours permettant de se ramener à l'intégrabilité de f sur R+.
Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques
(vk+1 ?vk) = vn+1 ?v0. Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature il en est de même de (vn). Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert –
L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques
Exercice 3 Calculer la somme des séries. ? n?1. 1 qn (pour q ? R?) et. ? n?1. 1 n(n + 1) . Exercice 4 Étudier la nature des séries suivantes : ? n?1.
[PDF] Séries numériques - Licence de mathématiques Lyon 1
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme :
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Exercice 3 Calculer la somme des séries ? n?1 1 qn (pour q ? R?) et ? n?1 1 n(n + 1) Exercice 4 Étudier la nature des séries suivantes :
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Montrer que un ? 0 et déterminer la nature de la série de terme général un Exercice 54 [ 01098 ] [Correction] Soit (un) la suite définie par u0 > 0 et pour
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Quelle est la méthode générale pour trouver la nature d'une série à termes positifs ? On la compare avec des séries classiques simples au moyen du théorème
[PDF] I Calculs de sommes de séries convergentes II Nature dune série
Comment ferait-on en Python pour calculer cette valeur approchée ? V Pour aller plus loin Exercice 8 +++ « HP : Série de “Bertrand” »
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Exercices pour réviser : séries séries entières séries de Fourier Séries numériques Exercice 1 Déterminer la nature des séries suivantes
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On s'inspirera de la méthode d'étude des séries de Riemann Exercice 2 (*) Déterminer la nature des séries dont le terme général suit an = 2?(ln(n))1/3
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Nature d'une série Méthodes 1 Définition de la convergence Soit (un)n?N une suite réelle On dit que la série de terme général un converge
[PDF] Chapitre 12 Séries numériques
Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge Rédaction : Pour montrer que deux séries sont de même nature il faut
Comment déterminer la nature d'une série ?
si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général un converge également, si la série de terme général un diverge, alors la série de terme général vn diverge également, Si un?vn, alors les séries de terme général un et vn sont de même nature.Comment étudier la nature d'une série numérique ?
utiliser le critère des séries alternées; à l'aide de développements limités, décomposer le terme général un sous la forme un=vn+O(wn) u n = v n + O ( w n ) , où on sait étudier la nature des séries ?nvn ? n v n , et où on sait que la série ?nwn ? n w n est absolument convergente.Comment calculer la somme d'une série numérique ?
Pour calculer la somme d'une série ?nun ? n u n ,
1écrire la suite (un) sous une forme "télescopique", un=vn?vn?1 u n = v n ? v n ? 1 , les termes en (vn) se simplifient alors (voir cet exercice).2utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices…- Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .
Chapitre 12
Séries numériques
Le but de ce chapitre est de dé
nir, lorsque cela est possible, la somme in nie n 0 u n , et de l'utiliserdans des calculs.1 Généralités
1.1 Dé
nitions Dé nition 1Série numérique Soit( u n n n 0 unesuitedenombreréelsdé nieàpartird'unrang n 0 . On luiassocie unesuite S n n n 0 dé nie par : S n n k n 0 u kLa suite (
S n n n 0 est appelée série de terme général u n , et est notée n n 0 u n Pour n n 0 donné,leréel S n est appelésommepartiellede rang n associéeà lasérie n n 0 u n et le réel u n est appelé terme génér al de cette série.ATTENTION! Il ne faut pas confondre la sér
ie (qui est une suite de réels) et ses sommes partielles(qui sont des nombres réels).Exemple
La série
n 1 1 nest appelée série harmonique. Proposition 2Lessommespartielles donnent le terme général Si n n 0 u n est une série numérique, alors : n n 0 1, u n S n S n 1 237CHAPITRE12 :Séries numériques
Dé nition 3Nature d'une sérieOn dit que la série
n n 0 u n converge lorsque la suite ( S n n n 0 est convergente, ie lor sque lim n n k n 0 u k existe et est nie.Dans le cas contraire (la limite est in
nie ou elle n'existe pas), on dit que la sér ie n n 0 u n diverge. Deux séries sont dites de même nature lorsqu'elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes. Déterminerla nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge. Rédaction: Pour montrer que deux séries sont de même nature il faut donc montrer que : n n 0 u n converge n n 1 v n converge.Pour cela on montre que :
n n 0 u n converge n n 1 v n converge» et " n n 1 v n converge n n 0 u n converge».Ou par contraposée :
n n 0 u n converge n n 1 v n converge» et " n n 0 u n diverge n n 1 v n diverge».Ou encore :
n n 0 u n diverge n n 1 v n diverge» et " n n 1 v n diverge n n 0 u n diverge». Proposition 4Lespremiers termesne changent pas la nature de la série Si n 1 n 0 , alors les deux séries n n 0 u n et n n 1 u n sont de même nature. Dé nition 5Somme etreste d'une série convergenteOn suppose que
n n 0 u n converge et pour n n 0 , on note S n n k n 0 u k sa somme partiellede rang n1. lim
n n k n 0 u k est appelée somme de la série et est notée S n n 0 u n def= lim n S n2. Pour tout
n n 0 R n S S n est appelé reste d'ordre n de la série n n 0 u nProposition 6Propriétésdu rest
e d'une série convergenteOn suppose que
n n 0 u n converge et pour n n 0 , on note R n son reste d'ordre n ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/2381 Généralités
1. Pour tout
n n 0 R n k n 1 u k . Au passage, on peut noter que la relation deChasles est vraie pour les sommes de séries.
2. lim
n R n 0.ATTENTION aux notations:
n n 0 u n désigne la série (donc une suite réelle); S n n k n 0 u k désigne la somme partiellede rang n de la série (donc un nombre réel); et pour une série convergente R n k n 1 u k désigne la somme de la série (donc un nombre réel); S n n 0 u n désigne la somme de la série (donc un nombre réel).Dans la somme de la sér
ie, la variable est muette S n n 0 u n k n 0 u k p n 0 u p par contre pour le reste d'ordre n il ne faut pas prendre n comme variable de la somme, cela n'a aucun sens : n n 1 u n n'existe pas! n 1 n 0 la relation de Chasles donne : n n 0 u n n n 1 u n n 1 1 n n 0 u nExemple
La série harmonique
n 1 1 ndiverge.Exemple
La série géométrique
n 0 1 2 n converge vers 2 (ce qui lève le fameux parad oxe deXénon).
1.2 Propriétés des séries
Théorème 7Dualitésuite/série
Si ( v n n n 0 est une suite réelle, on pose pour tout n n 0 1 : u n v n v nquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] détournement d'argent
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