Séries numériques
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme :.
9.0 Fiche Méthode : Etude de la nature dune série
Nature d'une série. Méthodes. 1. Définition de la convergence. Soit (un)n?N une suite réelle. On dit que la série de terme général un converge.
LES SÉRIES NUMÉRIQUES ÉTUDIER LA NATURE DUNE SÉRIE
Cela nous donne un encadrement des sommes partielles et souvent on en déduit un équivalent. Exemple : Déterminer la nature de la série de Bertrand. X n!2. 1.
SERIES NUMERIQUES
(Le crochet s'écrit S - Rn où S est la somme et Rn le reste d'ordre n d'une série convergente.) Exercice 29. Déterminer la nature de la série de terme général
Séries
que les deux séries sont de même nature. 4. Par comparaison ou recherche d'équivalent déterminer la nature de la série ?k?1 ln k.
Chapitre 12 Séries numériques
Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge. Rédaction : Pour montrer que deux séries sont de même nature il faut
Séries
connaissant la nature de la série de terme général un puis en calculer la somme en cas de convergence. Correction ?. [005698]. Exercice 12 ****. Soit (un)n
Cours Thalès
Pour déterminer la nature de la série. ? f(n) on peut utiliser directement le théorème du cours permettant de se ramener à l'intégrabilité de f sur R+.
Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques
(vk+1 ?vk) = vn+1 ?v0. Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature il en est de même de (vn). Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert – Lycée Colbert –
L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques
Exercice 3 Calculer la somme des séries. ? n?1. 1 qn (pour q ? R?) et. ? n?1. 1 n(n + 1) . Exercice 4 Étudier la nature des séries suivantes : ? n?1.
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Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme :
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Exercice 3 Calculer la somme des séries ? n?1 1 qn (pour q ? R?) et ? n?1 1 n(n + 1) Exercice 4 Étudier la nature des séries suivantes :
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Montrer que un ? 0 et déterminer la nature de la série de terme général un Exercice 54 [ 01098 ] [Correction] Soit (un) la suite définie par u0 > 0 et pour
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Quelle est la méthode générale pour trouver la nature d'une série à termes positifs ? On la compare avec des séries classiques simples au moyen du théorème
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Comment ferait-on en Python pour calculer cette valeur approchée ? V Pour aller plus loin Exercice 8 +++ « HP : Série de “Bertrand” »
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Exercices pour réviser : séries séries entières séries de Fourier Séries numériques Exercice 1 Déterminer la nature des séries suivantes
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On s'inspirera de la méthode d'étude des séries de Riemann Exercice 2 (*) Déterminer la nature des séries dont le terme général suit an = 2?(ln(n))1/3
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Nature d'une série Méthodes 1 Définition de la convergence Soit (un)n?N une suite réelle On dit que la série de terme général un converge
[PDF] Chapitre 12 Séries numériques
Déterminer la nature d'une série c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge Rédaction : Pour montrer que deux séries sont de même nature il faut
Comment déterminer la nature d'une série ?
si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général un converge également, si la série de terme général un diverge, alors la série de terme général vn diverge également, Si un?vn, alors les séries de terme général un et vn sont de même nature.Comment étudier la nature d'une série numérique ?
utiliser le critère des séries alternées; à l'aide de développements limités, décomposer le terme général un sous la forme un=vn+O(wn) u n = v n + O ( w n ) , où on sait étudier la nature des séries ?nvn ? n v n , et où on sait que la série ?nwn ? n w n est absolument convergente.Comment calculer la somme d'une série numérique ?
Pour calculer la somme d'une série ?nun ? n u n ,
1écrire la suite (un) sous une forme "télescopique", un=vn?vn?1 u n = v n ? v n ? 1 , les termes en (vn) se simplifient alors (voir cet exercice).2utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices…- Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .
Séries numériquesPoint méthode
1.Utilisation d"une série géométrique
(a) On s"ass urequ"il s" agitbien d"un esérie gé ométriqueen me ttanten évidence le premier terme et la raison. (b) On compare le mo dule(ou la v aleurabsolue) de la raison à 1et on conclut quant à la convergence et à la valeur de la somme.2.Principe de télescopage. Si le terme généralund"une série s"écrit facilement sous
la formef(n)-f(n+ 1), oùfest une application deR+dansK: (a) On calcule la somme partielle d"ordre npar " télescopage » : S n=n? k=0(f(k)-f(k+ 1)) =n? k=0 f(k)-n? k=0f(k+ 1) n? k=0f(k)-n+1? k=1f(k) =f(0)-f(n+ 1). (b) On détermine, si elle existe, la limite de fen+∞et on conclut sur la nature de la série et la valeur de sa somme éventuelle. (c) Il existe des forme sde télescopage plus complexes, par e xemple: q n=p(f(n+ 1)-f(n-1))ouq? n=p(f(n+ 1)-2f(n) +f(n-1)); dans ce cas, on peut décomposer linéairement ces sommes partielles, puis décaler les indices pour faire apparaître des sommes communes qui se simplifient, ne laissant que quelques termes résiduels.Point méthode
fest une fonction continue, positive et décroissante surR+. Pour déterminer la nature de la série?f(n), on peut utiliser directement le théorème du cours permettant de se ramener à l"intégrabilité defsurR+. Mais, pour encadrer une somme partielle ou un reste de cettesérie, il est plus efficace de construire et d"interpréter, à chaque occasion la figure habituelle.
1.? k k-1f(t)dtet? k+1 k f(t)dts"interprètent respectivement comme les aires des portions de plan " sous la courbe » : f(k)s"interprète indifféremment comme l"aire du rectangle[k-1,k]×[0,f(k)]ou l"aire du rectangle[k,k+ 1]×[0,f(k)]. 2. La lecture de la figure conduit alors à l"encadreme nt: k+1 k k k-1f(t)dt. 3. On somme mem breà mem breles encadremen tsprécéden ts,en ra joutant,au b esoin, f(0)pour obtenir : f(0) +? n+1 1 n 0 f(t)dt ou n f(t)dt. 4. On calcule les in tégralesp ourobtenir un encadremen t,pui s,év entuellement,un équi- valent de la somme partielle ou du reste.Point méthode Pour montrer qu"unesérie à termes positifs?u nconverge, on peut : 1. Mon trerque la suite (Sn)des sommes partielles est majorée; 2. nconverge; 3. Cherc herune suite (vn)à termes positifs telle que :un=O(vn)et?v nconverge; 4. Cherc herune suite (vn)à termes positifs telle que :unsvnet?v nconverge; 5.Calculer un dév eloppementl imitéde un;
6. Comparer unà une intégrale de fonction positive décroissante.Point méthodeLa formule de Stirling
n!s n→+∞⎷2πnn+12 e-n.permet de trouver un équivalent du terme général dans certains cas favorables où celui-ci
comporte des factorielles. On utilise ensuite les théorèmes de comparaison usuels.Point méthode
Soit une série numérique?u
nqui semble alternée : 1. On s"assure qu"elle l"est réelle menten v érifiantque unetun+1sont, pour toutn, des réels de signes contraires. 2. On v érifieque la suite (|un|)n?Ndécroît et converge vers 0. 3.La con vergencede ?u
nn"est pas la seule conclusion du critère. On a aussi : la somme de la série est du signe de son premier terme et elle est comprise entre deux sommes partielles consécutives; le reste d"ordrenest du signe de son premier terme et sa valeur absolue est majorée par la valeur absolue de ce premier terme :|un+1|.Point méthode Pour montrer qu"unesérie à termes complexes?u nconverge, on peut : 1.Si la sé rieest alternée, regarder si elle satis faitle critère sp écialdes séries alternées ;
2. Regarder si la série est abs olumentcon vergente(v oirméth odesci-dessus appliquées à ?|un|); 3. Calculer la somme partiell eSnet étudier la suite(Sn).quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] détournement d'argent
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